Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : étude de fonctions avec logarithme.
Ce sujet de Terminale spécialité est construit comme une partie « analyse » du bac. Après un échauffement sur la dérivée de ln(u) et les croissances comparées, tu mènes l’étude complète d’une fonction avec logarithme : limites aux bornes, asymptote, tableau de variations, équation de tangente et nombre de solutions d’une équation grâce au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Tu utilises ensuite la convexité pour démontrer une inégalité célèbre, puis tu étudies la fonction ln x sur x. Calculatrice autorisée, deux heures : appuie-toi sur la courbe fournie pour contrôler tes résultats.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : La fonction logarithme népérien
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 2 points ; exercice 3 : 7 points ; exercice 4 : 3 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : dériver des fonctions comportant ln x et ln(u)
- Raisonner : lever une indétermination par les croissances comparées
- Chercher : dénombrer les solutions d’une équation avec le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
- Représenter : relier variations, tangente et convexité à la courbe tracée
- Communiquer : rédiger une étude de fonction complète
Exercice 1 : Dérivées avec ln (4 points)
Calculatrice autorisée.
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué, en donnant le résultat sous forme simplifiée.
- \(f(x) = x\ln x – x\) sur \(]0\,;+\infty[\) (1 point)
- \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\) sur \(\mathbb{R}\) (1 point)
- \(h(x) = \frac{\ln x}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) (1 point)
- \(k(x) = \ln(3x – 6)\) sur \(]2\,;+\infty[\) (1 point)
Exercice 2 : Croissances comparées (2 points)
On rappelle que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) et \(\lim_{x \to 0^{+}} x\ln x = 0\). Déterminer les limites suivantes.
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2}\) (1 point)
- \(\lim_{x \to 0^{+}} (x\ln x + 3)\) (0,5 point)
- \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 – \ln x)\) (0,5 point)
Exercice 3 : Étude de la fonction x − 2 ln x (7 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x – 2\ln x\). On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé et \(T\) la tangente à \(C_f\) au point \(A\) d’abscisse 1. La courbe et la tangente sont tracées ci-dessous.
- Déterminer la limite de \(f\) en 0. Interpréter graphiquement le résultat. (1 point)
- Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\). On pourra écrire \(f(x) = x(1 – 2\frac{\ln x}{x})\). (1 point)
- Montrer que \(f^{\prime}(x) = \frac{x – 2}{x}\) pour tout \(x > 0\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) en précisant la valeur exacte de son minimum. (2 points)
- Montrer que l’équation \(f(x) = 3\) admet exactement deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\) sur \(]0\,;+\infty[\), avec \(\alpha < 2 < \beta\). Donner un encadrement de \(\beta\) d’amplitude \(0{,}1\). (2 points)
- Déterminer une équation de la tangente \(T\). (1 point)
Exercice 4 : Convexité et inégalité (3 points)
On reprend la fonction \(f\) de l’exercice 3, définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x – 2\ln x\), et sa tangente \(T\) au point d’abscisse 1.
- Calculer \(f^{\prime\prime}(x)\) et en déduire la convexité de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1,5 point)
- En déduire la position de \(C_f\) par rapport à \(T\), puis démontrer que pour tout réel \(x > 0\), \(\ln x \leq\, x – 1\). (1,5 point)
Exercice 5 : La fonction ln x sur x (4 points)
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x) = \frac{\ln x}{x}\).
- Déterminer les limites de \(g\) en 0 et en \(+\infty\), et en déduire les asymptotes à sa courbe. (1 point)
- Étudier les variations de \(g\) et donner la valeur exacte de son maximum. (1,5 point)
- Déterminer le nombre de solutions de l’équation \(g(x) = 0{,}3\) sur \(]0\,;+\infty[\). (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : étude de fonctions avec logarithme
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La fonction logarithme népérien » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés logarithmes.
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