Brevet de maths 2023 en Polynésie : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au brevet maths 2027.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2023
Polynésie — 23 juin 2023
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (16 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples QCM

Aucune justification n’est demandée

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Écrire sur votre copie, le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1 : soit \(f\), la fonction définie par \(f(x) = -2x + 3\).

Quelle est la représentation de la fonction \(f\) ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C

Question 2 : On considère la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

D’après le graphique, quelle est l’image de 1 par cette fonction ?

Question 3 :

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction \(h\) définie par \(h(x) = -x + 1\) réalisé à l’aide d’un tableur :

Quelle formule a-t-on saisie dans la case B2 avant de l’étirer vers la droite ?

Question 4 :

Quelle est la forme développée de l’expression \((3x – 7)^2\) ?

Exercice 2 (16 points)

Olivia a décidé d’installer sur le sol, plat de son jardin, quatre panneaux photovoltaïques pour produire une partie de l’électricité qu’elle consomme.

Pour incliner ses panneaux et obtenir un fonctionnement optimal, Olivia choisit de fabriquer elle-même un support. Pour cela, elle réalise les schémas suivants de support qui sera constitué de trois équerres identiques, reliées entre elles par trois barres latérales de 4 m de long.

Chaque support est prévu pour accueillir quatre panneaux.

Plan général du support, un panneau est représenté :

Plan détaillé d’une équerre :

1. a. Vérifier que la distance HS arrondie au millimètre est égale à 166,4 cm.

b. Pour que le panneau soit bien tenu, le fabricant conseille que la distance HS du support mesure au moins 95 % de la longueur du panneau. On rappelle que cette longueur mesure 1700 mm. Ce support sera-t-il conforme aux conseils du fabricant ?

2. L’angle d’inclinaison, \(\widehat{\text{HSP}}\) permettra-t-il un fonctionnement optimal des panneaux ?

3. Pour consolider l’ensemble, Olivia fixe, à l’intérieur de ses équerres, une barre de renfort de 50 cm de longueur.

Sur le plan détaillé d’une équerre, cette barre est représentée par le segment [UT] perpendiculaire au segment [PS].

Calculer la longueur ST. On arrondira au millimètre.

4. Olivia, achète des tubes en acier inoxydable de longueur 4,5 m à 37 € l’unité pour fabriquer le support composé de trois équerres et des trois barres latérales. Montrer qu’elle doit prévoir un budget minimum de 222 € pour l’achat des tubes en acier inoxydable.

Exercice 3 (18 points)

Dans cette exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-dessous.

Partie A

Jeu 1 : Un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, dont une portant la lettre N, deux, portant la lettre G et deux portant la lettre P.

Jeu 2 : Une roue à six secteurs angulaires identiques numérotées de un à six.

1. On considère le jeu 1.

On pioche une boule au hasard dans ce sac et on note la lettre inscrite sur la boule choisie.

On considère qu’on a gagné si on pioche la lettre G.

Montrer que la probabilité de gagner avec ce jeu et de \(\dfrac{2}{5}\).

2. On considère le jeu 2.

On fait tourner la roue et on note le nombre d’inscrits sur le secteur pointé par la flèche.

On considère qu’on a gagné si on s’arrête sur un nombre premier.

Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?

3. a. Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?

b. Proposer une liste de boules à rajouter pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de \(\dfrac{1}{4}\).

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche sera valorisée.

On choisit finalement de combiner ces deux jeux.

Dans un premier temps, le joueur doit tirer une boule dans le sac du jeu 1.

On doit ensuite faire tourner la roue du jeu 2.

Le joueur gagne un lot s’il a tiré une boule portant la lettre G et si la roue s’arrête sur un secteur angulaire dont le numéro est un nombre premier.

Quelle est la probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux ?

Exercice 4 (22 points)

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre
• Prendre le carré de ce nombre
• Multiplier le résultat par 2
• Ajouter le nombre de départ
• Soustraire 66

1. a. Montrer que si le nombre choisi au départ est 4, le résultat obtenu est \(-30\).

b. Quel résultat obtient-on si le nombre choisi au départ est \(-3\) ?

2. a. On s’intéresse au bloc d’instruction ci-dessous intitulé « Programme de calcul ». On souhaite le compléter pour calculer le résultat obtenu avec le programme de calcul en fonction du nombre choisi au départ.

On précise que deux variables ont été créées : « nombre choisi » qui correspond au nombre choisi au départ, et « Résultat ».

Écrire sur votre copie le contenu qui doit être inséré dans les emplacements A et B. Aucune justification n’est attendue pour cette question.

b. Lucie insère le bloc précédent dans le script ci-dessous et observe la réponse donnée par le lutin :

Script

Réponse du lutin : « On peut choisir comme nombre de départ 5,5. »

À quoi correspond la valeur 5,5 donnée comme réponse par le lutin avec le programme de Lucie ?

3. On nomme \(x\) le nombre choisi au départ.

a. Déterminer l’expression obtenue par ce programme de calcul en fonction de \(x\).

b. On admet que \((2x – 11)(x + 6)\) est la forme factorisée de l’expression trouvée à la question précédente.

Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\), le résultat obtenu avec le programme est-il égal à 0 ?

Exercice 5 (22 points)

Un professionnel et un amateur vont faire une séance de karting sur la piste ci-dessous (représentée en traits pleins).

Cette piste est constituée de segments, de demi-cercles et de quarts de cercles.

Le professionnel fait un tour de piste en 60 secondes.

L’amateur fait un tour de piste en 72 secondes.

1. Montrer que la longueur de la piste est de 1 045 m, arrondie à l’unité près.

Toute trace de recherche sera valorisée.

2. Calculer la vitesse moyenne du professionnel en m/s. On arrondira au centième près.

3. Pour des raisons de sécurité sur ce circuit, les amateurs ne doivent pas dépasser les 60 km/h de moyenne. Cet amateur respecte-t-il les règles de sécurité ?

4. Le professionnel et l’amateur partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours de circuit.

On rappelle que le professionnel effectue un tour en 60 s et l’amateur en 72 s.

a. Décomposer 60 et 72 en produit de facteurs premiers.

b. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois sur la ligne de départ ensemble ?

c. Combien auront-ils alors effectué de tours chacun ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Question 1. La fonction \(f(x) = -2x + 3\) est affine : sa représentation est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\ ;\ 3)\) et dont le coefficient directeur \(-2\) est négatif, donc la droite descend. La droite C coupe l’axe des ordonnées en \(-2\) et la droite A monte : seule la droite B convient (on vérifie qu’elle passe par \((2\ ;\ -1)\), et \(f(2) = -4 + 3 = -1\)). Réponse B.

Question 2. On repère le point de la courbe d’abscisse 1 : c’est le point C, dont l’ordonnée est 2. L’image de 1 est 2. Réponse A.

Question 3. Pour que la formule puisse être étirée vers la droite, elle doit faire référence à la cellule qui contient \(x\), ici B1 (qui deviendra C1, D1… en étirant). La réponse A utilise la valeur \(-3\) en dur et donnerait 4 partout ; la réponse B n’est pas comprise par le tableur, qui ne connaît pas \(x\). Réponse C : = − B1 + 1.

Question 4. On applique l’identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = 3x\) et \(b = 7\) : \((3x – 7)^2 = 9x^2 – 2 \times 3x \times 7 + 49 = 9x^2 – 42x + 49\). Réponse B.

Exercice 2 :

1. a. Le triangle HPS est rectangle en P, d’hypoténuse [HS]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{HS}^2 = \text{HP}^2 + \text{PS}^2 = 90^2 + 140^2 = 8\,100 + 19\,600 = 27\,700\]

Donc \(\text{HS} = \sqrt{27\,700} \approx 166{,}43\) cm, soit HS ≈ 166,4 cm au millimètre près.

b. La longueur du panneau est 1700 mm = 170 cm. 95 % de cette longueur représentent \(0{,}95 \times 170 = 161{,}5\) cm. Comme \(166{,}4 \gt 161{,}5\), la distance HS dépasse le minimum conseillé : le support est conforme aux conseils du fabricant.

2. Dans le triangle HPS rectangle en P, pour l’angle \(\widehat{\text{HSP}}\), [HP] est le côté opposé et [PS] le côté adjacent. On utilise la tangente :

\[\tan \widehat{\text{HSP}} = \dfrac{\text{HP}}{\text{PS}} = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14}\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{HSP}} = \arctan(\dfrac{9}{14}) \approx 32{,}7^\circ\). Cette mesure est comprise entre 30° et 35° : l’inclinaison permet un fonctionnement optimal.

3. Les droites (UT) et (HP) sont toutes deux perpendiculaires à (PS), donc elles sont parallèles. De plus, S, U, H sont alignés et S, T, P sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles STU et SPH :

\[\dfrac{\text{ST}}{\text{SP}} = \dfrac{\text{SU}}{\text{SH}} = \dfrac{\text{TU}}{\text{PH}}\]

Avec \(\dfrac{\text{ST}}{140} = \dfrac{50}{90}\), on obtient \(\text{ST} = \dfrac{140 \times 50}{90} = \dfrac{700}{9} \approx 77{,}78\). Donc ST ≈ 77,8 cm au millimètre près.

4. Une équerre (avec sa barre de renfort) est formée des morceaux HP, PS, HS et UT, soit une longueur de tube de \(90 + 140 + 166{,}43 + 50 \approx 446{,}4\) cm, c’est-à-dire environ 4,46 m. Cette longueur est inférieure à 4,5 m : chaque équerre peut être découpée dans un seul tube, mais un tube ne suffit pas pour deux équerres. Il faut donc 3 tubes pour les 3 équerres. Chaque barre latérale mesure 4 m : un tube de 4,5 m par barre, et les 0,5 m restants ne peuvent servir à rien d’autre, donc 3 tubes de plus. Au total, il faut \(3 + 3 = 6\) tubes. On peut le confirmer par la longueur totale : \(3 \times 4{,}464 + 3 \times 4 \approx 25{,}39\) m, et \(25{,}39 : 4{,}5 \approx 5{,}64\), donc 5 tubes ne suffisent pas. Le coût est \(6 \times 37 = 222\) € : Olivia doit bien prévoir un budget minimum de 222 €.

Exercice 3 :

Partie A

1. Les 5 boules ont la même chance d’être tirées (situation d’équiprobabilité), et 2 d’entre elles portent la lettre G. La probabilité de gagner est donc \(\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \dfrac{2}{5}\). On retrouve bien \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\).

2. Parmi les nombres de 1 à 6, les nombres premiers (qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-mêmes) sont 2, 3 et 5. Attention : 1 n’est pas premier. Les six secteurs étant identiques, la probabilité de gagner est \(\dfrac{3}{6}\), soit \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).

3. a. On compare \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) : comme \(0{,}4 \lt 0{,}5\), c’est le jeu 1 qui présente la plus faible probabilité de gagner.

b. Si on ne rajoute aucune boule G, le sac contient toujours 2 boules gagnantes. Pour que la probabilité soit \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}\), il faut 8 boules en tout, donc ajouter 3 boules. Par exemple, on peut ajouter 3 boules portant la lettre P (ou 2 boules P et 1 boule N, ou 3 boules N : l’essentiel est qu’aucune ne porte la lettre G).

Partie B

On peut dresser un tableau des issues : 5 boules possibles et 6 secteurs possibles donnent \(5 \times 6 = 30\) couples (boule ; secteur) équiprobables. Les couples gagnants associent l’une des 2 boules G à l’un des 3 nombres premiers 2, 3 ou 5 : il y en a \(2 \times 3 = 6\). La probabilité de gagner est donc \(\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}\).

On retrouve ce résultat en multipliant les probabilités des deux expériences, qui sont indépendantes : \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}\). La probabilité de gagner à la combinaison des deux jeux est \(\dfrac{1}{5} = 0{,}2\).

Exercice 4 :

1. a. Avec 4 : le carré vaut \(4^2 = 16\) ; multiplié par 2 : 32 ; on ajoute 4 : 36 ; on soustrait 66 : \(36 – 66 = -30\). On obtient bien \(-30\).

b. Avec \(-3\) : le carré vaut \((-3)^2 = 9\) ; multiplié par 2 : 18 ; on ajoute \(-3\) : 15 ; on soustrait 66 : \(15 – 66 = -51\). Le résultat est \(-51\).

2. a. La première instruction doit calculer le carré du nombre choisi, c’est-à-dire « nombre choisi * nombre choisi » : en A, on met la variable Nombre choisi. La deuxième instruction multiplie le résultat par 2 : en B, on met 2.

b. Le script teste successivement les nombres de départ 0 ; 0,5 ; 1 ; … ; 9,5 (20 valeurs, en ajoutant 0,5 à chaque tour). Pour chacun, il applique le programme de calcul et ne fait parler le lutin que si le résultat vaut 0. La réponse 5,5 signifie donc que 5,5 est un nombre de départ pour lequel le programme donne 0 ; c’est le seul parmi les 20 valeurs testées.

3. a. En partant de \(x\), on obtient successivement \(x^2\), puis \(2x^2\), puis \(2x^2 + x\), puis \(2x^2 + x – 66\). L’expression obtenue est \(2x^2 + x – 66\).

b. On veut \((2x – 11)(x + 6) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

soit \(2x – 11 = 0\), c’est-à-dire \(2x = 11\), donc \(x = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\) ;

soit \(x + 6 = 0\), c’est-à-dire \(x = -6\).

Le programme donne 0 pour \(x = 5{,}5\) et \(x = -6\). On retrouve la valeur affichée par le lutin ; le script de Lucie ne pouvait pas trouver \(-6\), car il ne teste que des nombres positifs.

Exercice 5 :

1. On lit les codages de la figure. Les segments marqués d’une croix ont tous la même longueur que [AL], soit 60 m : c’est le cas de [KJ], de [GF] et des rayons des deux demi-cercles (chaque moitié de [CD] et de [IJ]). Le segment [IH] porte le même carré noir que [ED], donc mesure 90 m. Les quarts de cercle ont pour rayon 30 m (même codage que le 30 m indiqué près de H).

Parties droites : \(\text{CB} + \text{AL} + \text{KJ} + \text{IH} + \text{GF} + \text{ED} = 120 + 60 + 60 + 90 + 60 + 90 = 480\) m.

Deux demi-cercles de rayon 60 m forment un cercle complet de rayon 60 m, de périmètre \(2 \times \pi \times 60 = 120\pi\) m.

Quatre quarts de cercle de rayon 30 m forment un cercle complet de rayon 30 m, de périmètre \(2 \times \pi \times 30 = 60\pi\) m.

\[L = 480 + 120\pi + 60\pi = 480 + 180\pi \approx 1\,045{,}49\ \text{m}\]

La piste mesure bien 1 045 m arrondie à l’unité.

2. Le professionnel parcourt 1 045 m en 60 s. Sa vitesse moyenne est \(v = \dfrac{1\,045}{60} \approx 17{,}416\), soit environ 17,42 m/s.

3. L’amateur parcourt 1 045 m en 72 s, soit \(\dfrac{1\,045}{72}\) m/s. En une heure (3 600 s), il parcourrait \(\dfrac{1\,045}{72} \times 3\,600 = 1\,045 \times 50 = 52\,250\) m, c’est-à-dire 52,25 km. Sa vitesse moyenne est donc de 52,25 km/h (52,27 km/h avec la longueur non arrondie), inférieure à 60 km/h : l’amateur respecte les règles de sécurité.

4. a. \(60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5\) et \(72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2\). Donc \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\) et \(72 = 2^3 \times 3^2\).

b. Le professionnel repasse sur la ligne de départ toutes les 60 s, c’est-à-dire aux multiples de 60 ; l’amateur aux multiples de 72. Ils s’y retrouvent ensemble pour la première fois au plus petit multiple commun non nul de 60 et 72. Il doit contenir chaque facteur premier avec son plus grand exposant : \(2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\). Ils se retrouvent ensemble sur la ligne de départ au bout de 360 s, soit 6 minutes.

c. En 360 s, le professionnel a effectué \(360 : 60 = 6\) tours et l’amateur \(360 : 72 = 5\) tours : 6 tours pour le professionnel et 5 tours pour l’amateur.

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