Cette fiche rassemble 56 exercices de mathématiques de première pour s’entraîner sur la dérivée d’une fonction et sur ses applications. Par ailleurs, les premiers énoncés font travailler les formules de dérivation : sommes, produits, quotients, puissances, racines carrées et fonctions du type \(x\mapsto f(ax+b)\). D’autres reviennent à la définition du nombre dérivé comme limite d’un taux de variation, à la dérivabilité en un point et à la lecture graphique du coefficient directeur d’une tangente.
Une grande partie des questions demande l’équation de la tangente en un point, puis l’étude du sens de variation : signe de la dérivée, tableau de variations, recherche d’extremums. Quelques problèmes concrets complètent l’ensemble, comme le prix de revient d’un trajet en camion, le rectangle d’aire maximale ou la détermination des coefficients d’une parabole à partir de ses tangentes.
Cherchez chaque exercice au brouillon en rédigeant vos justifications, puis comparez votre travail avec le corrigé détaillé de ces exercices pour repérer vos erreurs de méthode.
Exercice 1 (dérivée d’une fonction)
Dériver la fonction f dans les cas suivants :
1. \(f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1 .\)
2. \(f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2} .\)
3. \(f(x)=(\sqrt{x+1})\times (x^2-2) .\)
4. \(f(x)=(2x-\sqrt{x})\times (x+4) .\)
5. \(f(x)=\frac{1}{1-4x} .\)
6. \(f(x)=\frac{-3}{2x-1} .\)
7. \(f(x)=\frac{2x-1}{3x+2} .\)
8. \(f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3} .\)
9. \(f(x)=(5x^2+1)^2 .\)
10. \(f(x)=(-2x-1)^3 .\)
11. \(f(x)=\sqrt{3x-4}.\)
12. \(f(x)=2x\sqrt{-3x+2}.\)
Exercice 2 :
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants :
1. f(x)= 3x²-x+1 avec a= -1.
2. \(f(x)=\frac{2x-1}{x-2}\) avec a= 3.
3. \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\) avec a= 9.
Exercice 3 (dérivée d’une fonction)
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :
\(f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x}\) .
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1. Par ailleurs, déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?
3. Puis déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y=- \frac{2}{3}x-5\).
Exercice 4 – Equation de la tangente à une courbe représentative
Soit f la fonction définie sur R par \(f(x) = x^4 -2x + 1\).
Soit (Cf ) sa courbe représentative.
1. Ensuite, donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.
2. Puis tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].
Exercice 5 – Calculer une limite (dérivée d’une fonction)
Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :
\(\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}\).
Pour cela on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(1+x)^{2005}\).
1. De plus, calculer la dérivée f’ de la fonction f. Ensuite, calculer f ‘ (0).
2. Par ailleurs, calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. Puis en déduire la limite ci-dessus.
Exercice 6 – Prix de revient et vitesse d’un camion
Un camion doit faire un trajet de 150 km.
Sa consommation de gasoil est de \(6+\frac{v^2}{300}\) litres par heure, où \(v\) désigne sa vitesse en\(km/h\).
Ensuite, le prix du gasoil est de 0,9 € le litre et on paie le chauffeur 12 € par heure.
1. Soit t la durée du trajet en heure. Puis exprimer t en fonction de la vitesse \(v\).
2. De plus, calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.
3. Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?
Exercice 7 – Sommet d’une parabole (dérivée d’une fonction)
Soit (P) la parabole définie par la fonction \(f(x) = x^2 – 3x + 1\).
Ensuite, calculer les coordonnées de son sommet S.
Exercice 8 – Etude d’un rectangle
On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.
1. Par ailleurs, déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à \(\frac{3}{4}\) cm².
2. Puis on recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.
a. Ensuite, exprimer S en fonction de la largeur l.
b. Puis on considère la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x(2-x)\).
Calculer la dérivée f’ de f puis étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].
c. De plus, en déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l’aire S est maximale.
Exercice 9 – Fonction numérique et racine (dérivée d’une fonction)
On considère la fonction f définie sur R par : \(f(x) = x^3 – 3x – 3\).
Ensuite, on note (Cf ) sa représentation graphique.
1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. Par ailleurs, déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.
4. Puis tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.
5. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle [2 ; 3].
6. Ensuite, donner une valeur approchée de \(\alpha\), par défaut, à \(10^{-1}\) près.
Exercice 10 – Tableau de variation et équation
1. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : \(f(x) = x^2 -3x + 2.\)
2. Également, résoudre l’équation f(x) = 0.
Exercice 11 – Etude de deux fonctions et des tangentes (dérivée d’une fonction)
On considère la fonction définie par \(f(x)=x^2-x-1\).
Puis on note (Cf ) sa courbe représentative.
De plus, on considère également la fonction g définie par g(x) = 3 – x.
Ensuite, on note (D) sa représentation graphique.
1. Par ailleurs, calculer la dérivée f’ de f.
2. Puis déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse \(x_0=2\).
3. Ensuite, résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).
4. Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).
5. Puis tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).
Exercice 12 – Déterminer la dérivée de fonctions numériques
Dériver les fonctions suivantes :
\(f(x)=4x^2-3x+1\)
\(g(x)=(2x+3)(3x-7)\)
\(h(x)=\frac{2x+4}{3x-1}\) pour \(x\neq\frac{1}{3}\)
\(k(x)=(2x^2+3x+1)^2\)
Exercice 13 – Dérivée de plusieurs fonctions (dérivée d’une fonction)
Dériver les fonctions suivantes :
\(f(x)=x^2\)
\(g(x)=3x^4-2x^3+5x-4\)
\(h(x)=\sqrt{x}(1-\frac{1}{x})\)
\(k(x)=\frac{x+5}{x^2+1}\)
Exercice 14 – Valeur absolue et dérivabilité
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)= | 2x+3 |\) .
Etudier la dérivabilité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
Exercice 15 – Dérivée d’une fonction puissance
Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:
a) u2 est dérivable sur I et (u2)’=2uu’.
b) u3 est dérivable sur I et (u3)’=3u2u’.
Exercice 16 – Sens de variation
On considère la fonction f définie par \(f(x)=x(1-x)\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Démontrer que \(f(x)\leq\,\frac{1}{4}\) pour tout x appartenant à \(\mathbb{R}\).
2. De plus, en déduire que la fonction f admet un maximum en \(x=\frac{1}{2}\).
3. Démontrer que \(f(x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2\).
4. Ensuite, en déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle \(]-\infty;\frac{1}{2}[\) et décroissante sur \(]\frac{1}{2};+\infty[\).
Exercice 17 (dérivée d’une fonction)
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+6x+5\)
1. Etudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
2. Par ailleurs, déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de \(f\) et la droite \(D\) d’équation \(y=\frac{1}{2}x-2\).
Exercice 18
Etudier les variations sur \(\mathbb{R}\) de la fonction f définie par \(f(x)=3x-4x^3\) .
Exercice 19 (dérivée d’une fonction)
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}\).
1. Etudier les variations de f sur \(\mathbb{R}\) .
2. Puis déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .
3. Ensuite, déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de \(f\) au point A.
Exercice 20
Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction \(f\) définie par :
\(f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}\) .
Exercice 21 – Courbe représentative, dérivée et tangente (dérivée d’une fonction)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 -2x^2 + 3\)
On appelle \(C_f\) sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
1) a) Etudier la parité de \(f\). Que peut-on en déduire pour \(C_f\) ?
b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de \(f\) et en déduire le tableau de variation de \(f\)
2) a) Déterminer une équation de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse 1.
b) Cette tangente recoupe \(C_f\) en deux autres points.
b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :
\(x^4-8x^2 + 12x -5 = 0\)
b.2) Vérifiez que l’on a :
\(x^4 -8x^2 + 12x -5 = (x – 1)^2(x^2 + 2x – 5)\)
b.3) En déduire les abscisses de ces points.
Exercice 22 – Parabole et tangentes
Soit (P) la parabole d’équation \(y=x^2-3x+\frac{5}{4}\)
et (H) l’hyperbole d’équation \(y=\frac{3(3x+5)}{4(x+3)}\).
Le plan est ramené à un repère orthonormal.
1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.
2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.
Rappel : Dans un r.o.n deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .
Exercice 23 – Tangente et déterminer un réel (dérivée d’une fonction)
Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation \(y = (m – 1) x^2 + ( 3m + 2) x + 4\)
admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.
Exercice 24 – Déterminer l’abscisse d’une tangente
Soit la fonction \(f:x \mapsto \frac{-x^2 +2x-1}{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) et soit (C) sa courbe représentative.
Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :
1) est horizontale
2) est parallèle à la droite d’équation \(y=-\frac{2}{3}x-5\).
Exercice 25 – Retrouver l’expression d’une fonction carrée (dérivée d’une fonction)
Une parabole \((P)\) admet dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\) une équation du type :
\(y=ax^2+bx+c\,(a\neq0)\)
1. Puis déterminer les coefficients a, b et c sachant que \((P)\) coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.
2. De plus, indiquer l’abscisse du second point d’intersection de \((P)\) avec (Ox).
Exercice 26 – Nombre dérivée et tangente à une courbe
(C) représenter une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.
Dans chaque cas détermine \(f^{\prime}(a)\)et donner une équation de la tangente T.
Exercice 27 – Equation de tangente à une parabole (dérivée d’une fonction)
On considère la fonction f définie par :
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).
Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).
1. Ensuite, déterminer une équation des tangentes à (Cf ).
En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).
2. Par ailleurs, exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.
3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.
Exercice 28 – Limite en l’infini et tableau de variation
On considère la fonction \(f\) définie sur\(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) .
1. Puis calculer les limites de f en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
2. Ensuite, calculer la dérivée f ‘ de f et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
Exercice 29 – Lecture graphique (dérivée d’une fonction)
Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].
1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :
f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).
2. Puis le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.
Exercice 30 – Calcul d’une dérivée et tableau de variation
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -x^3 – 3x^2 + 9x\).
1. De plus, calculer la dérivée \(f^{\prime}\) et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Exercice 31 – Lecture graphique du nombre dérivé (dérivée d’une fonction)
Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur\(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=(1-\frac{x}{2})^4\) ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse \(x_0=4\).
1. Ensuite, donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).
2. Par ailleurs, déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).
Exercice 32 – Dérivabilité en un point
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\)par \(f(x)=\frac{1}{x}+2\) .
1. Puis montrer que f est dérivable en 2.
2. Ensuite, déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.
Exercice 33 – Calcul de dérivée et du nombre dérivé (dérivée d’une fonction)
1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :
\(f(x)=\frac{x}{x+\sqrt{x}}\,sur\,]0;+\infty[\)
\(g(x)=(\frac{1}{1+x})^3\,sur\,\mathbb{R}-\{-1\}\)
2. Puis calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).
Exercice 34 – Sens de variation et encadrement
1. Etudier le sens de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :\(f(x)=x(1-x)\).
2. De plus, en déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].
Exercice 35 – Etude d’une fonction numérique (dérivée d’une fonction)
On considère la fonction \(f\) définie sur\(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=x-2+\frac{4}{x}\).
1. Ensuite, calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. Par ailleurs, tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur\([-4 ; 0[\cup ]0 ; 4]\).
Exercice 36 :
Déterminer sur quel ensemble est dérivable chacune des fonctions suivantes, puis déterminer sa dérivée.
a)\(f:\,x\,\mapsto \,5x^2-\,3x+\,2\) définie sur \(\mathbb{R}\).
b)\(g:x\,\mapsto \,100+\frac{1}{x}\) définie sur \(\mathbb{R}^*\).
c)\(h:x\,\mapsto \,x\sqrt{x}\) définie sur \([0;+\infty[\) .
d)\(j:x\,\mapsto \,\frac{12-5x}{9x+2}\) définie sur \(\mathbb{R} – \{-\frac{2}{9} \}\).
Exercice 37 (dérivée d’une fonction)
Soit g la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g:x\mapsto (-9x+ 1)^5\).
Déterminer sur quel ensemble elle est dérivable puis déterminer sa dérivée.
Exercice 38 :
La fonction f est représentée par la courbe rouge ci-dessous.
Quel est le taux de variation de f entre 2 et 5 ?
Exercice 39 (dérivée d’une fonction)
Sur le graphique ci-dessous la tangente en A(-2; 1) à la courbe
représentative d’une fonction f définie sur [-4 ; 9] passe par le point B(1 ; 6).
Puis déterminer f ‘ (-2).
Exercice 40 :
Soit f la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f:x\,\mapsto \,\sqrt{x}-3\)
et h un nombre réel non nul.
1. Ensuite, montrer, à l’aide de l’identité remarquable
(a – b)(a + b) = a² – b², que le taux de variation de f entre 9 et 9 + h est égal à
\(\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}\).
2. Ensuite, en déduire que la fonction est dérivable en 9 et déterminer f ‘ (9).
Exercice 41 (dérivée d’une fonction)
La courbe d’une fonction g définie sur [-3 ; 5] est représentée ci-dessous.
La tangente à cette courbe au point A d’abscisse 3 passe par le point de coordonnées (-3 ; 6).
Que vaut g(3) ? Que vaut g ‘ (3) ?
Exercice 42 :
Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’une somme de deux fonctions u + v.
Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.
En déduire sur quel ensemble la fonction « somme » est dérivable,
puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.
\(f:x\,\mapsto \,\frac{1}{x}+x\) \(g:x\,\mapsto \,-5+\frac{1}{x^2}\) \(h:x\,\mapsto \,x^4+x^2\)
Exercice 43 (dérivée d’une fonction)
Utiliser Geogebra pour répondre aux questions suivantes
portant sur la fonction \(f:x\,\mapsto \,\frac{-9}{2x^2-4x+3}\).
1. Saisir l’équation de la courbe représentative de f:
«y=-9/(2x^2-4x+3)».
2. Puis placer un point sur la courbe.
3. De plus, tracer la tangente à la courbe en ce point.
4. Afficher le coefficient directeur de la tangente.
5. Ensuite, en sélectionnant le point et en le plaçant à la bonne abscisse,
déterminer une valeur approchée de f ‘ (-2) ; f ‘ (-1); f ‘(0) ; f ‘ (1) et f ‘(2).
Exercice 44 :
Soit g une fonction dérivable sur R. Par ailleurs, on a le tableau de valeurs suivant.
| \(x\) | \(-3\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(5\) |
| \(g(x)\) | \(6\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(3\) | \(1\) |
| \(g^{\prime}(x)\) | \(-4\) | \(0\) | \(1{,}5\) | \(0\) | \(-1\) | \(-3\) |
1. Puis dans un repère orthonormé placer les points de coordonnées (x; g(x)).
2. Ensuite, construire en chacun de ces points les tangentes à la courbe \(C_g\) représentative de la fonction g.
3. Puis représenter une allure possible de \(C_g\).
Exercice 45 (dérivée d’une fonction)
On a représenté la courbe \(C\) d’une fonction f en rouge et la courbe \(C^{\prime}\) de sa fonction dérivée f ‘ en bleue.
De plus, déterminer une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente à \(C\) au point A d’abscisse 2.
Exercice 46 :
Déterminer pour chacune des fonctions suivantes, l’ensemble I sur lequel elle est dérivable,
puis sa fonction dérivée sur I.
a) \(f(x)=\frac{5}{2x}+\frac{3}{4}-\frac{7x^2}{4}\) b) \(g(x)=\frac{-4}{5x}(x-11)\)
c) \(h(x)=\frac{5x^2-8x+1}{21-7x}\) d) \(j(x)=\frac{-5}{3x^2+2}\)
e) \(k(x)=\frac{9x}{x^2-6x+5}\) f) \(m(x)=\sqrt{10-x}\)
Exercice 47 :
La courbe représentative d’une fonction f définie sur R passe par les points A et B.
Quel est le taux de variation de f entre -1 et 1 ?
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f:\,x\,\mapsto \,11x-\,7\) et h un nombre réel non nul.
Ensuite, déterminer le taux de variation de f entre 3 et 3 + h.
Exercice 48 :
Soit f une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et h un nombre réel non nul.
Par ailleurs, on sait que \(\frac{f(-7+h)-f(-7)}{h}=\frac{5}{3}(4h+9)\).
Peut-on dire que la fonction f est dérivable en -7 ? Si oui, déterminer \(f^{\prime}(-\,7).\)
Exercice 49 :
Soit g une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) et x un nombre réel proche de 3 mais différent de 3.
On sait que \(\frac{g(x)\,-\,g(3)}{x-3}=2x+3\).
Peut-on dire que la fonction g est dérivable en 3 ? Si oui, déterminer g'(3).
Exercice 50 :
La courbe d’une fonction g définie sur [- 3 ; 5] est représentée ci-dessous.
Puis la tangente à cette courbe au point A d’abscisse 3 passe par le point de coordonnées (- 3 ; 6).
Que vaut g(3) ? Que vaut \(g^{\prime}(3)\)?
Exercice 51 :
Soit f une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f^{\prime}(2)\,=-1\) et \(f^{\prime}(0)\,=\,2\).
Soit \(C_f\) sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.
Reproduire la courbe \(C_f\) (en plaçant quelques points importants et en respectant l’allure) et tracer la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse 2 et la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse 0.
Exercice 52 :
Pour chacune des fonctions suivantes, dire sur quel ensemble elle est dérivable, puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.
\(f:x\,\mapsto \,x^4;\,g:x\,\mapsto \,x^{12};h:x\,\mapsto \,x^{-1};\)
Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’une somme de deux fonctions u + v.
Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.
En déduire sur quel ensemble la fonction « somme» est dérivable, puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.
\(f:x\,\mapsto \,\frac{1}{x}+x\,;\,g:x\,\mapsto \,-5+\frac{1}{x^2};h:x\,\mapsto \,x^4+x^2;\)
Exercice 53 :
Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’un produit de deux fonctions \(u\,\times \,v\).
Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.
Ensuite, en déduire sur quel ensemble la fonction « produit » est dérivable, puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.
\(f:x\,\mapsto \frac{1}{x}(9-6x);\,g:x\,\mapsto \,x^2\sqrt{x};h:x\,\mapsto \,(x^5+x^3)(x^2-4);\)
Exercice 54 :
Soit f la fonction définie sur \(I=]-4;+\infty[\) par \(f:x\,\mapsto \,\frac{1}{2x+8}\).
1.f est de la forme \(\frac{1}{v}\).
Puis donner l’expression de la fonction v et résoudre l’équation v(x)=0.
2. De plus, en utilisant le théorème de la dérivée de l’inverse d’une fonction, démontrer que la fonction f est dérivable sur I et donner l’expression de sa dérivée \(f^{\prime}\).
Exercice 55 :
Soit h la fonction définie sur \(I=]-\infty;4[\) par \(h:x\,\mapsto \,\sqrt{-3x+12}\).
1. h est une fonction composée de deux fonctions g et f dans cet ordre.
Ensuite, donner l’expression des fonctions g et f.
2. Par ailleurs, en utilisant le théorème ce résultat composée, démontrer que la fonction h est dérivable sur I.
3. De plus, déterminer l’expression de \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel strictement positif x et celle de \(g^{\prime}(x)\) pour tout réel x de I.
4. Puis en déduire l’expression de la dérivée \(h^{\prime}\).
Exercice 56 :
Dans le repère orthonormé (O ; i, J) ci-dessous, la courbe rouge \(C_f\) représente une
fonction f définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), les droites tracées en bleu représentent les
tangentes à \(C_f\) respectivement au point O, au point B d’abscisse 1 et au point C d’abscisse
3.
1. Ensuite, déterminer graphiquement \(f^{\prime}(0)\), \(f^{\prime}(1)\) et \(f^{\prime}(3).\)
2. Par ailleurs, déterminer l’équation réduite de la tangente à \(C_f\) au point C.
3. Puis la courbe \(C_f\) est la représentation graphique de la fonction \(f:\,x\,\mapsto \,x^3-4x^2\,+2x\).
Retrouver par le calcul les résultats des questions 1. et 2.
Dérivée d’une fonction : méthode de travail
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. De plus, un travail régulier sur cette notion vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Fonction (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec limites de fonctions : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
