Corrigé du contrôle de maths Terminale : étude de fonctions avec logarithme

Exercice 1 : Dérivées avec ln (4 points)

1. D’abord, \(x\ln x\) est un produit \(uv\) avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = \ln x\) : sa dérivée est \(1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1\).
   Donc \(f^{\prime}(x) = \ln x + 1 – 1\). \(f^{\prime}(x) = \ln x\).
2. Ici, \(g = \ln u\) avec \(u(x) = x^2 + 1 > 0\) et \(u^{\prime}(x) = 2x\). Puisque \((\ln u)^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{u}\) : \(g^{\prime}(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\).
3. Ensuite, \(h = \frac{u}{v}\) avec \(u(x) = \ln x\), \(v(x) = x\) :
   Ainsi, \(h^{\prime}(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x – \ln x \times 1}{x^2}\). \(h^{\prime}(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2}\).
4. Enfin, \(k = \ln u\) avec \(u(x) = 3x – 6 > 0\) sur \(]2\,;+\infty[\) et \(u^{\prime}(x) = 3\) :
   Donc \(k^{\prime}(x) = \frac{3}{3x – 6} = \frac{3}{3(x – 2)}\). \(k^{\prime}(x) = \frac{1}{x – 2}\).

Barème : 1 point par dérivée : 0,5 point pour la formule utilisée, 0,5 point pour le résultat simplifié.

Exercice 2 : Croissances comparées (2 points)

1. On écrit \(\frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x} \times \frac{1}{x}\). Or \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\). Par produit, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0\).
2. Par croissances comparées, \(\lim_{x \to 0^{+}} x\ln x = 0\), donc par somme \(\lim_{x \to 0^{+}} (x\ln x + 3) = 3\).
3. On a une forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». Alors, pour \(x > 0\) : \(x^2 – \ln x = x^2(1 – \frac{\ln x}{x^2})\). D’après a), la parenthèse tend vers 1, et \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Donc\(\lim_{x \to +\infty} (x^2 – \ln x) = +\infty\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour l’écriture en produit, 0,5 point pour la limite ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point.

Exercice 3 : Étude de la fonction x − 2 ln x (7 points)

1. D’abord, \(\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty\), donc \(\lim_{x \to 0^{+}} (-2\ln x) = +\infty\). De plus, \(\lim_{x \to 0^{+}} x = 0\). Par somme, \(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty\).
   Ainsi, graphiquement, la droite d’équation \(x = 0\) (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(C_f\).
2. En \(+\infty\), on a la forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». Or, pour \(x > 0\), \(f(x) = x(1 – 2\frac{\ln x}{x})\). Par croissances comparées, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\), donc la parenthèse tend vers 1. Par produit, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
3. La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(f^{\prime}(x) = 1 – \frac{2}{x} = \frac{x – 2}{x}\).
   Or, sur \(]0\,;+\infty[\), \(x > 0\). Donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 2\) : négatif sur \(]0\,;2[\), nul en 2, positif sur \(]2\,;+\infty[\).
   Enfin, \(f(2) = 2 – 2\ln 2 \approx 0{,}61\).

   \(x\)	\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
   signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
   variations de \(f\)	\(+\infty\)	décroissante	\(2 – 2\ln 2\)	croissante	\(+\infty\)

   Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \([2\,;+\infty[\), après avoir été strictement décroissante sur \(]0\,;2]\). Son minimum vaut \(2 – 2\ln 2\), atteint en \(x = 2\).

Solutions de f(x) = 3 et tangente

4. Sur \(]0\,;2]\) : \(f\) est continue et strictement décroissante, \(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty\) et \(f(2) \approx 0{,}61 < 3\). Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;2[\).
   Ensuite, sur \([2\,;+\infty[\) : \(f\) est continue et strictement croissante, \(f(2) < 3\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). De même, l’équation admet une unique solution \(\beta\) dans \(]2\,;+\infty[\).
   Par conséquent, l’équation \(f(x) = 3\) admet exactement deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\), avec \(\alpha < 2 < \beta\).
   Puis, à la calculatrice : \(f(6{,}8) \approx 2{,}97 < 3\) et \(f(6{,}9) \approx 3{,}04 > 3\). \(6{,}8 < \beta < 6{,}9\). (De même, \(0{,}25 < \alpha < 0{,}26\).)
5. On calcule d’abord \(f(1) = 1 – 2\ln 1 = 1\) et \(f^{\prime}(1) = \frac{1 – 2}{1} = -1\).
   Ainsi, \(T\) : \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1) = -(x – 1) + 1\). \(T\) : \(y = -x + 2\).

Erreur fréquente : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur tout \(]0\,;+\infty[\) d’un seul coup. En effet, la fonction n’y est pas monotone : il faut donc découper l’intervalle au minimum, en \(x = 2\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour la limite, 0,5 point pour l’asymptote ; b) 1 point ; c) 2 points : 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour le minimum exact ; d) 2 points : 0,75 point par intervalle (continuité, stricte monotonie, valeurs), 0,5 point pour l’encadrement de \(\beta\) ; e) 1 point.

Exercice 4 : Convexité et inégalité (3 points)

1. On a \(f^{\prime}(x) = 1 – \frac{2}{x}\), donc \(f^{\prime\prime}(x) = \frac{2}{x^2}\).
   Pour tout \(x > 0\), \(f^{\prime\prime}(x) > 0\). Ainsi, la fonction \(f\) est convexe sur \(]0\,;+\infty[\).
2. Or une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes : donc \(C_f\) est au-dessus de \(T\) sur \(]0\,;+\infty[\).
   Alors, pour tout \(x > 0\) : \(x – 2\ln x \geq\, -x + 2\), soit \(2x – 2 \geq\, 2\ln x\), puis, en divisant par 2 : \(x – 1 \geq\, \ln x\).
   Pour tout réel \(x > 0\), \(\ln x \leq\, x – 1\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour \(f^{\prime\prime}\), 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour la conclusion ; b) 1,5 point : 0,5 point pour la position citée, 1 point pour la transformation de l’inégalité.

Exercice 5 : La fonction ln x sur x (4 points)

1. En 0 : \(\frac{\ln x}{x} = \ln x \times \frac{1}{x}\), avec \(\ln x \to -\infty\) et \(\frac{1}{x} \to +\infty\) : \(\lim_{x \to 0^{+}} g(x) = -\infty\). Donc l’axe des ordonnées est asymptote verticale.
   Ensuite, en \(+\infty\), par croissances comparées : \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\), donc l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).
2. D’après l’exercice 1, \(g^{\prime}(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2}\). Puisque \(x^2 > 0\), \(g^{\prime}(x)\) a donc le signe de \(1 – \ln x\) :
   \(1 – \ln x > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < e\).
   Ainsi, \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;e]\) et strictement décroissante sur \([e\,;+\infty[\). Son maximum est \(g(e) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37\).
3. D’abord, sur \(]0\,;1]\), \(\ln x \leq\, 0\) donc \(g(x) \leq\, 0\) : pas de solution.
   Ensuite, sur \([1\,;e]\), \(g\) est continue et strictement croissante, avec \(g(1) = 0\) et \(g(e) = \frac{1}{e}\). Puisque \(0 < 0{,}3 < \frac{1}{e}\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une unique solution \(\alpha\) dans \(]1\,;e[\).
   Enfin, sur \([e\,;+\infty[\), \(g\) est continue et strictement décroissante. De plus, \(g(e) = \frac{1}{e} > 0{,}3\) et \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 < 0{,}3\) : il existe donc une unique solution \(\beta\) dans \(]e\,;+\infty[\).
   L’équation \(g(x) = 0{,}3\) admet exactement deux solutions (à la calculatrice, \(\alpha \approx 1{,}63\) et \(\beta \approx 5{,}94\)).

Barème : a) 1 point : 0,25 point par limite, 0,25 point par asymptote ; b) 1,5 point : 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour les variations et le maximum ; c) 1,5 point : 0,5 point pour \(]0\,;1]\), 0,5 point par solution justifiée.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : étude de fonctions avec logarithme

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « La fonction logarithme népérien » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés logarithmes.

Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en Terminale sur ce thème

• Contrôle de maths Terminale : équations et inéquations avec ln
• Contrôle de maths Terminale : suites et fonction logarithme

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques TerminalePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de Terminale à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗