Dérivée d’une fonction numérique : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Exercice 2 :
1. avec .

donc l’équation de la tangente en a=-1 est :

2. avec a= 3.

Montrer que : f ‘ (3)=-2 ; f(3) = 5 et y = -2x+11.

3. avec a= 9.

Montrer que :

Exercice 3 :
Soit f la fonction définie sur  par :

.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
Le coefficient directeur de la tangente est donc nul or il vaut .

Résolvons

2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?



Il n’y a donc aucun point de la courbe.

3. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation .

Si elle est parallèle cela équivaut à dire qu’elle a le même coefficient directeur,
nous sommes donc amenés à résoudre l’équation :

Il n’existe aucun point.

Exercice 4 :
Soit f la fonction définie sur R par .
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

  et  

donc

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

Exercice 5 :

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

.

 

Pour cela on considère la fonction  définie sur  par .

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

f est un polynôme donc dérivable sur .

et 

 

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

L’accroissement moyen de f entre o et h est :

et  car la fonction f est dérivable en 0.

 

Conclusion : 

Exercice 6 :
1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse .

2.  Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

3.  Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

ceci est vérifié pour 

Donc le minimum est atteint pour 

Conclusion : pour que le prix de revient de la course soit minimal, il faut que le camion roule à une vitesse moyenne de 76,16 km/h.

Exercice 7 :
Soit (P) la parabole définie par la fonction .

Calculer les coordonnées de son sommet S.

Son sommet est le minimum donc la dérivée est nulle en ce point.

et

Les coordonnées de son sommet sont 

Exercice 8 :
On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à   cm².
Nous avons :

 et  soit 

Nous avons la somme et le produit de deux nombres, ils sont solution de l’équation :

Calculons le discriminant :

 il y a donc deux racines réelles distinctes.

  et  

Conclusion : la longueur est  et la largeur est 

2.  On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur  l.

b. On considère la fonction f définie sur  par .

Cette fonction f correspond à l’aire du rectangle.

Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

f est croissante sur [0;1] et décroissante sur [1;2].

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c.  En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Pour que S soit maximale il faut que L = 1 cm.

et donc la largeur est l = 2-1=1 cm

Finalement ce rectangle est un carré de côté 1 cm.

Exercice 9 :
On considère la fonction f définie sur R par : .

On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

donc f’ est négative sur [ – 1 ; 1 ] .

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3.  Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5.  Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique  dans l’intervalle [2 ; 3].

f est continue et strictement croissante sur [2;3], de plus elle passe d’une valeur négative à une valeur positive

donc d’après le théorème de bijection 0 admet un unique antécédent sur [2 ; 3 ].

6. Donner une valeur approchée de , par défaut, à  près.

Exercice 10 :

1.  Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : 

Nous avons   

f est décroissante sur   et croissante sur  .

2.  Résoudre l’équation f(x) = 0.

C’est une équation produit, il y a deux solutions :    .

Exercice 11 :
1. Calculer la dérivée f ‘ de f.

f est un polynôme donc dérivable sur 

2.  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse .

3.  Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

Il y a donc deux points d’intersection entre ces deux courbes.

4.  Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

f(2)= 1 donc le premier point d’intersection est I(2;1).

le second point d’intersection est J ( – 2 ; 5 ) .

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

Exercice 12 :

Dériver les fonctions suivantes :

 

f est une fonction polynôme dérivable sur 

 

g est le produit de deux fonctions dérivables sur .

 

h est une fonction rationnelle dérivable sur 

Exercice 13 :

Dériver les fonctions suivantes :

 

f est un polynôme donc dérivable sur .

g est un polynôme donc dérivable sur .

 

h est un produit de fonctions dérivables sur 

k est une fonction rationnelle dérivable sur 

Exercice 14 :

Soit    une fonction définie sur   par  .

Etudier la dérivabilité de   sur   .

Premier cas :

       et f est dérivable sur    en tant que fonction affine .

et   .

 

Second cas :  

     et f est dérivable sur    en tant que fonction affine  .

et 

Dérivabilité en  0 :

 

  et 

 

Conclusion : f est dérivable sur  

Exercice 15 :

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u ²  est dérivable sur I et (u² )’=2uu’.

Or si u est dérivable, un produit de fonctions est aussi dérivables sur l’intervalle I.

En utilisant la formule de la dérivée d’un produit, nous obtenons :

 

b) u³  est dérivable sur I et (u³ )’=3u² u’.

de même :

les fonctions   et  sont dérivables sur I donc  également

en tant que produit de fonctions dérivables sur I .

Et en réutilisant la formule de la dérivée d’un produit :

En utilisant la question a) :

Exercice 16 :

1. f est dérivable sur  car c’est un polynôme .

donc f est croissante sur  et décroissante sur  .

donc son maximum est atteint en  .

 

donc  .

3. 

Exercice 17 :

Soit la fonction définie sur par

1. sur en tant que fonction polynômiale.


donc f est croissante sur et décroissante sur

2. Résolvons l’équation : .

Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

de plus les ordonnées des points d’intersection vérifient :

Donc les deux courbes se coupent aux points A(-2;-3) et B(-3,5;-3,75).

Exercice 18 :

Etudier les variations sur de la fonction f définie par .
f est une fonction polynômiale donc dérivable sur .

avec un tableau des signes, nous montrons que f’ est positive ou nulle sur
donc f est croissante sur

Exercice 19 :

Soit f la fonction définie sur par :

.

1. f est définie et dérivable sur en tant que fonction rationnelle.






En effectuant un tableau des signes, nous obtenons :
f ‘ négative ou nulle sur donc f est décroissante sur .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

Donc les coordonnées du point A(-1;0) .

3.

L’équation de la tangente en A à la courbe de f est y = – x – 1 .

Exercice 20 :

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction définie par :

.
C’est le même principe que précédemment
Montrer que f est croissante sur

Exercice 21 :

Soit   la fonction définie sur  par 

On appelle   sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
1)a) Etudier la parité de . Que peut-on en déduire pour  ?

f(-x)=f(x) donc la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de  et en déduire le tableau de variation de 
2) a) Déterminer une équation de la tangente à   au point d’abscisse 1.
b) Cette tangente recoupe   en deux autres points.
b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :

b.2) Vérifiez que l’on a :

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Exercice 22 :

Soit (P) la parabole d’équation 

et (H) l’hyperbole d’équation .

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

Indication : remplacer x par 0.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

indication : utiliser l’équation d’une tangente

Rappel : Dans un repère orthonormé du plan, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Exercice 23 :

Indication : utiliser le fait qu’une équation réduite de la tangente en a est y-f(a)=f ‘ (a)(x-a)

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation 

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Exercice 24 :

Indication : utiliser le fait qu’une équation réduite de la tangente en a est :.

Soit la fonction  définie sur  et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :
1)       est horizontale
2)      est parallèle à la droite d’équation .

Exercice 25 :

Une parabole  admet dans un repère  une équation du type :

.
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que  coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

Nous avons :

  

et le coefficient directeur de la tangente étant le nombre dérivé : 

Nous obtenons le système suivant :

Conclusion : 

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de  avec (Ox).

Résolvons l’équation P(x)=0

  (multiplions par -9)

Calculons la valeur du discriminant :

Le discriminant étant strictement positif, il existe deux racines réelles distinctes.

Exercice 26 :

Indications :

1. 

2.

3.

4.

(C) représenter une fonction dérivable sur  et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.

Dans chaque cas détermine f’(a) et donner une équation de la tangente T.

Exercice 27 :
On considère la fonction f définie par :

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1.  Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

Pour la tangente en A :

donc

Pour la tangente en B :

donc

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

  et 

2.  Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.
Nous obtenons :

Conclusion :

Exercice 28 :

On considère la fonction  définie sur par  .

1. Calculer les limites de f en  et en .

  et  

2. Calculer la dérivée f  » de f et étudier son signe.

f est est deux fois dérivable sur son domaine de définition en tant que fonction rationnelle.

et

donc le signe de f » est celui de 

En établissant un tableau des signes,

nous obtenons que f » est positive sur 

donc f ‘ est croissante sur 

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

f est croissante sur [-1;1]

Exercice 29 :

Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :

f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).

2.  Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

  est négatif car la tangente en 4 est décroissante donc son coefficient directeur est négatif.
.

Exercice 30 :
Soit  la fonction définie sur  par .

1. Calculer la dérivée  et étudier son signe.

f est un polynôme donc dérivable sur .

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Calculons la valeur du discriminant :

 , il y a donc deux racines réelles distinctes.

 et 

Conclusion :    sur 

donc f est croissante sur  .

Exercice 31 :

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur par :

  ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse .

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

C’est la valeur du coefficient directeur de la tangente en 

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

Exercice 32 :

Soit  la fonction définie sur  par   .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

 

 

 

 

La limite lorsque h tend vers  0 existe donc f est dérivable en 2 et :

 

 

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

ainsi 

 

 

 

Exercice 33 :

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

 

2.  Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

 

 

Exercice 34 :

Indication : vérifiez vos résultats sur la courbe ci-dessous.
1. Etudier le sens de variation de la fonction  définie sur  par :.

2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

Exercice 35 :
On considère la fonction  définie sur par .

1.  Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.

On en déduit que f est décroissante sur [ -2 ; 2 ].

2.  Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur.