Dérivée d’une fonction numérique : corrigé des exercices en 1ère à télécharger en PDF

Exercice 1 (calcul de dérivée)

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1. \(f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1 .\)
\(f^{\prime}(x)=-12x^2+4x-3 .\)

2. \(f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2} .\)
\(f^{\prime}(x)=3x-2 .\)

3. \(f(x)=(\sqrt{x+1})\times (x^2-2) .\)
\(f^{\prime}(x)=(\frac{1}{2\sqrt{x+1}})\times (x^2-2) +(\sqrt{x+1})\times (2x)=\frac{5x^2+4x-2}{2\sqrt{x+1}}.\)

4. \(f(x)=(2x-\sqrt{x})\times (x+4) .\)
\(f^{\prime}(x)=4x+8-\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}} .\)

5. \(f(x)=\frac{1}{1-4x} .\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{4}{(1-4x)^2} .\)

6. \(f(x)=\frac{-3}{2x-1} .\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{6}{(2x-1)^2} .\)

7. \(f(x)=\frac{2x-1}{3x+2} .\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{7}{(3x+2)^2} .\)

8. \(f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3} .\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{6x^2-18x+10}{(2x-3)^2} .\)

9. \(f(x)=(5x^2+1)^2 .\)
\(f^{\prime}(x)=100x^3+20x.\)

10. \(f(x)=(-2x-1)^3 .\)
\(f^{\prime}(x)=-6(-2x-1)^2 .\)

11. \(f(x)=\sqrt{3x-4}.\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-4}}.\)

12. \(f(x)=2x\sqrt{-3x+2}.\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{-9x+4}{\sqrt{-3x+2}}.\)

Exercice 2 :

On utilise l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\).

1. \(f(x)=3x^2-x+1\) avec \(a=-1\).

\(f^{\prime}(x)=6x-1\), donc \(f^{\prime}(-1)=-7\) et \(f(-1)=3+1+1=5\).

\(y=-7(x+1)+5\), soit \(T : y=-7x-2\).

2. \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x-2}\) avec \(a=3\).

\(f\) est de la forme \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=2x-1\), \(v(x)=x-2\), \(u^{\prime}(x)=2\) et \(v^{\prime}(x)=1\) :

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x-2)-(2x-1)\times 1}{(x-2)^2}=\dfrac{-3}{(x-2)^2}\).

\(f^{\prime}(3)=\dfrac{-3}{1^2}=-3\) et \(f(3)=\dfrac{5}{1}=5\).

\(y=-3(x-3)+5\), soit \(T : y=-3x+14\).

3. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) pour \(x\gt 0\), avec \(a=9\).

\(f=\dfrac{1}{v}\) avec \(v(x)=\sqrt{x}\) et \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), donc \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{v^{\prime}(x)}{v(x)^2}=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\).

\(f^{\prime}(9)=-\dfrac{1}{2\times 9\times 3}=-\dfrac{1}{54}\) et \(f(9)=\dfrac{1}{3}\).

\(y=-\dfrac{1}{54}(x-9)+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{54}x+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}\), soit \(T : y=-\dfrac{1}{54}x+\dfrac{1}{2}\).

Exercice 3 (calcul de dérivée)

Pour \(x\neq 0\), on simplifie d’abord : \(f(x)=\dfrac{-x^2+2x-1}{x}=-x+2-\dfrac{1}{x}\).

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et \(f^{\prime}(x)=-1+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1-x^2}{x^2}\).

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(x\) est \(f^{\prime}(x)\).

1. La tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul :

\(f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow 1-x^2=0\Leftrightarrow (1-x)(1+x)=0\Leftrightarrow x=1\) ou \(x=-1\).

La tangente est horizontale aux points d’abscisses \(-1\) et \(1\).

2. On résout \(f^{\prime}(x)=-2\) :

\(\dfrac{1-x^2}{x^2}=-2\Leftrightarrow 1-x^2=-2x^2\Leftrightarrow x^2=-1\).

Un carré ne peut pas être négatif : aucun point de C n’a une tangente de coefficient directeur \(-2\).

3. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On résout \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{3}\) :

\(\dfrac{1-x^2}{x^2}=-\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3(1-x^2)=-2x^2\Leftrightarrow 3-3x^2=-2x^2\Leftrightarrow x^2=3\).

Les abscisses cherchées sont \(-\sqrt{3}\) et \(\sqrt{3}\).

Exercice 4 :

Soit f la fonction définie sur R par \(f(x) = x^4 -2x + 1\).
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

\(y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\)

\(f^{\prime}(x)=4x^3-2\)

\(f^{\prime}(0)=4\times 0^3-2=-2\) et \(f(0)=1\)

donc

\(y-1=-2(x-0)\)

\({\color{DarkRed} y=-2x+1}\)

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

Exercice 5 (calcul de dérivée)

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

\(\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}\).

Pour cela on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(1+x)^{2005}\).

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

f est un polynôme donc dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\(f^{\prime}(x)=2005(1+x)^{2004}\)

et \(f^{\prime}(0)=2005(1+0)^{2004}=2005.\)

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

L’accroissement moyen de f entre o et h est :\(\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}\)

et \(\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}=f^{\prime}(0)\) car la fonction f est dérivable en 0.

Conclusion : \({\color{DarkRed} \lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}=2005}\)

Exercice 6 :

1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse \(v\).

\(t=\frac{d}{v}=\frac{150}{v}\)

2. Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

\(P(v)= ( 6+\frac{v^2}{300} )\frac{150}{v}\times 0{,}9+12\times \frac{150}{v}\)

\(P(v)= ( 6+\frac{v^2}{300} )\frac{135}{v}+ \frac{1800}{v}\)

\(P(v)=\frac{810}{v}+\frac{135}{300}v+ \frac{1800}{v}\)

\(P(v)=\frac{2610}{v}+0{,}45v\)

3. Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

\(P^{\prime}(v)=-\frac{2610}{v^2}+0{,}45\)

\(P^{\prime}(v)\geq\,\,\, 0\Leftrightarrow -\frac{2610}{v^2}+0{,}45\geq\,\,\, 0\)

\(0{,}45\geq\,\,\, \frac{2610}{v^2}\)

\(0{,}45v^2\geq\,\,\, 2610\)

\(v^2\geq\,\,\, \frac{2610}{0{,}45}\)

\(v^2\geq\,\,\, 5800\)

\((v-\sqrt{5800})(v+\sqrt{5800})\geq\,\,\, 0\)

ceci est vérifié pour \([\sqrt{5800};+\infty[\)

Donc le minimum est atteint pour \(v=\sqrt{5800}\simeq 76{,}16\,km/h.\)

Conclusion : pour que le prix de revient de la course soit minimal, il faut que le camion roule à une vitesse moyenne de 76,16 km/h.

Exercice 7 (calcul de dérivée)

Soit (P) la parabole définie par la fonction \(f(x) = x^2 – 3x + 1\).

Calculer les coordonnées de son sommet S.

Son sommet est le minimum donc la dérivée est nulle en ce point.

\(f^{\prime}(x)=2x-3\)

\(f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow 2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

et

\(f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^2-3\times \frac{3}{2}+1=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+\frac{4}{4}=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}+\frac{4}{4}=-\frac{5}{4}\)

Les coordonnées de son sommet sont \(S(\frac{3}{2};-\frac{5}{4})\)

Exercice 8 :

On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à \(\frac{3}{4}\) cm².
Nous avons :

\(L\times l=\frac{3}{4}\) et \(2(L+l)=4\) soit \(L+l=2\)

Nous avons la somme et le produit de deux nombres, ils sont solution de l’équation :

\(x^2-2x+\frac{3}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow 4x^2-8x+3=0\)

Calculons le discriminant :

\(\Delta =(-8)^2-4\times 4\times 3=64-48=16\)

\(\Delta \gt 0\) il y a donc deux racines réelles distinctes.

\(x_1=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\) et \(x_2=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

Conclusion : la longueur est \(\frac{3}{2}\,cm\) et la largeur est \(\frac{1}{2}\,cm.\)

2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur l.

\(L+l=2\) donc \(L=2-l\).

\(S=l\times L\), soit \(S=l(2-l)\).

b. On considère la fonction f définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x(2-x)\).

Cette fonction f correspond à l’aire du rectangle.

Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

\(f(x)=-x^2+2x\)

\(f^{\prime}(x)=-2x+2\)

\(f^{\prime}(x)\geq\,\,\, 0\Leftrightarrow -2x+2\geq\,\,\, 0\)

\(\Leftrightarrow -2x\geq\,\,\, -2\)

\(\Leftrightarrow x\leq\,\,\, \frac{-2}{-2}\)
\(\Leftrightarrow x\leq\,\,\, 1.\)

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

f est croissante sur [0;1] et décroissante sur [1;2].

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c. En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l’aire S est maximale.

D’après le tableau de variations, f admet son maximum en x = 1, et ce maximum vaut f(1) = 1. Pour que S soit maximale, il faut donc que la largeur soit l = 1 cm.

et donc la longueur est L = 2 – 1 = 1 cm (l’aire maximale vaut alors 1 cm²).

Finalement ce rectangle est un carré de côté 1 cm.

Exercice 9 (calcul de dérivée)

On considère la fonction f définie sur R par : \(f(x) = x^3 – 3x – 3\).

On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

\(f^{\prime}(x)=3x^2-3\)

\(f^{\prime}(x)\geq\,\,\, 0\Leftrightarrow 3x^2-3\geq\,\,\, 0\Leftrightarrow 3(x^2-1)\geq\,\,\, 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)\geq\,\,\, 0\)

donc f ‘ est négative sur [ – 1 ; 1 ] et positive sur \(]-\infty;-1]\) et sur \([1;+\infty[\).

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

\(x\)	\(]-\infty;-1]\)	\([-1;1]\)	\([1;+\infty[\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
variations de \(f\)	croissante de \(-\infty\) à \(-1\)	décroissante de \(-1\) à \(-5\)	croissante de \(-5\) à \(+\infty\)

\(f(-1)=-1+3-3=-1\) et \(f(1)=1-3-3=-5\).

3. Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

\(y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\)
\(f(0)=0^3-3\times 0-3=-3\)
\(f^{\prime}(0)=3\times 0^2-3=-3\)

\(y-(-3)=-3(x-0)\)

\(y+3=-3x\)

\({\color{DarkRed} y=-3x-3}\)

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle [2 ; 3].

f est continue et strictement croissante sur [2;3] (car f ‘ y est strictement positive), de plus elle passe d’une valeur négative, \(f(2)=8-6-3=-1\), à une valeur positive, \(f(3)=27-9-3=15\)

donc d’après le théorème de bijection 0 admet un unique antécédent sur [2 ; 3 ].

6. Donner une valeur approchée de \(\alpha\), par défaut, à \(10^{-1}\) près.

\(f(2{,}1)=9{,}261-6{,}3-3=-0{,}039\lt 0\) et \(f(2{,}2)=10{,}648-6{,}6-3=1{,}048\gt 0\).

Comme f est croissante sur [2 ; 3], on a \(2{,}1\lt\alpha\lt 2{,}2\).

Une valeur approchée par défaut de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près est 2,1 (la calculatrice donne \(\alpha\approx 2{,}104\)).

Exercice 10 :

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : \(f(x) = x^2 -3x + 2.\)

Nous avons \(f(x)=(x-1)(x-2)\)

\(f^{\prime}(x)=2x-3\) est négative pour \(x\leq\, 1{,}5\) et positive pour \(x\geq\, 1{,}5\).

f est décroissante sur \(]-\infty;1{,}5]\) et croissante sur \([1{,}5;+\infty[\) ; son minimum est \(f(1{,}5)=2{,}25-4{,}5+2=-0{,}25\).

2. Résoudre l’équation f(x) = 0.

\((x-1)(x-2)=0\)

C’est une équation produit, il y a deux solutions : \(x=1\,ou\,x=2\) .

Exercice 11 (calcul de dérivée)

1. Calculer la dérivée f ‘ de f.

f est un polynôme donc dérivable sur \(\mathbb{R}.\)

\(f^{\prime}(x)=2x-1.\)

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse \(x_0=2\).

\(y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\)

\(f(2)=2^2-2-1=1\)

\(f^{\prime}(2)=2\times 2-1=3\)

\(y-1=3(x-2)\)

\(y-1=3x-6\)

\({\color{DarkRed} y=3x-5}\)

3. Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

\(x^2-x-1=3-x\)

\(x^2-x-1-3+x=0\)

\(x^2-4=0\)

\(x^2=4\)

\(x=2\,ou\,x=-2.\)

Il y a donc deux points d’intersection entre ces deux courbes.

4. Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

f(2)= 1 donc le premier point d’intersection est I(2;1).

\(f(-2)=(-2)^2-(-2)-1=4+2-1=5\)

le second point d’intersection est J ( – 2 ; 5 ) .

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

Exercice 12 :

Dériver les fonctions suivantes :

\(f(x)=4x^2-3x+1\)

\(g(x)=(2x+3)(3x-7)\)

\(h(x)=\frac{2x+4}{3x-1}\) pour \(x\neq\frac{1}{3}\)

\(k(x)=(2x^2+3x+1)^2\)

f est une fonction polynôme dérivable sur \(\mathbb{R}.\)

\(f^{\prime}(x)=8x-3.\)

g est le produit de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).

\(g^{\prime}(x)=2(3x-7)+(2x+3)\times 3=6x-14+6x+9=12x-5.\)

h est une fonction rationnelle dérivable sur \(\mathbb{R}- \{ \frac{1}{3} \}.\)

\(h^{\prime}(x)=\frac{2(3x-1)-(2x+4)\times 3}{(3x-1)^2}\)

\(h^{\prime}(x)=\frac{6x-2-6x-12}{(3x-1)^2}\)

\(h^{\prime}(x)=\frac{-14}{(3x-1)^2}\)

k est de la forme \(u^2\) avec \(u(x)=2x^2+3x+1\) et \(u^{\prime}(x)=4x+3\) ; elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((u^2)^{\prime}=2uu^{\prime}\).

\(k^{\prime}(x)=2(2x^2+3x+1)(4x+3)\)

Exercice 13 (calcul de dérivée)

Dériver les fonctions suivantes :

\(f(x)=x^2\)

\(g(x)=3x^4-2x^3+5x-4\)

\(h(x)=\sqrt{x}(1-\frac{1}{x})\)

\(k(x)=\frac{x+5}{x^2+1}\)

f est un polynôme donc dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\(f^{\prime}(x)=2x.\)

g est un polynôme donc dérivable sur \(\mathbb{R}\).

\(g^{\prime}(x)=12x^3-6x^2+5.\)

h est le produit de \(x\mapsto \sqrt{x}\) et de \(x\mapsto 1-\frac{1}{x}\), toutes deux dérivables sur \(]0;+\infty[\).

\(h^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(1-\frac{1}{x})+\sqrt{x}\times \frac{1}{x^2}\)

\(h^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\times \frac{1}{x}+\sqrt{x}\times \frac{1}{x^2}\)

\(h^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}+ \frac{\sqrt{x}}{x^2}\)

Or \(\frac{\sqrt{x}}{x^2}=\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{2}{2x\sqrt{x}}\), donc \(h^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\), soit \(h^{\prime}(x)=\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}\).

k est une fonction rationnelle dérivable sur \(\mathbb{R}.\)

\(k^{\prime}(x)=\frac{1(x^2+1)-(x+5)\times 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2-10x}{(x^2+1)^2}\), soit \(k^{\prime}(x)=\frac{-x^2-10x+1}{(x^2+1)^2}\).

Exercice 14 :

\(2x+3\geq\, 0\Leftrightarrow x\geq\, -\dfrac{3}{2}\).

Premier cas : si \(x\gt -\dfrac{3}{2}\), \(f(x)=2x+3\). Sur \(]-\dfrac{3}{2};+\infty[\), \(f\) est affine donc dérivable et \(f^{\prime}(x)=2\).

Second cas : si \(x\lt -\dfrac{3}{2}\), \(f(x)=-2x-3\). Sur \(]-\infty;-\dfrac{3}{2}[\), \(f\) est affine donc dérivable et \(f^{\prime}(x)=-2\).

Dérivabilité en \(-\dfrac{3}{2}\) : on a \(f(-\dfrac{3}{2})=0\) et, pour \(h\neq 0\),

\(\dfrac{f(-\frac{3}{2}+h)-f(-\frac{3}{2})}{h}=\dfrac{|2h|}{h}=\dfrac{2|h|}{h}\).

Ce taux de variation vaut \(2\) si \(h\gt 0\) et \(-2\) si \(h\lt 0\) : il n’a pas de limite unique quand \(h\) tend vers 0. La fonction n’est donc pas dérivable en \(-\dfrac{3}{2}\) (la courbe y forme un angle).

Conclusion : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{-\dfrac{3}{2}\}\).

Exercice 15 (calcul de dérivée)

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u ² est dérivable sur I et (u² )’=2uu’.

\(u^2=u\times u\)

Or si u est dérivable, un produit de fonctions est aussi dérivables sur l’intervalle I.

En utilisant la formule de la dérivée d’un produit, nous obtenons :

\((u^2)^{\prime}=u^{\prime}\times u+u\times u^{\prime}=2uu^{\prime}\)

b) u³ est dérivable sur I et (u³ )’=3u² u’.

de même :

\(u^3=u\times u^2\)

les fonctions \(u\) et \(u^2\) sont dérivables sur I donc \(u^3\) également

en tant que produit de fonctions dérivables sur I .

Et en réutilisant la formule de la dérivée d’un produit :

\((u^3)^{\prime}=(u\times u^2)^{\prime}=u^{\prime}\times u^2+u\times (u^2)^{\prime}\)

En utilisant la question a) :

\((u^3)^{\prime}=u^{\prime}\times u^2+u\times 2\times u\times u^{\prime}\)

\((u^3)^{\prime}=u^{\prime}\times u^2+2\times u^2\times u^{\prime}\)

\({\color{DarkRed} (u^3)^{\prime}=3\times u^2\times u^{\prime}}\)

Exercice 16 :

1. Pour tout réel \(x\), \(f(x)-\dfrac{1}{4}=x-x^2-\dfrac{1}{4}=-(x^2-x+\dfrac{1}{4})=-(x-\dfrac{1}{2})^2\).

Un carré est positif ou nul, donc \(f(x)-\dfrac{1}{4}\leq\, 0\) : pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f(x)\leq\,\dfrac{1}{4}\).

2. \(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\). La valeur \(\dfrac{1}{4}\) est atteinte et aucune image ne la dépasse : \(f\) admet un maximum égal à \(\dfrac{1}{4}\) en \(x=\dfrac{1}{2}\).

3. \(\dfrac{1}{4}-(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}-(x^2-x+\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}-x^2+x-\dfrac{1}{4}=x-x^2=x(1-x)=f(x)\).

4. Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\lt b\leq\,\dfrac{1}{2}\). Alors \(a-\dfrac{1}{2}\lt b-\dfrac{1}{2}\leq\, 0\) et, la fonction carré étant décroissante sur \(]-\infty;0]\), \((a-\dfrac{1}{2})^2\gt(b-\dfrac{1}{2})^2\), donc \(f(a)\lt f(b)\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty;\dfrac{1}{2}]\).

De même, si \(\dfrac{1}{2}\leq\, a\lt b\), alors \(0\leq\, a-\dfrac{1}{2}\lt b-\dfrac{1}{2}\), la fonction carré est croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(f(a)\gt f(b)\) : \(f\) est décroissante sur \([\dfrac{1}{2};+\infty[\).

On le vérifie avec la dérivée : \(f^{\prime}(x)=1-2x\), positive pour \(x\leq\,\dfrac{1}{2}\) et négative pour \(x\geq\,\dfrac{1}{2}\).

\(f\) est croissante sur \(]-\infty;\dfrac{1}{2}[\) et décroissante sur \(]\dfrac{1}{2};+\infty[\).

Exercice 17 (calcul de dérivée)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+6x+5\)

1. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) en tant que fonction polynômiale.
\(f^{\prime}(x)=2x+6\)
\(f^{\prime}(x)\ge 0 \Leftrightarrow 2x+6\ge0\Leftrightarrow x\ge -3\)
donc f est croissante sur \([-3;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty;-3]\) ; son minimum est \(f(-3)=9-18+5=-4\).

2. Résolvons l’équation \(f(x)=\frac{1}{2}x-2\) :
\(x^2+6x+5=\frac{1}{2}x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{11}{2}x+7=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+7=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{121}{16}+\frac{112}{16}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{9}{16}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4})^2-\frac{3^2}{4^2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{11}{4}-\frac{3}{4})(x+\frac{11}{4}+\frac{3}{4})=0\)
\(\Leftrightarrow (x+\frac{8}{4})(x+\frac{14}{4})=0\)
Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
\(\Leftrightarrow x=-\frac{8}{4}=-2\,ou\,x=-\frac{14}{4}=-3{,}5\)
de plus les ordonnées des points d’intersection vérifient :
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}x-2=\frac{-2}{2}-2=-3\,et\,\frac{1}{2}x-2=\frac{-3{,}5}{2}-2=-3{,}75\)
Donc les deux courbes se coupent aux points A(-2;-3) et B(-3,5;-3,75).

Exercice 18 :

\(f\) est une fonction polynôme, donc dérivable sur \(\mathbb{R}\), et :

\(f^{\prime}(x)=3-12x^2=3(1-4x^2)=3(1-2x)(1+2x)\).

\(f^{\prime}(x)\) est un trinôme du second degré de coefficient \(-12\lt 0\), de racines \(-\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}\) : il est positif entre les racines et négatif à l’extérieur.

\(f(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{8}=-1\) et \(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{8}=1\).

\(x\)	\(]-\infty;-\dfrac{1}{2}]\)	\([-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}]\)	\([\dfrac{1}{2};+\infty[\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
variations de \(f\)	décroissante jusqu’à \(-1\)	croissante de \(-1\) à \(1\)	décroissante à partir de \(1\)

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-\dfrac{1}{2}]\), croissante sur \([-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}]\) et décroissante sur \([\dfrac{1}{2};+\infty[\).

Exercice 19 (calcul de dérivée)

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}\).

1. f est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) en tant que fonction rationnelle.
\(f^{\prime}(x)=\frac{-4\times (x^2+2x+5)-(-4x-4)\times (2x+2)}{(x^2+2x+5)^2}\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{-4x^2-8x-20-(-8x^2-8x-8x-8)}{(x^2+2x+5)^2}\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{-4x^2-8x-20+8x^2+16x+8}{(x^2+2x+5)^2}\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{4x^2+8x-12}{(x^2+2x+5)^2}\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{4(x^2+2x-3)}{(x^2+2x+5)^2}\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{4(x-1)(x+3)}{(x^2+2x+5)^2}\)
En effectuant un tableau des signes, nous obtenons :
f ‘ négative ou nulle sur \([-3;1]\) et positive ou nulle sur \(]-\infty;-3]\) et sur \([1;+\infty[\).

f est croissante sur \(]-\infty;-3]\), décroissante sur \([-3;1]\) et croissante sur \([1;+\infty[\), avec \(f(-3)=\frac{8}{8}=1\) et \(f(1)=\frac{-8}{8}=-1\).

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .
\(f(x)=0\Leftrightarrow -4x-4=0 \Longleftrightarrow x= -1\)
Donc les coordonnées du point A(-1;0) .

3. \(f(-1)=0\) et \(f^{\prime}(-1)=\frac{4(-1-1)(-1+3)}{(1-2+5)^2}=\frac{-16}{16}=-1\)
\(y=f^{\prime}(-1)(x-(-1))+f(-1)=-(x+1)+0=-x-1\)
L’équation de la tangente en A à la courbe de f est y = – x – 1 .

Exercice 20 :

Sur \(]-2;1[\), le dénominateur \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) ne s’annule pas, donc \(f\) est dérivable comme quotient de deux polynômes.

Avec \(u(x)=-5x^2+4x-8\), \(u^{\prime}(x)=-10x+4\), \(v(x)=x^2+x-2\), \(v^{\prime}(x)=2x+1\) :

\(u^{\prime}(x)v(x)=(-10x+4)(x^2+x-2)=-10x^3-6x^2+24x-8\)

\(u(x)v^{\prime}(x)=(-5x^2+4x-8)(2x+1)=-10x^3+3x^2-12x-8\)

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=\dfrac{-9x^2+36x}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{9x(4-x)}{(x^2+x-2)^2}\).

Sur \(]-2;1[\), \(4-x\gt 0\) et le dénominateur est strictement positif : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x\).

Donc \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]-2;0[\), \(f^{\prime}(0)=0\) et \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \(]0;1[\). De plus \(f(0)=\dfrac{-8}{-2}=4\).

\(f\) est décroissante sur \(]-2;0]\) et croissante sur \([0;1[\) ; elle admet un minimum égal à 4 en \(x=0\).

Exercice 21 (calcul de dérivée)

1) a) \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel \(x\), \(f(-x)=\dfrac{1}{4}(-x)^4-2(-x)^2+3=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+3=f(x)\).

\(f\) est paire : la courbe \(C_f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

b) \(f\) est une fonction polynôme dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f^{\prime}(x)=x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\).

\(f(-2)=f(2)=4-8+3=-1\) et \(f(0)=3\).

\(x\)	\(]-\infty;-2]\)	\([-2;0]\)	\([0;2]\)	\([2;+\infty[\)
signe de \(x\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
signe de \(x^2-4\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)
variations de \(f\)	décroissante de \(+\infty\) à \(-1\)	croissante de \(-1\) à \(3\)	décroissante de \(3\) à \(-1\)	croissante de \(-1\) à \(+\infty\)

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-2]\), croissante sur \([-2;0]\), décroissante sur \([0;2]\) et croissante sur \([2;+\infty[\).

2) a) \(f(1)=\dfrac{1}{4}-2+3=\dfrac{5}{4}\) et \(f^{\prime}(1)=1-4=-3\).

\(y=-3(x-1)+\dfrac{5}{4}\), soit \(y=-3x+\dfrac{17}{4}\).

b.1) Les points communs à la tangente et à \(C_f\) ont des abscisses vérifiant \(f(x)=-3x+\dfrac{17}{4}\) :

\(\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+3=-3x+\dfrac{17}{4}\Leftrightarrow x^4-8x^2+12=-12x+17\) (en multipliant par 4) \(\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\).

b.2) \((x-1)^2(x^2+2x-5)=(x^2-2x+1)(x^2+2x-5)\)

\(=x^4+2x^3-5x^2-2x^3-4x^2+10x+x^2+2x-5=x^4-8x^2+12x-5\).

b.3) \((x-1)^2=0\) donne \(x=1\) : c’est le point de contact. Les deux autres points vérifient \(x^2+2x-5=0\).

\(\Delta=2^2-4\times 1\times (-5)=24\gt 0\), \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\), donc \(x=\dfrac{-2-2\sqrt{6}}{2}=-1-\sqrt{6}\) ou \(x=-1+\sqrt{6}\).

La tangente recoupe \(C_f\) aux points d’abscisses \(-1-\sqrt{6}\approx -3{,}45\) et \(-1+\sqrt{6}\approx 1{,}45\).

Exercice 22 :

1) Un point de l’axe (Oy) a pour abscisse 0.

Pour (P) : \(y=0^2-3\times 0+\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{4}\). Pour (H) : \(y=\dfrac{3\times 5}{4\times 3}=\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}\).

(P) et (H) coupent l’axe (Oy) au même point \(A(0;\dfrac{5}{4})\).

2) Notons \(p(x)=x^2-3x+\dfrac{5}{4}\) et \(q(x)=\dfrac{9x+15}{4x+12}\) (définie pour \(x\neq -3\)).

\(p^{\prime}(x)=2x-3\), donc le coefficient directeur de la tangente à (P) en A est \(p^{\prime}(0)=-3\).

\(q^{\prime}(x)=\dfrac{9(4x+12)-4(9x+15)}{(4x+12)^2}=\dfrac{48}{(4x+12)^2}\), donc \(q^{\prime}(0)=\dfrac{48}{144}=\dfrac{1}{3}\).

Le produit des coefficients directeurs vaut \(-3\times \dfrac{1}{3}=-1\).

Les tangentes en A à (P) et à (H) sont perpendiculaires. Leurs équations sont \(y=-3x+\dfrac{5}{4}\) et \(y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{5}{4}\).

Exercice 23 (calcul de dérivée)

Notons \(f(x)=(m-1)x^2+(3m+2)x+4\). C’est une fonction polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) :

\(f^{\prime}(x)=2(m-1)x+3m+2\).

Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(-1\) est \(f^{\prime}(-1)=-2(m-1)+3m+2=m+4\).

\(f^{\prime}(-1)=6\Leftrightarrow m+4=6\Leftrightarrow m=2\).

Il faut \(m=2\) ; la courbe a alors pour équation \(y=x^2+8x+4\) et \(f^{\prime}(-1)=-2+8=6\).

Exercice 24 :

C’est la même fonction que dans l’exercice 3 : pour \(x\neq 0\), \(f(x)=-x+2-\dfrac{1}{x}\) et \(f^{\prime}(x)=-1+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1-x^2}{x^2}\).

1) La tangente est horizontale si \(f^{\prime}(x)=0\), c’est-à-dire \(1-x^2=0\) : \(x=-1\) ou \(x=1\).

2) Elle est parallèle à la droite d’équation \(y=-\dfrac{2}{3}x-5\) si \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{3}\) :

\(3(1-x^2)=-2x^2\Leftrightarrow x^2=3\), donc \(x=-\sqrt{3}\) ou \(x=\sqrt{3}\).

Exercice 25 (calcul de dérivée)

Une parabole \((P)\) admet dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\) une équation du type :

\(y=ax^2+bx+c\,(a\neq0)\).
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que \((P)\) coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

Nous avons :

\(P(3)=0\) \(P(0)=2\)

et le coefficient directeur de la tangente étant le nombre dérivé : \(P^{\prime}(0)=2\)

Nous obtenons le système suivant :

\(\lbrace\begin{array}{l}9a+3b+c=0\\c=2\\b=2\end{array}.\)

\(\lbrace\begin{array}{l}9a+6+2=0\\c=2\\b=2\end{array}.\)

\(\lbrace\begin{array}{l}a=-\frac{8}{9}\\c=2\\b=2\end{array}.\)

Conclusion : \(P(x)=-\frac{8}{9}x^2+2x+2\)

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de \((P)\) avec (Ox).

Résolvons l’équation P(x)=0

\(-\frac{8}{9}x^2+2x+2=0\) (multiplions par -9)

\(8x^2-18x-18=0\)

Calculons la valeur du discriminant :

\(\Delta =(-18)^2-4\times 8\times (-18)=900\)

Le discriminant étant strictement positif, il existe deux racines réelles distinctes.

\(x_1=\frac{18+30}{16}\,et\,x_2=\frac{18-30}{16}\)

\({\color{DarkRed} x_1=3\,et\,x_2=-0{,}75}\)

Exercice 26 :

Le nombre dérivé \(f^{\prime}(a)\) est le coefficient directeur de la tangente T ; on le calcule avec deux points de T, puis \(T : y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\).

1. \(a=2\), \(f(2)=3\) ; T passe par \((2;3)\) et \((-2;1)\) : \(f^{\prime}(2)=\dfrac{3-1}{2-(-2)}=\dfrac{1}{2}\).

\(f^{\prime}(2)=\dfrac{1}{2}\) et \(T : y=\dfrac{1}{2}x+2\).

2. \(a=1\), \(f(1)=2\) ; T est horizontale.

\(f^{\prime}(1)=0\) et \(T : y=2\).

3. \(a=-1\), \(f(-1)=-1\) ; T passe par \((-1;-1)\) et \((1;2)\) : \(f^{\prime}(-1)=\dfrac{2-(-1)}{1-(-1)}=\dfrac{3}{2}\).

\(f^{\prime}(-1)=1{,}5\) et \(T : y=1{,}5x+0{,}5\).

4. \(a=3\), \(f(3)=-1\) ; T passe par \((3;-1)\) et \((0;2)\) : \(f^{\prime}(3)=\dfrac{-1-2}{3-0}=-1\).

\(f^{\prime}(3)=-1\) et \(T : y=-x+2\).

Exercice 27 (calcul de dérivée)

On considère la fonction f définie par :
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1. Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

Pour la tangente en A :

\(a=\frac{1+4}{0-1}=-5\)

\(b=y-ax=1-0=1\)
donc
\({\color{DarkRed} y=-5x+1}\)

Pour la tangente en B :

\(a=\frac{3+4}{2-1}=7\)

\(b=y-ax=3-14=-11\)

donc

\({\color{DarkRed} y=7x-11}\)

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

\(f^{\prime}(0)=-5\) et \(f^{\prime}(2)=7\)

2. Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

\(f^{\prime}(x)=2ax+b\)

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.
Nous obtenons :

\(\lbrace\begin{array}{l}b=-5\\4a+b=7\\c=1\end{array}.\)

\(\lbrace\begin{array}{l}b=-5\\4a-5=7\\c=1\end{array}.\)

\(\lbrace\begin{array}{l}b=-5\\4a=12\\c=1\end{array}.\)

\(\lbrace\begin{array}{l}b=-5\\a=3\\c=1\end{array}.\)

Conclusion :

\({\color{DarkRed} f(x)=3x^2-5x+1}\)

Exercice 28 :

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) (le dénominateur ne s’annule jamais).

1. Limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Pour \(x\neq 0\), on factorise par \(x^2\) au dénominateur : \(f(x)=\dfrac{x}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), \(\dfrac{1}{x}\) tend vers 0 et \(\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\) tend vers 1.

\(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\) et \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=0\).

2. Dérivée \(f^{\prime}\) et son signe.

\(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas, donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) :

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1\times (x^2+1)-x\times 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}\).

Le dénominateur est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-x^2\) : \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) sur \([-1;1]\) et \(f^{\prime}(x)\leq\, 0\) sur \(]-\infty;-1]\) et sur \([1;+\infty[\).

3. Tableau de variation.

\(f(-1)=\dfrac{-1}{2}\) et \(f(1)=\dfrac{1}{2}\).

\(x\)	\(]-\infty;-1]\)	\([-1;1]\)	\([1;+\infty[\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
variations de \(f\)	décroissante de 0 à \(-\dfrac{1}{2}\)	croissante de \(-\dfrac{1}{2}\) à \(\dfrac{1}{2}\)	décroissante de \(\dfrac{1}{2}\) à 0

\(f\) admet un minimum \(-\dfrac{1}{2}\) en \(-1\) (point A) et un maximum \(\dfrac{1}{2}\) en \(1\) (point B).

Remarque : l’énoncé écrivait « f  » » par erreur ; c’est bien la dérivée première qui est demandée.

Exercice 29 (calcul de dérivée)

1. Par lecture graphique :

\(f(3)=9\) ; \(f^{\prime}(3)=0\) ; \(f(6)=2\) ; \(f^{\prime}(6)=0\).

En effet, les tangentes tracées aux points d’abscisses 3 et 6 sont horizontales : leur coefficient directeur, qui est le nombre dérivé, est nul.

2. Sur l’intervalle \([3;6]\), la courbe descend : \(f\) est décroissante sur \([3;6]\). En un point d’abscisse 4, la tangente « descend » elle aussi, donc son coefficient directeur est négatif.

\(f^{\prime}(4)\lt 0\) (et même \(f^{\prime}(4)\neq 0\), car la tangente en ce point n’est visiblement pas horizontale).

Exercice 30 :

1. Dérivée et signe.

\(f\) est une fonction polynôme, donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f^{\prime}(x)=-3x^2-6x+9\).

\(\Delta=(-6)^2-4\times (-3)\times 9=36+108=144=12^2\gt 0\), il y a donc deux racines :

\(x_1=\dfrac{6+12}{-6}=-3\) et \(x_2=\dfrac{6-12}{-6}=1\), d’où \(f^{\prime}(x)=-3(x+3)(x-1)\).

Le coefficient de \(x^2\) est \(-3\lt 0\) : \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) sur \([-3;1]\) et \(f^{\prime}(x)\leq\, 0\) sur \(]-\infty;-3]\) et \([1;+\infty[\).

2. Tableau de variations.

\(f(-3)=27-27-27=-27\) et \(f(1)=-1-3+9=5\).

\(x\)	\(]-\infty;-3]\)	\([-3;1]\)	\([1;+\infty[\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
variations de \(f\)	décroissante jusqu’à \(-27\)	croissante de \(-27\) à \(5\)	décroissante à partir de \(5\)

\(f\) admet un minimum local \(-27\) en \(-3\) et un maximum local \(5\) en \(1\), ce que confirme la courbe.

Exercice 31 (calcul de dérivée)

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur\(\mathbb{R}\) par :

\(f(x)=(1-\frac{x}{2})^4\) ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse \(x_0=4\).

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

C’est la valeur du coefficient directeur de la tangente en \(x_0=4\)

\(f^{\prime}(4)=2\)

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

\(f^{\prime}(x)=4(1-\frac{x}{2})^3\times \frac{-1}{2}\)

\(f^{\prime}(x)=-2(1-\frac{x}{2})^3\)

\(f^{\prime}(3)=-2(1-\frac{3}{2})^3=-2(-\frac{1}{2})^3=2(\frac{1}{8})=\frac{1}{4}\)

Exercice 32 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\)par \(f(x)=\frac{1}{x}+2\) .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

\(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}+2-\frac{1}{2}-2}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\frac{1}{h(2+h)}-\frac{1}{2h}\)

\(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2}{2h(2+h)}-\frac{2+h}{2h(2+h)}\)

\(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2-2-h}{2h(2+h)}\)

\(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-h}{2h(2+h)}\)

\(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-1}{2(2+h)}\)

La limite lorsque h tend vers 0 existe donc f est dérivable en 2 et :

\(f^{\prime}(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{2(2+h)}=-\frac{1}{4}\)

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

\(y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\)

\(f(2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)

ainsi \(y-\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)\)

\(y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\)

\({\color{DarkRed} y=-\frac{1}{4}x+3}\)

Exercice 33 (calcul de dérivée)

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

\(f(x)=\frac{x}{x+\sqrt{x}}\,sur\,]0;+\infty[\)

\(g(x)=(\frac{1}{1+x})^3\,sur\,\mathbb{R}-\{-1\}\)

\(f^{\prime}(x)=\frac{1(x+\sqrt{x})-x(1+\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(x+\sqrt{x})^2}\)

\(f^{\prime}(x)=\frac{x+\sqrt{x}-x-\frac{\sqrt{x}}{2}}{(x+\sqrt{x})^2}\)

\(f^{\prime}(x)=\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}}{(x+\sqrt{x})^2}\)

\({\color{DarkRed} f^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{x}}{2(x+\sqrt{x})^2}}\)

\(g^{\prime}(x)=3 ( \frac{1}{1+x} )^2\times ( -\frac{1}{(1+x)^2} )\)

\({\color{DarkRed} g^{\prime}(x)=\frac{-3}{ (1+x )^4}}\)

2. Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

\(f^{\prime}(16)=\frac{\sqrt{16}}{2(16+\sqrt{16})^2}=\frac{4}{800}=\frac{1}{200}\)

\(g^{\prime}(2)=\frac{-3}{ (1+2 )^4}=-\frac{1}{27}\)

Exercice 34 :

1. \(f(x)=x(1-x)=x-x^2\) est une fonction polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f^{\prime}(x)=1-2x\).

\(f^{\prime}(x)\geq\, 0\Leftrightarrow 1-2x\geq\, 0\Leftrightarrow x\leq\,\dfrac{1}{2}\).

\(f\) est croissante sur \(]-\infty;\dfrac{1}{2}]\) et décroissante sur \([\dfrac{1}{2};+\infty[\), avec un maximum \(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\).

2. Sur \([0;2]\) : \(f\) croît de \(f(0)=0\) à \(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\), puis décroît de \(\dfrac{1}{4}\) à \(f(2)=2\times (-1)=-2\).

La plus grande valeur est \(\dfrac{1}{4}\) et la plus petite est \(\min(0;-2)=-2\).

Pour tout \(x\in[0;2]\), \(-2\leq\, f(x)\leq\,\dfrac{1}{4}\).

Exercice 35 (calcul de dérivée)

1. Dérivée et signe.

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) comme somme de fonctions dérivables : \(f^{\prime}(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).

Comme \(x^2\gt 0\) sur \(\mathbb{R}^*\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x^2-4\) : positif si \(x\leq\, -2\) ou \(x\geq\, 2\), négatif si \(-2\leq\, x\lt 0\) ou \(0\lt x\leq\, 2\).

2. Tableau de variations.

\(f(-2)=-2-2-2=-6\) et \(f(2)=2-2+2=2\).

\(x\)	\(]-\infty;-2]\)	\([-2;0[\)	\(]0;2]\)	\([2;+\infty[\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
variations de \(f\)	croissante jusqu’à \(-6\)	décroissante à partir de \(-6\)	décroissante jusqu’à \(2\)	croissante à partir de \(2\)

\(f\) est croissante sur \(]-\infty;-2]\) et sur \([2;+\infty[\), décroissante sur \([-2;0[\) et sur \(]0;2]\) (0 est une valeur interdite, on ne peut pas écrire « décroissante sur \([-2;2]\) »).

3. La courbe ci-dessous passe par \(A(-2;-6)\) et \(B(2;2)\), où les tangentes sont horizontales.

EXERCICE 36 :

a) \(f\) est une fonction polynôme : elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=10x-3\).

b) La fonction inverse est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), donc \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et \(g^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}\).

c) \(h=u\times v\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\sqrt{x}\). La fonction racine carrée n’est dérivable que sur \(]0;+\infty[\), donc la formule du produit s’applique sur \(]0;+\infty[\) :

\(h^{\prime}(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\).

En 0, le taux de variation \(\dfrac{h(t)-h(0)}{t}=\dfrac{t\sqrt{t}}{t}=\sqrt{t}\) tend vers 0 quand \(t\) tend vers 0 : \(h\) est aussi dérivable en 0 avec \(h^{\prime}(0)=0\).

\(h\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) et \(h^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\).

d) \(j=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=12-5x\), \(u^{\prime}(x)=-5\), \(v(x)=9x+2\), \(v^{\prime}(x)=9\), et \(v\) ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}-\{-\dfrac{2}{9}\}\) : \(j\) est dérivable sur \(\mathbb{R}-\{-\dfrac{2}{9}\}\).

\(j^{\prime}(x)=\dfrac{-5(9x+2)-9(12-5x)}{(9x+2)^2}=\dfrac{-45x-10-108+45x}{(9x+2)^2}\), soit \(j^{\prime}(x)=\dfrac{-118}{(9x+2)^2}\).

EXERCICE 37 (calcul de dérivée)

La fonction g est définie sur l’ensemble des nombres réels, donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Sa dérivée est \(g^{\prime}(x) = 5(-9x+1)^4 \times (-9)\).

Simplifiée, on obtient \(g^{\prime}(x) = -45(-9x+1)^4\).

EXERCICE 38 :

Le taux de variation de \(f\) entre 2 et 5 est \(\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}\).

On lit sur le graphique les extrémités du segment bleu : \(f(2)=4\) et \(f(5)=6\).

\(\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}=\dfrac{6-4}{3}=\dfrac{2}{3}\).

Le taux de variation de \(f\) entre 2 et 5 est égal à \(\dfrac{2}{3}\) : c’est le coefficient directeur du segment bleu.

EXERCICE 39 (calcul de dérivée)

La droite passant par \(A(-2;1)\) et \(B(1;6)\) a pour coefficient directeur \(m = \frac{6-1}{1-(-2)} = \frac{5}{3}\). Comme la droite est tangente à la courbe en A, on a \(f^{\prime}(-2) = m = \frac{5}{3}\).

EXERCICE 40 :

1. \(f(9)=\sqrt{9}-3=0\), donc \(f(9+h)-f(9)=\sqrt{9+h}-3\) (avec \(h\geq\, -9\), \(h\neq 0\)).

Le taux de variation de \(f\) entre 9 et \(9+h\) est \(\dfrac{\sqrt{9+h}-3}{h}\).

On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{9+h}+3\) (qui n’est pas nul) et on utilise \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :

\(\dfrac{\sqrt{9+h}-3}{h}=\dfrac{(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\dfrac{9+h-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\dfrac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}\).

Le taux de variation de \(f\) entre 9 et \(9+h\) est \(\dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3}\).

2. Quand \(h\) tend vers 0, \(\sqrt{9+h}\) tend vers \(\sqrt{9}=3\), donc le taux de variation tend vers \(\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}\).

Cette limite est un nombre réel : \(f\) est dérivable en 9 et \(f^{\prime}(9)=\dfrac{1}{6}\).

EXERCICE 41 (calcul de dérivée)

Le point A de la courbe a pour abscisse 3 ; on lit son ordonnée sur le graphique : \(g(3)=3\).

\(g^{\prime}(3)\) est le coefficient directeur de la tangente en A. Cette tangente passe par \(A(3;3)\) et par le point \((-3;6)\) :

\(g^{\prime}(3)=\dfrac{6-3}{-3-3}=\dfrac{3}{-6}=-\dfrac{1}{2}\).

\(g^{\prime}(3)=-\dfrac{1}{2}\) ; la tangente en A a pour équation \(y=-\dfrac{1}{2}x+4{,}5\), ce qui correspond bien à son ordonnée à l’origine sur la figure.

EXERCICE 42 :

a) On peut écrire \(f(x) = \frac{1}{x} + x = u(x) + v(x)\) avec \(u(x) = \frac{1}{x}\) et \(v(x) = x\).

Les fonctions u et v sont dérivables sur \(\mathbb{R}^*\) et sur \(\mathbb{R}\), respectivement.

La fonction somme est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et sa dérivée est \((u+v)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) + v^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2} + 1\).

b) On peut écrire \(g(x) = -5 + \frac{1}{x^2} = u(x) + v(x)\) avec \(u(x) = -5\) et \(v(x) = \frac{1}{x^2}\).

Les fonctions u et v sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et sur \(\mathbb{R}^*\), respectivement.

La fonction somme est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et sa dérivée est \((u+v)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) + v^{\prime}(x) = 0 – \frac{2}{x^3} = -\frac{2}{x^3}\).

c) On peut écrire \(h(x) = x^4 + x^2 = u(x) + v(x)\) avec \(u(x) = x^4\) et \(v(x) = x^2\).

Les fonctions u et v sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et la fonction somme est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \((u+v)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) + v^{\prime}(x) = 4x^3 + 2x\).

EXERCICE 43 (calcul de dérivée)

1. Dans la barre de saisie de GeoGebra, on tape y=-9/(2x^2-4x+3) (l’énoncé contenait une coquille : il faut bien \(2x^2\) au dénominateur).

2. et 3. On place un point A sur la courbe (outil « Point sur objet »), puis on trace la tangente en A (outil « Tangentes » : cliquer sur A puis sur la courbe).

4. On affiche le coefficient directeur de la tangente avec l’outil « Pente ».

5. En déplaçant A, on lit les coefficients directeurs. On peut vérifier les lectures par le calcul : \(f=\dfrac{-9}{v}\) avec \(v(x)=2x^2-4x+3\), donc

\(f^{\prime}(x)=\dfrac{9v^{\prime}(x)}{v(x)^2}=\dfrac{9(4x-4)}{(2x^2-4x+3)^2}=\dfrac{36(x-1)}{(2x^2-4x+3)^2}\).

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f^{\prime}(x)\)	\(-\dfrac{108}{361}\approx -0{,}30\)	\(-\dfrac{8}{9}\approx -0{,}89\)	\(-4\)	\(0\)	\(4\)

\(f^{\prime}(-2)\approx -0{,}3\) ; \(f^{\prime}(-1)\approx -0{,}89\) ; \(f^{\prime}(0)=-4\) ; \(f^{\prime}(1)=0\) ; \(f^{\prime}(2)=4\). En \(x=1\), la tangente est horizontale : la courbe y atteint son minimum \(-9\).

EXERCICE 44 :

\(x\)	\(-3\)	\(-1\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)
\(g(x)\)	\(6\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(3\)	\(1\)
\(g^{\prime}(x)\)	\(-4\)	\(0\)	\(1{,}5\)	\(0\)	\(-1\)	\(-3\)

1. Les points à placer sont : \((-3;6)\), \((-1;0)\), \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;3)\) et \((5;1)\).

2. En chaque point, la tangente passe par ce point et a pour coefficient directeur \(g^{\prime}(x)\). Pour la tracer, on part du point, on avance de 1 unité vers la droite et on monte (ou on descend) de \(g^{\prime}(x)\) unités :

• en \((-3;6)\) : pente \(-4\), la tangente passe aussi par \((-2;2)\) ;
• en \((-1;0)\) : pente 0, tangente horizontale \(y=0\) ;
• en \((0;2)\) : pente \(1{,}5\), la tangente passe aussi par \((2;5)\) ;
• en \((2;4)\) : pente 0, tangente horizontale \(y=4\) ;
• en \((4;3)\) : pente \(-1\), la tangente passe aussi par \((5;2)\) ;
• en \((5;1)\) : pente \(-3\), la tangente passe aussi par \((6;-2)\).

3. On trace une courbe régulière qui passe par les six points en « s’appuyant » sur chaque tangente : \(C_g\) descend jusqu’au point \((-1;0)\), où elle a un minimum local, monte jusqu’au point \((2;4)\), où elle a un maximum local, puis redescend. Voici une allure possible (il en existe d’autres) :

EXERCICE 45 (calcul de dérivée)

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(C\) au point A d’abscisse 2 est le nombre dérivé \(f^{\prime}(2)\).

Or la courbe bleue \(C^{\prime}\) représente la fonction dérivée \(f^{\prime}\) : il suffit donc de lire l’ordonnée du point de \(C^{\prime}\) d’abscisse 2.

On lit \(f^{\prime}(2)\approx 1\).

Le coefficient directeur de la tangente à \(C\) en A vaut environ 1. C’est cohérent avec la courbe rouge : en A, la courbe monte avec une pente modérée.

EXERCICE 46 :

a) \(f(x)=\dfrac{5}{2x}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{7x^2}{4}\) : \(I=\mathbb{R}^*\) (à cause du terme \(\dfrac{5}{2}\times \dfrac{1}{x}\)).

\(f^{\prime}(x)=-\dfrac{5}{2x^2}-\dfrac{7x}{2}\).

b) Pour \(x\neq 0\), \(g(x)=-\dfrac{4}{5x}(x-11)=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{44}{5}\times \dfrac{1}{x}\) : \(I=\mathbb{R}^*\).

\(g^{\prime}(x)=-\dfrac{44}{5x^2}\).

c) \(h(x)=\dfrac{5x^2-8x+1}{21-7x}\) : le dénominateur s’annule pour \(x=3\), donc \(I=\mathbb{R}-\{3\}\).

Avec \(u(x)=5x^2-8x+1\), \(u^{\prime}(x)=10x-8\), \(v(x)=21-7x\), \(v^{\prime}(x)=-7\) :

\(h^{\prime}(x)=\dfrac{(10x-8)(21-7x)+7(5x^2-8x+1)}{(21-7x)^2}=\dfrac{-35x^2+210x-161}{(21-7x)^2}\).

Comme \(-35x^2+210x-161=-7(5x^2-30x+23)\) et \((21-7x)^2=49(x-3)^2\) : \(h^{\prime}(x)=-\dfrac{5x^2-30x+23}{7(x-3)^2}\).

d) \(j(x)=\dfrac{-5}{3x^2+2}\) : \(3x^2+2\geq\, 2\gt 0\), le dénominateur ne s’annule jamais, donc \(I=\mathbb{R}\).

\(j=-5\times \dfrac{1}{v}\) avec \(v(x)=3x^2+2\) et \(v^{\prime}(x)=6x\) : \(j^{\prime}(x)=\dfrac{5\times 6x}{(3x^2+2)^2}=\dfrac{30x}{(3x^2+2)^2}\).

e) \(k(x)=\dfrac{9x}{x^2-6x+5}\) : \(x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\) s’annule en 1 et en 5, donc \(I=\mathbb{R}-\{1;5\}\).

\(k^{\prime}(x)=\dfrac{9(x^2-6x+5)-9x(2x-6)}{(x^2-6x+5)^2}=\dfrac{9x^2-54x+45-18x^2+54x}{(x^2-6x+5)^2}\), soit \(k^{\prime}(x)=\dfrac{9(5-x^2)}{(x^2-6x+5)^2}\).

f) \(m(x)=\sqrt{10-x}\) est définie si \(10-x\geq\, 0\), c’est-à-dire sur \(]-\infty;10]\). La racine carrée n’étant dérivable que là où son contenu est strictement positif, \(I=]-\infty;10[\).

Avec \(u(x)=10-x\) et \(u^{\prime}(x)=-1\) : \(m^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)}{2\sqrt{u(x)}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{10-x}}\).

EXERCICE 47 :

1. On lit les coordonnées des points : \(A(-1;1)\) et \(B(1;-3)\), donc \(f(-1)=1\) et \(f(1)=-3\).

\(\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\dfrac{-3-1}{2}=-2\).

Le taux de variation de \(f\) entre \(-1\) et 1 est égal à \(-2\).

2. Pour \(f(x)=11x-7\) et \(h\neq 0\) :

\(\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{11(3+h)-7-(33-7)}{h}=\dfrac{11h}{h}=11\).

Le taux de variation de \(f\) entre 3 et \(3+h\) est égal à 11, quel que soit \(h\) : c’est le coefficient directeur de la droite qui représente cette fonction affine.

EXERCICE 48 :

Pour \(h\neq 0\), le taux de variation de \(f\) entre \(-7\) et \(-7+h\) est \(\dfrac{f(-7+h)-f(-7)}{h}=\dfrac{5}{3}(4h+9)=\dfrac{20}{3}h+15\).

Quand \(h\) tend vers 0, \(\dfrac{20}{3}h\) tend vers 0, donc le taux de variation tend vers \(15\).

Cette limite existe et est un nombre réel : oui, \(f\) est dérivable en \(-7\) et \(f^{\prime}(-7)=15\).

EXERCICE 49 :

\(\dfrac{g(x)-g(3)}{x-3}\) est le taux de variation de \(g\) entre 3 et \(x\). Il vaut \(2x+3\).

Quand \(x\) tend vers 3, \(2x+3\) tend vers \(2\times 3+3=9\).

Le taux de variation a une limite réelle en 3 : oui, \(g\) est dérivable en 3 et \(g^{\prime}(3)=9\).

EXERCICE 50 :

Cet exercice reprend la figure de l’exercice 41.

Le point A de la courbe a pour abscisse 3 et on lit son ordonnée : \(g(3)=3\).

La tangente en A passe par \(A(3;3)\) et par le point \((-3;6)\), donc son coefficient directeur est \(\dfrac{6-3}{-3-3}=-\dfrac{1}{2}\).

\(g^{\prime}(3)=-\dfrac{1}{2}\).

EXERCICE 51 :

On repère d’abord les points marqués sur la courbe : \((-1;-5)\), \((0;-1)\), \((1;1)\), \((2;1)\), \((3;-1)\) et \((4;-5)\). La courbe monte jusqu’à un maximum situé entre 1 et 2, puis redescend.

Tangente au point d’abscisse 0 : elle passe par \((0;-1)\) et a pour coefficient directeur \(f^{\prime}(0)=2\) :

\(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=2x-1\). On la trace en partant de \((0;-1)\) : 1 unité vers la droite, 2 unités vers le haut, elle passe par \((1;1)\).

Tangente au point d’abscisse 2 : elle passe par \((2;1)\) et a pour coefficient directeur \(f^{\prime}(2)=-1\) :

\(y=-1\times (x-2)+1\), soit \(y=-x+3\). Elle passe par \((3;0)\) et par \((0;3)\).

Remarque : les points marqués sont ceux de la parabole d’équation \(y=-x^2+3x-1\), pour laquelle \(f^{\prime}(x)=-2x+3\). On retrouve bien \(f^{\prime}(2)=-1\), mais cette parabole a une pente égale à 3 en 0, et non 2. C’est pourquoi la droite \(y=2x-1\) imposée par l’énoncé recoupe la courbe au point \((1;1)\) sur la figure : il y a une petite incohérence dans les données de l’énoncé, et l’on a suivi la valeur \(f^{\prime}(0)=2\) qu’il donne.

EXERCICE 52 :

Fonctions puissances (formule \((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)) :

• \(f:x\mapsto x^4\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=4x^3\) ;
• \(g:x\mapsto x^{12}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g^{\prime}(x)=12x^{11}\) ;
• \(h:x\mapsto x^{-1}=\dfrac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et \(h^{\prime}(x)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}\).

Fonctions « somme » :

• \(f=u+v\) avec \(u(x)=\dfrac{1}{x}\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), et \(v(x)=x\), dérivable sur \(\mathbb{R}\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}+1\) ;
• \(g=u+v\) avec \(u(x)=-5\), dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(v(x)=\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et \(g^{\prime}(x)=0-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}\) ;
• \(h=u+v\) avec \(u(x)=x^4\) et \(v(x)=x^2\), dérivables sur \(\mathbb{R}\). \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(h^{\prime}(x)=4x^3+2x\).

EXERCICE 53 :

On utilise \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\).

Fonction f : \(u(x)=\dfrac{1}{x}\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), et \(v(x)=9-6x\), dérivable sur \(\mathbb{R}\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et :

\(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}(9-6x)+\dfrac{1}{x}\times (-6)=\dfrac{-9+6x-6x}{x^2}\), soit \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{9}{x^2}\).

On le retrouve en remarquant que \(f(x)=\dfrac{9}{x}-6\).

Fonction g : \(u(x)=x^2\), dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(v(x)=\sqrt{x}\), dérivable sur \(]0;+\infty[\) seulement. Donc \(g\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et :

\(g^{\prime}(x)=2x\sqrt{x}+x^2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2x\sqrt{x}+\dfrac{x\sqrt{x}}{2}\), soit \(g^{\prime}(x)=\dfrac{5}{2}x\sqrt{x}\).

Fonction h : \(u(x)=x^5+x^3\) et \(v(x)=x^2-4\) sont des polynômes dérivables sur \(\mathbb{R}\), donc \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :

\(h^{\prime}(x)=(5x^4+3x^2)(x^2-4)+(x^5+x^3)\times 2x=5x^6-20x^4+3x^4-12x^2+2x^6+2x^4\), soit \(h^{\prime}(x)=7x^6-15x^4-12x^2\).

EXERCICE 54 :

1. \(f=\dfrac{1}{v}\) avec \(v(x)=2x+8\).

\(v(x)=0\Leftrightarrow 2x+8=0\Leftrightarrow x=-4\) : la seule solution est \(-4\), qui n’appartient pas à \(I=]-4;+\infty[\). Donc \(v\) ne s’annule pas sur \(I\).

2. Théorème : si \(v\) est dérivable sur \(I\) et ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{1}{v}\) est dérivable sur \(I\) et \((\dfrac{1}{v})^{\prime}=-\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\).

Ici \(v\) est affine, donc dérivable sur \(I\), avec \(v^{\prime}(x)=2\), et \(v\) ne s’annule pas sur \(I\).

\(f\) est dérivable sur \(I\) et \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{(2x+8)^2}\), ce qui peut aussi s’écrire \(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2(x+4)^2}\).

EXERCICE 55 :

Remarque : \(-3x+12\geq\, 0\Leftrightarrow x\leq\, 4\), donc \(h\) est définie sur \(]-\infty;4]\) ; l’intervalle d’étude est \(I=]-\infty;4[\) (l’intervalle \(]-4;+\infty[\) de l’ancien énoncé était une coquille).

1. Pour calculer \(h(x)\), on calcule d’abord \(-3x+12\), puis on prend la racine carrée du résultat. Donc \(h=f\circ g\) avec \(g(x)=-3x+12\) et \(f(x)=\sqrt{x}\), c’est-à-dire \(h(x)=f(g(x))\).

2. \(g\) est affine, donc dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\), \(g(x)=-3x+12\gt 0\). La fonction racine carrée \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\). D’après le théorème de dérivation de \(x\mapsto f(ax+b)\), \(h\) est dérivable sur \(I\).

3. \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) pour tout réel \(x\gt 0\), et \(g^{\prime}(x)=-3\) pour tout \(x\in I\).

4. \(h^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\times f^{\prime}(g(x))=-3\times \dfrac{1}{2\sqrt{-3x+12}}\).

\(h^{\prime}(x)=-\dfrac{3}{2\sqrt{-3x+12}}\) pour tout \(x\in I\).

EXERCICE 56 :

1. Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente en ce point. On le lit en comptant les carreaux sur chaque tangente bleue :

• en O : la tangente passe par \((0;0)\) et \((1;2)\), donc \(f^{\prime}(0)=2\) ;
• en \(B(1;-1)\) : quand \(x\) augmente de 1, la tangente descend de 3, donc \(f^{\prime}(1)=-3\) ;
• en \(C(3;-3)\) : quand \(x\) augmente de 1, la tangente monte de 5, donc \(f^{\prime}(3)=5\).

2. La tangente en \(C(3;-3)\) a pour équation \(y=f^{\prime}(3)(x-3)+f(3)=5(x-3)-3\), soit \(y=5x-18\).

3. \(f(x)=x^3-4x^2+2x\) est une fonction polynôme dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=3x^2-8x+2\).

\(f^{\prime}(0)=2\) ; \(f^{\prime}(1)=3-8+2=-3\) ; \(f^{\prime}(3)=27-24+2=5\).

\(f(1)=1-4+2=-1\) et \(f(3)=27-36+6=-3\) : on retrouve \(B(1;-1)\) et \(C(3;-3)\).

La tangente en C : \(y=5(x-3)+(-3)=5x-18\). Les calculs confirment les lectures graphiques : \(f^{\prime}(0)=2\), \(f^{\prime}(1)=-3\), \(f^{\prime}(3)=5\) et \(y=5x-18\).

Calcul de dérivée : méthode de travail

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur calcul de dérivée vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.