Brevet de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au brevet maths 2027.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2023
Nouvelle-Calédonie — 7 décembre 2023
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 : Q. C. M. (15 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie. Aucune justification n’est demandée.

Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

1. D’après des chercheurs, la probabilité qu’une personne subisse une attaque mortelle par un requin au cours de sa vie, est de …

2. \(\dfrac{3}{5} – \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{4}\)

3. Sur un site, un pantalon est vendu 60 € au lieu de 80 €. Le pourcentage de réduction est …

4. ABCD est un parallélogramme de centre E.

L’homothétie de centre A qui transforme B en F …

5. La médiane de la série ci-dessous est …

11 – 17 – 8 – 14 – 3 – 20 – 5 – 10 – 12

Exercice 2 : Paniers de légumes (18 points)

José, un agriculteur vivant dans la commune du Mont-Dore, veut préparer des paniers de légumes bio pour ses clients.

Il a déjà récolté 39 salades, 78 carottes et 51 aubergines.

Il veut que tous les paniers aient la même composition et utiliser tous les légumes.

La décomposition de 39 en produit de facteurs premiers est : \(3 \times 13\).

1. a. Décomposer en facteurs premiers les nombres 78 et 51.

b. En déduire le nombre de paniers maximum que José peut préparer.

c. Combien de salades, de carottes et d’aubergines y aurait-il dans chaque panier ?

Finalement, José décide de préparer 13 paniers.

2. a. Combien d’aubergines ne seront pas utilisées ? Justifier votre réponse.

b. Combien doit-il cueillir au minimum d’aubergines supplémentaires pour pouvoir toutes les utiliser ?

José souhaite que ses 13 paniers contiennent également des tomates.

Il estime qu’il en a entre 110 et 125 prêtes à être récoltées.

3. Combien doit-il en cueillir au maximum pour éviter les pertes et pour que chaque panier ait toujours la même composition ?

Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.

Exercice 3 : Isolation (18 points)

Matthieu souhaite isoler la toiture de sa maison.

Il compte utiliser de la laine de roche pour le toit de sa terrasse et de la ouate de cellulose pour le toit de la partie habitable.

Pour savoir quelles quantités de matériaux acheter, il doit effectuer des calculs.

Il a noté sur un plan de sa maison ci-dessous (vue de profil), toutes les mesures qu’il connait :

Le plan n’est pas à l’échelle

On donne :

AC = 2,5 m AB = 8 m BD = 4,3 m \(\widehat{\text{EFD}} = 30^\circ\)

Les points D, E, B ainsi que les points A, B, G sont alignés.

1. Justifier que DE = 1,8 m.

2. Montrer que la longueur DF du toit de la terrasse est égale à 3,6 m.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

On considère que :

• le toit de la terrasse est un rectangle de longueur 12 m et de largeur 3,6 m ;
• un rouleau de laine de roche couvre 6 m².

3. Déterminer le nombre de rouleaux de laine de roche qu’il doit acheter pour le toit de sa terrasse.

4. Montrer que la longueur CD du toit de la partie habitable est égale à 8,2 m.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

On considère que :

• le toit de la partie habitable est un rectangle de longueur 12 m et de largeur 8,2 m ;
• Matthieu souhaite installer de la ouate de cellulose sur une épaisseur de 10 cm ;
• la densité de la ouate de cellulose est de 40 kg/m³.

5. Déterminer la masse, en kg, de ouate de cellulose qu’il doit acheter pour le toit de la partie habitable.

Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.

Exercice 4 : Les roches de la Ouaïème (13 points)

À quelques kilomètres au nord du village de Hienghène, se trouve une des plus belles randonnées de Nouvelle-Calédonie appelée « les roches de la Ouaïème ».

Le départ se situe au niveau de la mer près d’une plage de sable blanc.

Le sentier grimpe le long d’un versant de montagne et atteint un point de vue imprenable sur le Mont Panié et le lagon.

Voici quelques informations pratiques sur cette randonnée :

On considère que la pente de la montagne est rectiligne.

On a schématisé le parcours [DV] de la randonnée par la figure ci-dessous :

Les points D, N et M sont alignés

Fabienne s’est engagée sur ce parcours en partant du point D.

Au bout de 2 heures, elle arrive au panneau P indiquant qu’elle a déjà parcouru 3 km.

1. Justifier que les droites (PN) et (VM) sont parallèles.

2. Déterminer à quelle altitude PN se trouve Fabienne lorsqu’elle se situe au panneau P.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

3. À quelle vitesse moyenne, en km/h, a-t-elle parcouru le trajet [DP] ?

Sur la fin du parcours [PV], Fabienne marche à une vitesse moyenne de 1,2 km/h.

On rappelle que la durée de l’aller simple est estimée à 2 h 30 min.

4. A-t-elle dépassé cette durée ?

Justifier en faisant apparaître les différentes étapes.

Exercice 5 : Fonctions (20 points)

1. a. La fonction \(f\), dont la représentation graphique est en annexe est-elle une fonction affine ? Justifier votre réponse.

b. À l’aide de ce graphique, compléter le tableau de valeurs de la fonction \(f\) sur l’annexe.

Parmi les trois formules suivantes, l’une correspond à l’expression de la fonction \(f\).

Elle a été saisie dans la cellule B2 puis étendue dans la cellule C2 du tableau de l’annexe.

c. Noter la bonne formule sur votre copie.

2. On considère la fonction affine \(g\) définie par \(g(x) = 2x + 1\).

a. Calculer l’image de \(-2\) par la fonction \(g\).

b. Calculer \(g(3)\).

c. Déterminer l’antécédent de 2 par la fonction \(g\).

d. Tracer, sur le graphique de l’annexe, la représentation graphique de la fonction \(g\).

3. L’expression de la fonction \(f\) ci-dessus est \(f(x) = (x + 3)(x – 1)\).

a. Développer et réduire l’expression \((x + 3)(x – 1)\).

b. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\), a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?

Annexe à rendre avec la copie — Exercice 5 : Questions 1. et 2. d.

Annexe à rendre avec la copie — Exercice 5 : Question 1. b.

Exercice 6 : Hexagone régulier (16 points)

Un hexagone régulier est un polygone à 6 côtés de même longueur et dont tous les angles mesurent 120°.

Les hexagones réguliers se retrouvent fréquemment dans la nature, notamment dans les ruches d’abeilles.

1. a. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{XBC}}\) dans la figure ci-dessous :

Les points A, B et X sont alignés.

b. Sur l’annexe, compléter les deux informations manquantes du bloc Hexagone pour qu’il trace un hexagone régulier.

Annexe à rendre avec la copie — Exercice 6 : Question 1. b. — Bloc Hexagone

Rappel : s’orienter à 90° permet au lutin de se déplacer vers la droite.

2. On considère le script ci-dessous qui utilise le bloc Hexagone de l’annexe :

a. Combien d’hexagones réguliers ce script trace-t-il ?

b. Quelle est la longueur des côtés du 1^er hexagone régulier tracé ?

c. Quelle est la longueur des côtés du 2^e hexagone régulier tracé ?

d. Parmi les dessins ci-dessous, lequel correspond à ce script ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Or \(2{,}7 \times 10^{0} = 2{,}7\) et \(2{,}7 \times 10^{7} = 27\,000\,000\) sont plus grands que 1 ; seul \(2{,}7 \times 10^{-7} = 0{,}000\,000\,27\) convient, ce qui correspond bien à un événement très rare. Réponse A.

2. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}\). Puis \(\dfrac{3}{5} – \dfrac{7}{10} = \dfrac{6}{10} – \dfrac{7}{10} = -\dfrac{1}{10}\). Réponse A.

3. La baisse est de \(80 – 60 = 20\) €. Rapportée au prix de départ : \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\), soit une réduction de 25 % : réponse B.

4. Le codage indique que F est le milieu de [AB], donc \(\text{AF} = \dfrac{1}{2}\text{AB}\) : l’homothétie de centre A qui envoie B sur F a pour rapport \(\dfrac{1}{2}\) (et non 2, ce qui écarte la réponse A). Cette homothétie de rapport \(\dfrac{1}{2}\) envoie tout point M sur le milieu de [AM]. Comme G est le milieu de [AD], c’est D qui est transformé en G, et non G en D (réponse B fausse). Enfin, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc E est le milieu de [AC] : l’homothétie transforme C en E. Réponse C.

5. On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 3 – 5 – 8 – 10 – 11 – 12 – 14 – 17 – 20. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5^e : il y a 4 valeurs avant et 4 après. La médiane vaut 11. Réponse C.

Exercice 2 :

1. a. \(78 = 2 \times 39 = 2 \times 3 \times 13\) et \(51 = 3 \times 17\). Les nombres 2, 3, 13 et 17 sont premiers, donc ces écritures sont bien les décompositions en facteurs premiers : \(78 = 2 \times 3 \times 13\) et \(51 = 3 \times 17\).

b. Pour que les paniers soient identiques et que tous les légumes soient utilisés, le nombre de paniers doit diviser à la fois 39, 78 et 51. On cherche donc le plus grand diviseur commun à ces trois nombres. En comparant les décompositions \(39 = 3 \times 13\), \(78 = 2 \times 3 \times 13\) et \(51 = 3 \times 17\), le seul facteur premier présent dans les trois est 3 (13 ne divise pas 51). Le PGCD vaut 3 : José peut préparer au maximum 3 paniers.

c. On divise chaque quantité par 3 : \(39 : 3 = 13\), \(78 : 3 = 26\) et \(51 : 3 = 17\). Chaque panier contiendrait 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.

2. a. On effectue la division euclidienne de 51 par 13 : \(51 = 13 \times 3 + 12\), avec \(12 \lt 13\). Chacun des 13 paniers reçoit donc 3 aubergines, ce qui en utilise 39, et il en reste 12 aubergines non utilisées.

b. Pour que toutes les aubergines soient réparties, il faut que leur nombre soit un multiple de 13. Le premier multiple de 13 supérieur à 51 est \(13 \times 4 = 52\). Il suffit donc de cueillir 1 aubergine supplémentaire ; chaque panier en contiendra alors 4.

3. Le nombre de tomates cueillies doit être un multiple de 13 (pour les répartir équitablement dans les 13 paniers sans perte) et être compris entre 110 et 125. Les multiples de 13 voisins sont \(13 \times 8 = 104\), \(13 \times 9 = 117\) et \(13 \times 10 = 130\). Seul 117 est dans l’intervalle. José doit donc cueillir au maximum 117 tomates, soit 9 tomates par panier.

Exercice 3 :

1. Sur le plan, les segments [AC], [BE] et [GF] portent le même codage : ils ont la même longueur, donc BE = AC = 2,5 m. Comme E appartient au segment [BD], on a \(\text{DE} = \text{BD} – \text{BE} = 4{,}3 – 2{,}5 = 1{,}8\). On a bien DE = 1,8 m.

2. Le triangle DEF est rectangle en E. Dans ce triangle, [DE] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{EFD}}\) et [DF] est l’hypoténuse. On utilise donc le sinus :

\[\sin \widehat{\text{EFD}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{DF}} \quad \text{donc} \quad \sin 30^\circ = \dfrac{1{,}8}{\text{DF}}\]

d’où \(\text{DF} = \dfrac{1{,}8}{\sin 30^\circ} = \dfrac{1{,}8}{0{,}5} = 3{,}6\). La longueur du toit de la terrasse est bien DF = 3,6 m.

3. Aire du toit de la terrasse : \(12 \times 3{,}6 = 43{,}2\ \text{m}^2\). Nombre de rouleaux nécessaires : \(43{,}2 : 6 = 7{,}2\). Sept rouleaux ne couvriraient que 42 m², ce qui est insuffisant ; il faut arrondir à l’entier supérieur. Matthieu doit acheter 8 rouleaux de laine de roche.

4. Le quadrilatère ABEC a trois angles droits (en A, B et E) : c’est un rectangle, donc CE = AB = 8 m et (CE) est perpendiculaire à (BD). Le triangle CDE est donc rectangle en E, avec DE = 1,8 m et CE = 8 m. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{CD}^2 = \text{CE}^2 + \text{DE}^2 = 8^2 + 1{,}8^2 = 64 + 3{,}24 = 67{,}24\]

Donc \(\text{CD} = \sqrt{67{,}24} = 8{,}2\) (car \(8{,}2^2 = 67{,}24\)). La longueur du toit de la partie habitable est bien CD = 8,2 m.

5. La couche de ouate forme un pavé droit de 12 m sur 8,2 m, d’épaisseur 10 cm = 0,1 m. Son volume est \(V = 12 \times 8{,}2 \times 0{,}1 = 9{,}84\ \text{m}^3\). Chaque mètre cube de ouate pèse 40 kg, donc la masse vaut \(9{,}84 \times 40 = 393{,}6\) kg. Matthieu doit acheter 393,6 kg de ouate de cellulose.

Exercice 4 :

1. D’après les angles droits codés sur la figure, la droite (PN) est perpendiculaire à (DM) et la droite (VM) est aussi perpendiculaire à (DM). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : (PN) et (VM) sont parallèles.

2. Les points D, P, V sont alignés, les points D, N, M sont alignés, et les droites (PN) et (VM) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles DPN et DVM :

\[\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{DN}}{\text{DM}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{VM}}\]

On utilise l’égalité \(\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{VM}}\), soit \(\dfrac{3}{3{,}8} = \dfrac{\text{PN}}{0{,}741}\). D’où \(\text{PN} = \dfrac{3 \times 0{,}741}{3{,}8} = \dfrac{2{,}223}{3{,}8} = 0{,}585\) km. Au panneau, Fabienne se trouve à 585 m d’altitude.

3. Elle a parcouru 3 km en 2 h, donc sa vitesse moyenne est \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\) : elle a marché à 1,5 km/h sur le trajet [DP].

4. Il lui reste \(\text{PV} = 3{,}8 – 3 = 0{,}8\) km à parcourir à 1,2 km/h. La durée correspondante est \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2} = \dfrac{2}{3}\) h, soit \(\dfrac{2}{3} \times 60 = 40\) min. Durée totale de l’aller : 2 h + 40 min = 2 h 40 min. Comme 2 h 40 min est supérieur à 2 h 30 min, Fabienne a dépassé la durée estimée, de 10 minutes.

Exercice 5 :

1. a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Or la courbe \(\mathcal{C}_f\) de l’annexe n’est pas une droite (c’est une courbe qui descend puis remonte). Donc \(f\) n’est pas une fonction affine.

b. On lit sur le graphique les ordonnées des points de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisses \(-1\), 0, 1 et 2 :

c. La cellule B1 contient la valeur de \(x\), et la question 3 donne \(f(x) = (x + 3)(x – 1)\). La bonne formule est donc =(B1 + 3)*(B1 − 1). On peut le vérifier : pour \(x = -3\), elle donne \(0 \times (-4) = 0\), ce qui correspond à la cellule B2. La formule =B1 + 3 donnerait aussi 0 en B2, mais \(-2 + 3 = 1\) en C2 au lieu de \(-3\) : elle est donc à rejeter.

2. a. \(g(-2) = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3\). L’image de \(-2\) par \(g\) est \(-3\).

b. \(g(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1\), donc \(g(3) = 7\).

c. On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 2\) : \(2x + 1 = 2\), donc \(2x = 1\), puis \(x = \dfrac{1}{2}\). L’antécédent de 2 par \(g\) est \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).

d. La représentation graphique de \(g\), fonction affine, est une droite. Il suffit de deux points, par exemple les points de coordonnées \((-2\ ;\ -3)\) et \((3\ ;\ 7)\) trouvés aux questions précédentes ; on peut contrôler avec un troisième point comme \((0\ ;\ 1)\). On trace sur l’annexe la droite passant par ces points (elle a pour coefficient directeur 2 et coupe l’axe des ordonnées en 1).

3. a. On utilise la double distributivité : \((x + 3)(x – 1) = x \times x – x \times 1 + 3 \times x – 3 \times 1 = x^2 – x + 3x – 3\), d’où \((x + 3)(x – 1) = x^2 + 2x – 3\).

b. On résout l’équation \(f(x) = g(x)\) :

\[x^2 + 2x – 3 = 2x + 1\]

En retirant \(2x\) des deux côtés puis en ajoutant 3 : \(x^2 = 4\). Les nombres dont le carré vaut 4 sont 2 et \(-2\). Donc \(f(x) = g(x)\) pour \(x = -2\) et pour \(x = 2\). Vérification : \(f(2) = 5 \times 1 = 5\) et \(g(2) = 5\) ; \(f(-2) = 1 \times (-3) = -3\) et \(g(-2) = -3\). Graphiquement, ce sont les abscisses des deux points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et de la droite tracée en 2. d.

Exercice 6 :

1. a. Les points A, B et X sont alignés, donc l’angle \(\widehat{\text{ABX}}\) est plat et mesure 180°. Les angles \(\widehat{\text{ABC}}\) et \(\widehat{\text{XBC}}\) sont adjacents et supplémentaires : \(\widehat{\text{XBC}} = 180^\circ – 120^\circ\), soit \(\widehat{\text{XBC}} = 60^\circ\).

b. Un hexagone a 6 côtés : il faut répéter 6 fois « avancer puis tourner ». À chaque sommet, le lutin qui arrive dans la direction de [AB] doit repartir dans la direction de [BC] : il tourne de l’angle extérieur \(\widehat{\text{XBC}}\) calculé à la question précédente, soit 60°. Le bloc complété est :

définir Hexagone
stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
    avancer de (longueur)
    tourner ↺ de 60 degrés
relever le stylo

On peut vérifier : le lutin fait \(6 \times 60^\circ = 360^\circ\), soit exactement un tour complet, et revient à son point de départ dans sa direction initiale. Il faut donc écrire 6 et 60.

2. a. La boucle « répéter 5 fois » appelle le bloc Hexagone une fois à chaque passage : le script trace 5 hexagones réguliers.

b. Avant la boucle, la variable longueur est fixée à 32 : les côtés du 1^er hexagone mesurent 32 pas.

c. Après le tracé du 1^er hexagone, la longueur est multipliée par 1,5 : \(32 \times 1{,}5 = 48\). Les côtés du 2^e hexagone mesurent 48 pas.

d. Les longueurs successives sont 32, 48, 72, 108 et 162 : les hexagones sont de plus en plus grands, ce qui écarte le dessin 1 (hexagones identiques). Par ailleurs, le lutin ne se déplace jamais entre deux hexagones : chaque tracé revient au point de départ avec la même orientation (vers la droite), donc tous les hexagones partent du même sommet, avec leur côté inférieur sur la même droite horizontale. Ils ne sont pas concentriques comme dans le dessin 2. Le script correspond au dessin 3.

Les autres sujets du brevet de maths 2023

• Amérique du nord 2023 : brevet de mathsavec sujet et corrigé en PDF.
• Asie Pacifique : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé du DNB en PDF.
• Brevet de maths 2023 en Amérique du Sud : sujet et corrigé
• Brevet de maths 2023 en France (septembre) : sujet et corrigé
• Brevet de maths 2023 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé
• Brevet de maths 2023 en Polynésie : sujet et corrigé
• Centres étrangers : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé.
• Conseils pour réussir son brevet de maths 2023.
• France : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé en PDF.