Exercices de maths 1ère : Variations et applications de la dérivée

Exercice 1Signe de la dérivée

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\).

1. Calculer et factoriser \(f'(x)\).
2. Tableau de signes de \(f'\).
3. Tableau de variations de \(f\) avec les extremums.

Exercice 2Fonction polynôme

Étudier les variations sur \(\mathbb{R}\) :

1. \(f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x\)
2. \(g(x) = x^4 - 8x^2\)
3. \(h(x) = x^3 + x - 1\)

Exercice 3Fonction rationnelle

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variations.
3. En déduire le minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 4Extremum

Soit \(f(x) = x + \dfrac{9}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Calculer \(f'(x)\) et l'écrire sous forme d'un quotient factorisé.
2. Déterminer le minimum de \(f\).
3. En déduire que \(x + \dfrac{9}{x} \geq 6\) pour \(x > 0\).

Exercice 5Nombre de solutions

Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

1. Dresser le tableau de variations.
2. Déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = 0\).
3. Donner un encadrement d'amplitude \(0{,}1\) de la plus grande solution.

Exercice 6Inégalité

1. Étudier \(f(x) = x^2 - 2x + 3\) et en déduire que \(x^2 + 3 \geq 2x\).
2. Étudier \(g(x) = x^3 - 3x + 2\) sur \([0\,;\,+\infty[\) et en déduire que \(x^3 + 2 \geq 3x\) pour \(x \geq 0\).

Exercice 7Optimisation : boîte

On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'un carré de carton de \(30\) cm de côté en découpant des carrés de côté \(x\) aux coins.

1. Exprimer le volume \(V(x)\) sur \(]0\,;\,15[\).
2. Calculer \(V'(x)\) et déterminer \(x\) rendant \(V\) maximal.
3. Volume maximal ?

Exercice 8Optimisation : coût

Le coût de production de \(x\) objets (en centaines) est \(C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 20\) (en milliers d'euros), \(x \in [0\,;\,10]\). Le coût moyen est \(C_M(x) = \dfrac{C(x)}{x}\).

1. Calculer \(C_M'(x)\).
2. Pour quelle production le coût moyen est-il minimal ?

Exercice 9Optimisation : géométrie

Un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) a un volume de \(1\) L (\(1\,000\) cm³). On veut minimiser sa surface totale \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\).

1. Exprimer \(h\) en fonction de \(r\), puis \(S(r)\).
2. Calculer \(S'(r)\).
3. Déterminer \(r\) minimisant \(S\) (valeur approchée).

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Tableau de variations.
3. Montrer que pour tout \(x\), \(-2 \leq f(x) \leq 2\).
4. Résoudre \(f(x) = 1\).