Corrigé des exercices de maths

Dérivée d’une fonction numérique : corrigé des exercices en 1ère en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur la dérivée d’une fonction. Connaître les formules de dérivation et le nombre dérivé en un point. Savoir déterminer l’équation réduite ou cartésienne de la tangente à une courbe en première.

Exercice 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1.  f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1 .
 f ' (x)=-12x^2+4x-3 .

2.  f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2} .
 f ' (x)=3x-2 .

3.  f(x)=(\sqrt{x+1})\times   (x^2-2) .
 f ' (x)=(\frac{1}{2\sqrt{x+1}})\times   (x^2-2) +(\sqrt{x+1})\times   (2x)=\frac{5x^2+4x-2}{2\sqrt{x+1}}.

4.  f(x)=(2x-\sqrt{x})\times   (x+4) .
 f ' (x)=4x+8-\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}} .

5.  f(x)=\frac{1}{1-4x} .
 f ' (x)=\frac{4}{(1-4x)^2} .

6.  f(x)=\frac{-3}{2x-1} .
 f ' (x)=\frac{6}{(2x-1)^2} .

7.  f(x)=\frac{2x-1}{3x+2} .
 f ' (x)=\frac{7}{(3x+2)^2} .

8.  f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3} .
 f ' (x)=\frac{6x^2-18x+10}{(2x-3)^2} .

9.  f(x)=(5x^2+1)^2 .
 f ' (x)=100x^3+20x.

10.  f(x)=(-2x-1)^3 .
 f ' (x)=-6(-2x-1)^2 .

11.  f(x)=\sqrt{3x-4}.
 f ' (x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-4}}.

12.  f(x)=2x\sqrt{-3x+2}.
 f ' (x)=\frac{-9x+4}{\sqrt{-3x+2}}.

Exercice 2 :
1. f(x)=\,3x^2-x+1 avec a=\,-1.
 f ' (x)=6x-1.
 f (-1)=5\,,\,f ' (-1)=-7.

donc l’équation de la tangente en a=-1 est :

 y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)=-7(x+1)+5=-7x-2

2.  f(x)=\frac{2x-1}{x-2} avec a= 3.

Montrer que : f ‘ (3)=-2 ; f(3) = 5 et y = -2x+11.

3.  f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x} avec a= 9.

Montrer que :  f '(9)=\frac{-1}{54} \,;\,f(9)=\frac{1}{3}\,;\,y=\frac{-1}{54}x+\frac{1}{2}

Exercice 3 :
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^* par :

 f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x} .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
Le coefficient directeur de la tangente est donc nul or il vaut f'(x_o).

Résolvons f\,'(x)\,=\,0
 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0
 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0  \Leftrightarrow x=1\,et\,x=3

2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?
 \Leftrightarrow f ' (x) =\frac{x^2-4x+3}{x^2}=-2
 \Leftrightarrow x^2-4x+3=-2x^2
 \Leftrightarrow 3x^2-4x+3=0
Il n’y a donc aucun point de la courbe.

3 Determiner les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation  y=- \frac{2}{3}x-5.

Si elle est parallèle cela équivaut à dire qu’elle a le même coefficient directeur,
nous sommes donc amenés à résoudre l’équation :
 f ' (x) =\frac{x^2-4x+3}{x^2}=\frac{-2}{3}
Il n’existe aucun point.

Exercice 4 :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x^4 -2x + 1.
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

f'(x)=4x^3-2

f'(0)=4\times   0^3-2=-2  et  f(0)=1

donc

y-1=-2(x-0)

{\color{DarkRed} y=-2x+1}

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

Exercice 5 :

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}.

Pour cela on considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(1+x)^{2005}.

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

f est un polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.

f'(x)=2005(1+x)^{2004}

et f'(0)=2005(1+0)^{2004}=2005.

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

L’accroissement moyen de f entre o et h est :\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}

et \lim_{h\mapsto  0 }\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\lim_{h\mapsto  0 }\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}=f'(0) car la fonction f est dérivable en 0.

Conclusion :  {\color{DarkRed} \lim_{h\mapsto  0 }\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}=2005}

Exercice 6 :
1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse v.

t=\frac{d}{v}=\frac{150}{v}

2.  Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

P(v)= ( 6+\frac{v^2}{300}  )\frac{150}{v}\times   0,9+12\times   \frac{150}{v}

P(v)= ( 6+\frac{v^2}{300}  )\frac{135}{v}+ \frac{1800}{v}

P(v)=\frac{810}{v}+\frac{135}{300}v+ \frac{1800}{v}

P(v)=\frac{2610}{v}+0,45v

3.  Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

P'(v)=-\frac{2610}{v^2}+0,45

P'(v)\geq\, 0\Leftrightarrow -\frac{2610}{v^2}+0,45\geq\, 0

0,45\geq\, \frac{2610}{v^2}

0,45v^2\geq\, 2610

v^2\geq\, \frac{2610}{0,45}

v^2\geq\, 5800

(v-\sqrt{5800})(v+\sqrt{5800})\geq\, 0

ceci est vérifié pour [\sqrt{5800};+\infty[

Donc le minimum est atteint pour v=\sqrt{5800}\simeq 76,16\,km/h.

Conclusion : pour que le prix de revient de la course soit minimal, il faut que le camion roule à une vitesse moyenne de 76,16 km/h.

Exercice 7 :
Soit (P) la parabole définie par la fonction f(x) = x^2 - 3x + 1.

Calculer les coordonnées de son sommet S.

Son sommet est le minimum donc la dérivée est nulle en ce point.

f'(x)=2x-3

f'(x)=0\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}

et

f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^2-3\times   \frac{3}{2}+1=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+\frac{4}{4}\\=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}+\frac{4}{4}=-\frac{5}{4}

Les coordonnées de son sommet sont S(\frac{3}{2};-\frac{5}{4})

Exercice 8 :
On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à \frac{3}{4}  cm².
Nous avons :

L\times   l=\frac{3}{4} et 2(L+l)=4 soit L+l=2

Nous avons la somme et le produit de deux nombres, ils sont solution de l’équation :

x^2-2x+\frac{3}{4}=0
\Leftrightarrow 4x^2-8x+3=0

Calculons le discriminant :

\Delta =(-8)^2-4\times   4\times   3=64-48=16

\Delta >0 il y a donc deux racines réelles distinctes.

x_1=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}  et  x_1=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}

Conclusion : la longueur est \frac{3}{2}\,cm et la largeur est \frac{1}{2}\,cm.

2.  On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur  l.

l=2-L

S=l\times   L=L(2-L).

b. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x(2-x).

Cette fonction f correspond à l’aire du rectangle.

Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

f(x)=-x^2+2x

f'(x)=-2x+2

f'(x)\geq\, 0\Leftrightarrow -2x+2\geq\, 0

\Leftrightarrow -2x\geq\, -2

\Leftrightarrow x\leq\, \frac{-2}{-2}
\Leftrightarrow x\leq\, 1.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

f est croissante sur [0;1] et décroissante sur [1;2].

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c.  En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Pour que S soit maximale il faut que L = 1 cm.

et donc la largeur est l = 2-1=1 cm

Finalement ce rectangle est un carré de côté 1 cm.

Exercice 9 :
On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x^3 - 3x - 3.

On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

f'(x)=3x^2-3

f'(x)\geq\, 0\Leftrightarrow 3x^2-3\geq\, 0\Leftrightarrow 3(x^2-1)\geq\, 0\\\Leftrightarrow (x-1)(x+1)\geq\, 0

donc f’ est négative sur [ – 1 ; 1 ] .

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3.  Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
f(0)=0^3-3\times   0-3=-3
f'(0)=3\times   0^2-3=-3

y-(-3)=-3(x-0)

y+3=-3x

{\color{DarkRed} y=-3x-3}

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5.  Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique \alpha dans l’intervalle [2 ; 3].

f est continue et strictement croissante sur [2;3], de plus elle passe d’une valeur négative à une valeur positive

donc d’après le théorème de bijection 0 admet un unique antécédent sur [2 ; 3 ].

6. Donner une valeur approchée de \alpha, par défaut, à 10^{-1} près.

Exercice 10 :

1.  Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : f(x) = x^2 -3x + 2.

Nous avons   f(x)=(x-1)(x-2)

f est décroissante sur ]-\infty;1,5]  et croissante sur [1,5;+\infty[ .

2.  Résoudre l’équation f(x) = 0.

(x-1)(x-2)=0

C’est une équation produit, il y a deux solutions :  x=1\,ou\,x=2  .

Exercice 11 :
1. Calculer la dérivée f ‘ de f.

f est un polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.

f'(x)=2x-1.

2.  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse x_0=2.

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

f(2)=2^2-2-1=1

f'(2)=2\times   2-1=3

y-1=3(x-2)

y-1=3x-6

{\color{DarkRed} y=3x-5}

3.  Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

x^2-x-1=3-x

x^2-x-1-3+x=0

x^2-4=0

x^2=4

x=2\,ou\,x=-2.

Il y a donc deux points d’intersection entre ces deux courbes.

4.  Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

f(2)= 1 donc le premier point d’intersection est I(2;1).

f(-2)=(-2)^2-(-2)-1=4+2-1=5

le second point d’intersection est J ( – 2 ; 5 ) .

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

Exercice 12 :

Dériver les fonctions suivantes :

f(x)=4x^2-3x+1\\g(x)=(2x+3)(3x-7)\\h(x)=\frac{2x+4}{3x-1}\,pour\,x\neq\frac{1}{3}\\k(x)=(2x^2+3x+1)^2

f est une fonction polynôme dérivable sur \mathbb{R}.

f'(x)=8x-3.

g est le produit de deux fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

g'(x)=2(3x-7)+(2x+3)\times   3=6x-14+6x+9=12x-5.

h est une fonction rationnelle dérivable sur \mathbb{R}- \{ \frac{1}{3}  \}.

h'(x)=\frac{2(3x-1)-(2x+4)\times   3}{(3x-1)^2}

h'(x)=\frac{6x-2-6x-12}{(3x-1)^2}

h'(x)=\frac{-14}{(3x-1)^2}

Exercice 13 :

Dériver les fonctions suivantes :

f(x)=x^2\\g(x)=3x^4-2x^3+5x-4\\h(x)=\sqrt{x}(1-\frac{1}{x})\\k(x)=\frac{x+5}{x^2+1}

f est un polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.

f'(x)=2x.

g est un polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.

g'(x)=12x^3-6x^2+5.

h est un produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}^*.

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(1-\frac{1}{x})+\sqrt{x}\times   \frac{1}{x^2}

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\times   \frac{1}{x}+\sqrt{x}\times   \frac{1}{x^2}

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}+ \frac{\sqrt{x}}{x^2}

k est une fonction rationnelle dérivable sur \mathbb{R}.

k'(x)=\frac{1(x^2+1)-(x+5)\times   2x}{(x^+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2-10x}{(x+1)^2}=\frac{-x^2-10x+1}{(x+1)^2}

Exercice 14 :

Soit  f  une fonction définie sur  \mathbb{R}  par f(x)= | 2x+3  | .

Etudier la dérivabilité de  f  sur  \mathbb{R}  .

2x+3\geq\, 0\Leftrightarrow x\geq\, -\frac{3}{2}

Premier cas :

Si\, x> -\frac{3}{2}     f(x)=2x+3  et f est dérivable sur  ]-\frac{3}{2};+\infty [  en tant que fonction affine .

et  f'(x)=2 .

Second cas :  

Si\,x< -\frac{3}{2}   f(x)=-2x-3  et f est dérivable sur  ]-\infty;-\frac{3}{2} [  en tant que fonction affine  .

et f'(x)=-2

Dérivabilité en  0 :

\lim_{x \to-\frac{3}{2}^+ }f'(x)=2  et \lim_{x \to-\frac{3}{2}^- }f'(x)=-2

Conclusion : f est dérivable sur  \mathbb{R}\setminus \, \ -\frac{3}{2}{  \}

Exercice 15 :

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u 2  est dérivable sur I et (u2 )’=2uu’.

u^2=u\times   u

Or si u est dérivable, un produit de fonctions est aussi dérivables sur l’intervalle I.

En utilisant la formule de la dérivée d’un produit, nous obtenons :

(u^2)^'=u^'\times   u+u\times   u^'=2uu^'

b) u3  est dérivable sur I et (u3 )’=3u2 u’.

de même :

u^3=u\times   u^2

les fonctions  u et u^2 sont dérivables sur I donc u^3 également

en tant que produit de fonctions dérivables sur I .

Et en réutilisant la formule de la dérivée d’un produit :

(u^3)^'=(u\times   u^2)^'=u'\times   u^2+u\times   (u^2)^'

En utilisant la question a) :

(u^3)^'=u'\times   u^2+u\times   2\times   u\times   u^'

(u^3)^'=u'\times   u^2+2\times   u^2\times   u^'

{\color{DarkRed} (u^3)^'=3\times   u^2\times   u^'}

Exercice 16 :

1. f est dérivable sur \mathbb{R} car c’est un polynôme .

f(x)=x-x^2

f'(x)=1-2x

1-2x\geq\, 0\Leftrightarrow x\leq\, \frac{1}{2}

donc f est croissante sur ]-\infty; \frac{1}{2}] et décroissante sur [\frac{1}{2};+\infty[ .

donc son maximum est atteint en x=\frac{1}{2} .

f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

donc  \gamma x\in\mathbb{R}\,,\,f(x)\leq\, \frac{3}{4}.

3. \frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}-(x^2-x+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}-x^2+x-\frac{1}{4}=-x^2+x=f(x)

Exercice 17 :

Soit la fonction  f définie sur  \mathbb{R} par  f(x)=x^2+6x+5

1.  f sur  \mathbb{R} en tant que fonction polynômiale.
f'(x)=2x+6
 f'(x)\ge 0 \Leftrightarrow 2x+6\ge0\Leftrightarrow x\ge -3
donc f est croissante sur  [-3;+\infty[ et décroissante sur  ]-\infty;3]

2. Résolvons l’équation : .
 x^2+6x+5=\frac{1}{2}x-2

\Leftrightarrow x^2+\frac{11}{2}x+7=0
\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+7=0
\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+\frac{112}{16}=0
\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+\frac{112}{16}=0
\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{9}{16}=0
\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{3^2}{4^2}=0
\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4}-\frac{3}{4})(x+\frac{11}{4}+\frac{3}{4})=0
\Leftrightarrow (x+\frac{8}{4})(x+\frac{14}{4})=0
Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
\Leftrightarrow x=-\frac{8}{4}=-2\,ou\,x=-\frac{14}{4}=-3,5
de plus les ordonnées des points d’intersection vérifient :
\Leftrightarrow \frac{1}{2}x-2=\frac{-2}{2}-2=-3\,et\,\frac{1}{2}x-2=\frac{-3,5}{2}-2=-3,75
Donc les deux courbes se coupent aux points A(-2;-3) et B(-3,5;-3,75).

Exercice 18 :

Etudier les variations sur \mathbb{R} de la fonction f définie par  f(x)=3x-4x^3 .
f est une fonction polynômiale donc dérivable sur \mathbb{R} .
 f'(x)=x-12x^2=x(1-12x)
avec un tableau des signes, nous montrons que f’ est positive ou nulle sur [0;\frac{1}{12}]
donc f est croissante sur [0;\frac{1}{12}]

Exercice 19 :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

 f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}.

1. f est définie et dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction rationnelle.
 f'(x)=\frac{-4\times  (x^2+2x+5)-(-4x-4)\times   (2x+2)}{(x^2+2x+5)^2}
 f'(x)=\frac{-4x^2-8x-20-(-8x^2-8x-8x-8)}{(x^2+2x+5)^2}
 f'(x)=\frac{-4x^2-8x-20+8x^2+16x+8)}{(x^2+2x+5)^2}
 f'(x)=\frac{4x^2+8x-12}{(x^2+2x+5)^2}
 f'(x)=\frac{4(x^2+2x-3)}{(x^2+2x+5)^2}
 f'(x)=\frac{4(x-1)(x+3)}{(x^2+2x+5)^2}
En effectuant un tableau des signes, nous obtenons :
f ‘ négative ou nulle sur [-3;1] donc f est décroissante sur [-3;1] .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .
 f(x)=0\Leftrightarrow -4x-4=0 \Longleftrightarrow x= -1
Donc les coordonnées du point A(-1;0) .

3.f(-1)=0 et f'(-1)=\frac{4(-1-1)(-1+3)}{(1-2+5)^2}=\frac{-16}{16}=-1
y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)=-(x+1)+0=-x-1
L’équation de la tangente en A à la courbe de f est y = – x – 1 .

Exercice 20 :

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction  f définie par :

 f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2} .
C’est le même principe que précédemment
Montrer que f est croissante sur  [0;\frac{28}{9}]\,donc\,sur\,[0;1[

Exercice 21 :

Soit f  la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = \frac{1}{4}x^4 -2x^2 + 3

On appelle C_f  sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
1)a) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour C_f ?

f(-x)=f(x) donc la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de f et en déduire le tableau de variation de f
2) a) Déterminer une équation de la tangente à C_f  au point d’abscisse 1.
b) Cette tangente recoupe C_f  en deux autres points.
b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :
x^4-8x^2 + 12x -5 = 0
b.2) Vérifiez que l’on a :
x^4 -8x^2 + 12x -5 = (x - 1)^2(x^2 + 2x - 5)

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Exercice 22 :

Soit (P) la parabole d’équation y=x^2-3x+\frac{5}{4}

et (H) l’hyperbole d’équation y=\frac{3(3x+5)}{4(x+3)}.

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

Indication : remplacer x par 0.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

indication : utiliser l’équation d’une tangente y-y_A=f'(x_A)(x-x_A)

Rappel : Dans un repère orthonormé du plan, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Exercice 23 :

Indication : utiliser le fait qu’une équation réduite de la tangente en a est y-f(a)=f ‘ (a)(x-a)

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation y = (m - 1) x^2 + ( 3m + 2) x + 4

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Exercice 24 :

Indication : utiliser le fait qu’une équation réduite de la tangente en a est :y-f(a)=f\,'\,(a)(x-a).

Soit la fonction f:x \mapsto   \frac{-x^2 +2x-1}{x} définie sur \mathbb{R}^* et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :
1)       est horizontale
2)      est parallèle à la droite d’équation y=-\frac{2}{3}x-5.

Exercice 25 :

Une parabole (P) admet dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}) une équation du type :

y=ax^2+bx+c\,(a\neq0).
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que (P) coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

Nous avons :

P(3)=0  P(0)=2

et le coefficient directeur de la tangente étant le nombre dérivé : P'(0)=2

Nous obtenons le système suivant :

 \{ 9a+3b+c=0\\c=2\\b=2 .

 \{ 9a+6+2=0\\c=2\\b=2 .

 \{ a=-\frac{8}{9}\\c=2\\b=2 .

Conclusion :  P(x)=-\frac{8}{9}x^2+2x+2{\color{DarkRed} }

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de (P) avec (Ox).

Résolvons l’équation P(x)=0

-\frac{8}{9}x^2+2x+2=0  (multiplions par -9)

8x^2-18x-18=0

Calculons la valeur du discriminant :

\Delta =(-18)^2-4\times   8\times   (-18)=900

Le discriminant étant strictement positif, il existe deux racines réelles distinctes.

x_1=\frac{18+30}{16}\,et\,x_2=\frac{18-30}{16}

{\color{DarkRed} x_1=3\,et\,x_2=-0,75}

Exercice 26 :

Indications :

1. f'(a)=\frac{1}{2}

2.f'(a)=0

3.f'(a)=1,5

4.f'(a)=-1

(C) représenter une fonction dérivable sur \mathbb{R} et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.

Dans chaque cas détermine f’(a) et donner une équation de la tangente T.

Exercice 27 :
On considère la fonction f définie par :
f(x) = ax^2 + bx + c

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1.  Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

Pour la tangente en A :

a=\frac{1+4}{0-1}=-5

b=y-ax=1-0=1
donc
{\color{DarkRed} y=-5x+1}

Pour la tangente en B :

a=\frac{3+4}{2-1}=7

b=y-ax=3-14=-11

donc

{\color{DarkRed} y=7x-11}

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

f'(0)=-5  et f'(2)=7

2.  Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

f'(x)=2ax+b

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.
Nous obtenons :

 \{ b=-5\\ 4a+b=7\\c=1.

 \{ b=-5\\ 4a-5=7\\c=1.

 \{ b=-5\\ 4a=12\\c=1.

 \{ b=-5\\ a=3\\c=1.

Conclusion :

{\color{DarkRed} f(x)=3x^2-5x+1}

Exercice 28 :

On considère la fonction f définie sur\mathbb{R} par f(x)=\frac{x}{x^2+1} .

1. Calculer les limites de f en +\infty et en -\infty.

\lim_{x \mapsto   +\infty}\frac{x}{x^2+1}=0  et  \lim_{x \mapsto   -\infty}\frac{x}{x^2+1}=0

2. Calculer la dérivée f  » de f et étudier son signe.

f est est deux fois dérivable sur son domaine de définition en tant que fonction rationnelle.

f'(x)=\frac{1(x^2+1)-x\times   2x}{(x^2+1)^2}

f'(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}

f'(x)=\frac{-x^2+1 }{(x^2+1)^2}

et

f''(x)=\frac{-2x ( x^2+1  )^2-(-x^2+1)\times   2(x^2+1)\times   2x }{(x^2+1)^4}

f''(x)=\frac{-2x ( x^2+1  )^2-4x(-x^2+1)\times   (x^2+1) }{(x^2+1)^4}

f''(x)=\frac{(x^2+1)[-2x(x^2+1)-4x(-x^2+1)] }{(x^2+1)^4}

f''(x)=\frac{(x^2+1)[-2x^3-2x+4x^3-4x] }{(x^2+1)^4}

f''(x)=\frac{(x^2+1)[2x^3-6x] }{(x^2+1)^4}

f''(x)=\frac{2x(x^2+1)[x^2-3] }{(x^2+1)^4}

donc le signe de f » est celui de x(x^2-3)=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})

En établissant un tableau des signes,

nous obtenons que f » est positive sur [-\sqrt{3};0]\cup [\sqrt{3};+\infty[

donc f ‘ est croissante sur [-\sqrt{3};0]\cup [\sqrt{3};+\infty[

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

f est croissante sur [-1;1]

Exercice 29 :

Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :

f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).

f(3)=9

f'(3)=0

f (6)=2

f '(6)=0

2.  Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

f '(4)  est négatif car la tangente en 4 est décroissante donc son coefficient directeur est négatif.
.

Exercice 30 :
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x.

1. Calculer la dérivée f' et étudier son signe.

f est un polynôme donc dérivable sur \mathbb{R}.

f'(x)=-3x^2-6x+9

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

f'(x)\geq\, 0\Leftrightarrow -3x^2-6x+9\geq\, 0

Calculons la valeur du discriminant :

\Delta =36-4\times   (-3)\times   9=144=12^2

\Delta >0 , il y a donc deux racines réelles distinctes.

x_1=\frac{6+12}{-6}=-3 et x_2=\frac{6-12}{-6}=1

Conclusion :   f'\geq\, 0 sur [-3;1]

donc f est croissante sur [-3;1] .

Exercice 31 :

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur\mathbb{R} par :

f(x)=(1-\frac{x}{2})^4  ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse x_0=4.

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

C’est la valeur du coefficient directeur de la tangente en x_0=4

f'(4)=2

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

f'(x)=4(1-\frac{x}{2})^3\times   \frac{-1}{2}

f'(x)=-2(1-\frac{x}{2})^3

f'(3)=-2(1-\frac{3}{2})^3=-2(-\frac{1}{2})^3=2(\frac{1}{8})=\frac{1}{4}

Exercice 32 :

Soit f la fonction définie sur  \mathbb{R}^*par  f(x)=\frac{1}{x}+2 .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}+2-\frac{1}{2}-2}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\frac{1}{h(2+h)}-\frac{1}{2h}

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2}{2h(2+h)}-\frac{2+h}{2h(2+h)}

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2-2-h}{2h(2+h)}

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-h}{2h(2+h)}

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-1}{2(2+h)}

La limite lorsque h tend vers  0 existe donc f est dérivable en 2 et :

f'(2)=\lim_{h\mapsto   0 }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\mapsto   0 }\frac{-1}{2(2+h)}=-\frac{1}{4}

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

f(2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}

ainsi y-\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)

y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}

{\color{DarkRed} y=-\frac{1}{4}x+3}

Exercice 33 :

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

f(x)=\frac{x}{x+\sqrt{x}}\,sur\,]0;+\infty[

g(x)=(\frac{1}{1+x})^3\,sur\,\mathbb{R}-\{-1}

f'(x)=\frac{1(x+\sqrt{x})-x(1+\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(x+\sqrt{x})^2}

f'(x)=\frac{x+\sqrt{x}-x-\frac{\sqrt{x}}{2}}{(x+\sqrt{x})^2}

f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{(x+\sqrt{x})^2}

{\color{DarkRed} f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{2(x+\sqrt{x})^2}}

g'(x)=3 ( \frac{1}{1+x}  )^2\times    ( -\frac{1}{(1+x)^2}  )

{\color{DarkRed} g'(x)=\frac{-3}{ (1+x  )^4}}

2.  Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

f'(16)=\frac{\sqrt{16}}{2(16+\sqrt{16})^2}=\frac{4}{800}=\frac{1}{200}

g'(2)=\frac{-3}{ (1+2 )^4}=-\frac{1}{27}

Exercice 34 :

Indication : vérifiez vos résultats sur la courbe ci-dessous.
1. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur \mathbb{R} par :f(x)=x(1-x).

2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

Exercice 35 :
On considère la fonction f définie sur\mathbb{R}^* par f(x)=x-2+\frac{4}{x}.

1.  Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.

f'(x)=1-\frac{4}{x^2}

f'(x)\geq\, 0\Leftrightarrow 1-\frac{4}{x^2}\geq\, 0

\Leftrightarrow 1\geq\, \frac{4}{x^2}

\Leftrightarrow x^2\geq\, 4

\Leftrightarrow (x-2)(x+2)\geq\,0

On en déduit que f est décroissante sur [ -2 ; 2 ].

2.  Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur[-4 ; 0[\cup ]0 ; 4].

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