Corrigés des exercices de maths en 1ère
Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur la dérivée d’une fonction. Connaître les formules de dérivation et le nombre dérivé en un point. Savoir déterminer l’équation réduite ou cartésienne de la tangente à une courbe en première.

Exercice 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1. mimetex.cgi? f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. mimetex.cgi? f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2}  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

3. mimetex.cgi? f(x)=(\sqrt{x+1})\times   (x^2-2)  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

4. mimetex.cgi? f(x)=(2x-\sqrt{x})\times   (x+4)  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

5. mimetex.cgi? f(x)=\frac{1}{1-4x}  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

6. mimetex.cgi? f(x)=\frac{-3}{2x-1}  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

7. mimetex.cgi? f(x)=\frac{2x-1}{3x+2}  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

8. mimetex.cgi? f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3}  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

9. mimetex.cgi? f(x)=(5x^2+1)^2  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

10. mimetex.cgi? f(x)=(-2x-1)^3  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

11. mimetex.cgi? f(x)=\sqrt{3x-4} Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

12. mimetex.cgi? f(x)=2x\sqrt{-3x+2} Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 2 :
1. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. avec mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc l’équation de la tangente en a=-1 est :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. avec a= 3.

Montrer que : f ‘ (3)=-2 ; f(3) = 5 et y = -2x+11.

3. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. avec a= 9.

Montrer que : mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 3 :
Soit f la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
Le coefficient directeur de la tangente est donc nul or il vaut mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Résolvons mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
Il n’y a donc aucun point de la courbe.

3. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Si elle est parallèle cela équivaut à dire qu’elle a le même coefficient directeur,
nous sommes donc amenés à résoudre l’équation :
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
Il n’existe aucun point.

Exercice 4 :
Soit f la fonction définie sur R par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

courbe-fonction-17-7 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 5 :

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Pour cela on considère la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

f est un polynôme donc dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

L’accroissement moyen de f entre o et h est :mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. car la fonction f est dérivable en 0.

Conclusion :  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 6 :
1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.  Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

3.  Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

ceci est vérifié pour mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Donc le minimum est atteint pour h Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Conclusion : pour que le prix de revient de la course soit minimal, il faut que le camion roule à une vitesse moyenne de 76,16 km/h.

camion Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 7 :
Soit (P) la parabole définie par la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Calculer les coordonnées de son sommet S.

Son sommet est le minimum donc la dérivée est nulle en ce point.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

et

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Les coordonnées de son sommet sont mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

courbe-fonction-15-4 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 8 :
On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  cm².
Nous avons :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. soit mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Nous avons la somme et le produit de deux nombres, ils sont solution de l’équation :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Calculons le discriminant :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. il y a donc deux racines réelles distinctes.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Conclusion : la longueur est mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et la largeur est mimetex.cgi?\frac{1}{2}\,cm Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.  On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur  l.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi?S=l\times   L=L(2-L) Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

b. On considère la fonction f définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Cette fonction f correspond à l’aire du rectangle.

Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex.cgi?\Leftrightarrow x\leq\, 1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

f est croissante sur [0;1] et décroissante sur [1;2].

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c.  En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Pour que S soit maximale il faut que L = 1 cm.

et donc la largeur est l = 2-1=1 cm

Finalement ce rectangle est un carré de côté 1 cm.

courbe-fonction-15-3 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 9 :
On considère la fonction f définie sur R par : mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc f’ est négative sur [ – 1 ; 1 ] .

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
fonction-30-7 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
3.  Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5.  Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. dans l’intervalle [2 ; 3].

f est continue et strictement croissante sur [2;3], de plus elle passe d’une valeur négative à une valeur positive

donc d’après le théorème de bijection 0 admet un unique antécédent sur [2 ; 3 ].

6. Donner une valeur approchée de mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF., par défaut, à mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. près.

courbe-fonction-15-2 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 10 :

1.  Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : mimetex.cgi?f(x) = x^2 -3x + 2 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Nous avons   mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

f est décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

2.  Résoudre l’équation f(x) = 0.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

C’est une équation produit, il y a deux solutions :  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  .

fonction-carree Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 11 :
1. Calculer la dérivée f ‘ de f.

f est un polynôme donc dérivable sur mimetex.cgi?\mathbb{R} Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

3.  Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi?x=2\,ou\,x=-2 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Il y a donc deux points d’intersection entre ces deux courbes.

4.  Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

f(2)= 1 donc le premier point d’intersection est I(2;1).

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

le second point d’intersection est J ( – 2 ; 5 ) .

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

curbe-fonction-15-1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 12 :

Dériver les fonctions suivantes :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

f est une fonction polynôme dérivable sur mimetex.cgi?\mathbb{R} Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

g est le produit de deux fonctions dérivables sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

h est une fonction rationnelle dérivable sur mimetex.cgi?\mathbb{R}- \{ \frac{1}{3}  \} Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 13 :

Dériver les fonctions suivantes :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

f est un polynôme donc dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

g est un polynôme donc dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

h est un produit de fonctions dérivables sur mimetex.cgi?\mathbb{R}^* Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

k est une fonction rationnelle dérivable sur mimetex.cgi?\mathbb{R} Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 14 :

Soit  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  une fonction définie sur  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

Etudier la dérivabilité de  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  sur  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  .

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Premier cas :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.     mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et f est dérivable sur  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  en tant que fonction affine .

et  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

Second cas :  

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.   mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et f est dérivable sur  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  en tant que fonction affine  .

et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Dérivabilité en  0 :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Conclusion : f est dérivable sur  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 15 :

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u 2  est dérivable sur I et (u2 )’=2uu’.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Or si u est dérivable, un produit de fonctions est aussi dérivables sur l’intervalle I.

En utilisant la formule de la dérivée d’un produit, nous obtenons :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

b) u3  est dérivable sur I et (u3 )’=3u2 u’.

de même :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

les fonctions  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. sont dérivables sur I donc mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. également

en tant que produit de fonctions dérivables sur I .

Et en réutilisant la formule de la dérivée d’un produit :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

En utilisant la question a) :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 16 :

1. f est dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. car c’est un polynôme .

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc f est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

donc son maximum est atteint en mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

3. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 17 :

Soit la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

1. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. en tant que fonction polynômiale.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
donc f est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Résolvons l’équation : .
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
de plus les ordonnées des points d’intersection vérifient :
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
Donc les deux courbes se coupent aux points A(-2;-3) et B(-3,5;-3,75).

Exercice 18 :

Etudier les variations sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. de la fonction f définie par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .
f est une fonction polynômiale donc dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
avec un tableau des signes, nous montrons que f’ est positive ou nulle sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
donc f est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 19 :

Soit f la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

1. f est définie et dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. en tant que fonction rationnelle.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
En effectuant un tableau des signes, nous obtenons :
f ‘ négative ou nulle sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. donc f est décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
Donc les coordonnées du point A(-1;0) .

3.mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
L’équation de la tangente en A à la courbe de f est y = – x – 1 .

Exercice 20 :

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie par :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .
C’est le même principe que précédemment
Montrer que f est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 21 :

Soit mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

On appelle mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  sa représentation graphique dans un repère orthonormal.
1)a) Etudier la parité de mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.. Que peut-on en déduire pour mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. ?

f(-x)=f(x) donc la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et en déduire le tableau de variation de mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
2) a) Déterminer une équation de la tangente à mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  au point d’abscisse 1.
b) Cette tangente recoupe mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  en deux autres points.
b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
b.2) Vérifiez que l’on a :
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Exercice 22 :

Soit (P) la parabole d’équation mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

et (H) l’hyperbole d’équation mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

Indication : remplacer x par 0.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

indication : utiliser l’équation d’une tangente mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Rappel : Dans un repère orthonormé du plan, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Exercice 23 :

Indication : utiliser le fait qu’une équation réduite de la tangente en a est y-f(a)=f ‘ (a)(x-a)

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Exercice 24 :

Indication : utiliser le fait qu’une équation réduite de la tangente en a est :mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Soit la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :
1)       est horizontale
2)      est parallèle à la droite d’équation mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

Exercice 25 :

Une parabole mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. admet dans un repère mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. une équation du type :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

Nous avons :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

et le coefficient directeur de la tangente étant le nombre dérivé : mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Nous obtenons le système suivant :

mimetex.cgi? \{ 9a+3b+c=0\\c=2\\b=2  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi? \{ 9a+6+2=0\\c=2\\b=2  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi? \{ a=-\frac{8}{9}\\c=2\\b=2  Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Conclusion :  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. avec (Ox).

Résolvons l’équation P(x)=0

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  (multiplions par -9)

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Le discriminant étant strictement positif, il existe deux racines réelles distinctes.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
courbe-fonction-17-7-6 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 26 :

Indications :

1. mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

3.mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

4.mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

(C) représenter une fonction dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.

Dans chaque cas détermine f’(a) et donner une équation de la tangente T.

courbes-1-11 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 27 :
On considère la fonction f définie par :
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1.  Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

Pour la tangente en A :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
donc
mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Pour la tangente en B :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.  Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.
Nous obtenons :

mimetex.cgi? \{ b=-5\\ 4a+b=7\\c=1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi? \{ b=-5\\ 4a-5=7\\c=1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi? \{ b=-5\\ 4a=12\\c=1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex.cgi? \{ b=-5\\ a=3\\c=1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Conclusion :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

courbe-fonction-17-9 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 28 :

On considère la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie surmimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

1. Calculer les limites de f en mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et en mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  et  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Calculer la dérivée f  » de f et étudier son signe.

f est est deux fois dérivable sur son domaine de définition en tant que fonction rationnelle.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

et

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc le signe de f » est celui de mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

En établissant un tableau des signes,

nous obtenons que f » est positive sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc f ‘ est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

f est croissante sur [-1;1]

courbe-fonction-17-8 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 29 :

Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :

f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.  Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  est négatif car la tangente en 4 est décroissante donc son coefficient directeur est négatif.
.
courbe-fonction-17-7-5 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 30 :
Soit mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

1. Calculer la dérivée mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et étudier son signe.

f est un polynôme donc dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. , il y a donc deux racines réelles distinctes.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. et mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Conclusion :   mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

donc f est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

courbe-fonction-17-7-4 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 31 :

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie surmimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.  ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

C’est la valeur du coefficient directeur de la tangente en mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

courbe-fonction-17-7-3 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 32 :

Soit mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. la fonction définie sur  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.par  mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

La limite lorsque h tend vers  0 existe donc f est dérivable en 2 et :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

ainsi mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

courbe-fonction-17-7-2 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 33 :

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

2.  Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 34 :

Indication : vérifiez vos résultats sur la courbe ci-dessous.
1. Etudier le sens de variation de la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par :mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

courbe-fonction-17-7-7 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

Exercice 35 :
On considère la fonction mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. définie surmimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

1.  Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.

On en déduit que f est décroissante sur [ -2 ; 2 ].

2.  Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f surmimetex Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF..

courbe-fonction-17-7-1 Dérivée d'une fonction  numérique  : corrigé des exercices en 1ère en PDF.


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