Bac maths 2026 France sept. J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet de la session de septembre 2026 du bac de spécialité mathématiques en France métropolitaine (jour 2, épreuve du 9 septembre), avec l’énoncé intégral puis un corrigé détaillé de chaque question sur cette même page. Le premier exercice parle de lancers francs au basket : loi binomiale, seuil trouvé avec un logarithme et une boucle Python, puis une suite de probabilités étudiée par récurrence. Le deuxième étudie la fonction \(x \mapsto (3x-1)\text{e}^{-x}+2\) : limites, variations, solution approchée de \(f(x)=0\), aire sous la courbe et position par rapport à une tangente. Le troisième est un vrai-faux en cinq affirmations (équation différentielle, intégration par parties, inéquation avec ln, suite arithmétique, Bienaymé-Tchebychev). Le dernier, dans l’espace, calcule le volume d’un tétraèdre et une distance minimale à une droite.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 2 (session de septembre)
France métropolitaine — 9 septembre 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Partie A

Une joueuse de basket constate qu’elle réussit 60 % de ses lancers francs au cours d’une séance d’entraînement.

En se basant sur ces statistiques, on modélise la situation comme une succession d’épreuves aléatoires indépendantes.

1. Cette joueuse effectue cinq lancers consécutifs.

a. Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.

Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de \(P(X \geq\, 4)\).

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

2. On suppose maintenant que cette sportive doit effectuer \(n\) lancers, où \(n\) est un entier naturel non nul.

Soit \(Y\) la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.

On admet que la variable aléatoire \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p=0{,}6\).

a. Montrer que \(P(Y \geq\, 1)=1-0{,}4^n\).

b. En déduire le nombre \(n\) de lancers à partir duquel la probabilité d’en réussir au moins un dépasse 0,999 9.

c. Recopier et compléter le script de la fonction Python suivante afin qu’elle permette de retrouver le résultat de la question 2. b.

def basket ():
    p = 0.6
    n = 1
    while ..... :
        n = n + 1
        p = .....
    return ...

Partie B

Pour un autre joueur, on remarque que :

lorsqu’il a réussi un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de 0,7 ;
lorsqu’il a raté un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de 0,4.

On considère que la probabilité de réussir son premier lancer est de 0,5.

On note \(G_1\) l’évènement : « le joueur réussit son premier lancer franc ».

On a donc \(P(G_1)=0{,}5\).

On note \(G_2\) l’évènement : « le joueur réussit son deuxième lancer franc ».

1. Calculer \(P(G_2)\).

On pourra utiliser un arbre de probabilité.

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

On note \(G_n\) l’évènement « le joueur réussit le \(n\)-ième lancer franc » et \(p_n\) la probabilité de \(G_n\).

On définit ainsi une suite \((p_n)\) de réels.

On admet que pour tout \(n \geq\, 1\), \(p_{n+1}=0{,}3p_n+0{,}4\).

2. a. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que

pour tout \(n \geq\, 1\), \(p_n \leq\, p_{n+1}\).

b. Quel argument permet d’affirmer que la suite \((p_n)\) est majorée ?

c. En déduire que la suite \((p_n)\) est convergente.

3. On admet que la limite de \((p_n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(\dfrac{4}{7}\).

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (5 points)

Soit \(f\) la fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x)=(3x-1)\text{e}^{-x}+2\).

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})\).

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

2. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

Interpréter graphiquement ce résultat.

3. On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\).

a. Vérifier que, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\).

b. Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

4. a. Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\).

On notera \(\alpha\) cette solution.

b. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

c. En déduire le tableau de signes de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

d. Soit la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(F(x)=(-3x-2)\text{e}^{-x}+2x\).

On admet que la fonction \(F\) est une primitive de \(f\).

Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l’axe de abscisses et les droites d’équation \(x=0\) et \(x=2\).

5. On admet que la droite d’équation \(y=4x+1\) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0.

Vérifier que, pour tout réel \(x\), \((3x-1)\text{e}^{-x}+2 \leq\, 4x+1\).

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les affirmations sont indépendantes.

1. On considère l’équation différentielle \((E) \quad y^{\prime}-2y=(x-3)\text{e}^x\), où \(y\) est une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Affirmation 1 :

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=(x-2)\text{e}^x\) est solution de l’équation différentielle (E).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x+1)\cos(x)\).

On intègre par parties \(\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x\).

Affirmation 2 :

\[\int_0^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x=-4\pi\]

3. On considère l’inéquation suivante sur \(]7 ; +\infty[\) :

\[\ln(2x^2-6x-56) \geq\, \ln(4x-8)\]

Affirmation 3 :

L’ensemble des solutions de cette inéquation est l’intervalle \([8 ; +\infty[\).

4. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{5u_n+3}\]

On admet que \(u_n \neq 0\) pour tout entier naturel \(n\).

On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=\dfrac{2}{u_n}\).

Affirmation 4 :

La suite \((v_n)\) est une suite arithmétique.

5. On lance 3 600 fois un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.

Affirmation 5 :

La probabilité que le nombre d’apparitions du 6 soit strictement compris entre 450 et 750 est minorée par 0,97.

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\) d’unité 1 cm.

Partie A

On considère les points de l’espace R\((1 ; 0 ; 6)\), S\((1 ; 3 ; 2)\), T\((3{,}5 ; 7 ; 5)\) et A\((-2{,}5 ; 8 ; 4{,}5)\).

1. Démontrer que les points R, S et T ne sont pas alignés.

2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (RST).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (RST).

3. a. Vérifier que la point A n’appartient pas au plan (RST).

b. On note \(d_1\) la droite passant par le point A et orthogonale au plan (RST).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_1\).

c. Soit le point H projeté orthogonal de A sur (RST).

Vérifier que ses coordonnées sont \((2{,}5 ; 6 ; 3)\).

4. a. Démontrer que le triangle RST est rectangle en S.

b. Vérifier que le volume du tétraèdre ARST est égal à \(\dfrac{625}{24}\) cm³.

On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule :

\[V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}\]

Partie B

Soit M\((x ; y ; z)\) un point de la droite \(d_2\) de représentation paramétrique :

\[\begin{cases} x=-4{,}5+s \\ y=4-4s \\ z=5{,}5-2s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R}\]

1. Démontrer que \(\text{AM}^2=21s^2+24s+21\).

2. Déterminer les coordonnées du point M de la droite \(d_2\) pour lesquelles la distance AM est minimale.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. a. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : le succès « le lancer est réussi » a pour probabilité 0,6. On répète cette épreuve 5 fois de façon identique et indépendante (c’est le modèle choisi), et \(X\) compte le nombre de succès. Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}6\).

b. \(P(X \geq\, 4)=P(X=4)+P(X=5)=\dbinom{5}{4}\times 0{,}6^4\times 0{,}4+0{,}6^5=5\times 0{,}1296\times 0{,}4+0{,}07776=0{,}2592+0{,}07776=0{,}33696\).

Donc \(P(X \geq\, 4) \approx 0{,}34\) : sur une série de cinq lancers francs, la joueuse en réussit au moins quatre dans environ 34 % des cas.

2. a. L’évènement « \(Y \geq\, 1\) » est le contraire de « \(Y=0\) » (aucun lancer réussi). Or \(P(Y=0)=\dbinom{n}{0}\times 0{,}6^0\times 0{,}4^n=0{,}4^n\). Donc \(P(Y \geq\, 1)=1-0{,}4^n\).

b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1-0{,}4^n \gt 0{,}9999\) :

\[1-0{,}4^n \gt 0{,}9999 \iff 0{,}4^n \lt 0{,}0001 \iff n\ln(0{,}4) \lt \ln(0{,}0001) \iff n \gt \dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)}.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, d’où la deuxième équivalence ; pour la troisième, on divise par \(\ln(0{,}4) \lt 0\), ce qui change le sens de l’inégalité. Comme \(\dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)} \approx 10{,}05\), la probabilité de réussir au moins un lancer dépasse 0,999 9 à partir de \(n=11\) lancers.

c. La variable p contient \(P(Y \geq\, 1)\) pour la valeur courante de n (au départ \(n=1\) et \(1-0{,}4=0{,}6\)). Tant que cette probabilité ne dépasse pas 0,999 9, on ajoute un lancer et on recalcule la probabilité ; on renvoie ensuite le nombre de lancers.

def basket ():
    p = 0.6
    n = 1
    while p <= 0.9999 :
        n = n + 1
        p = 1 - 0.4**n
    return n

L’appel basket() renvoie 11, ce qui confirme le résultat de la question précédente.

Partie B

1. On construit l’arbre : \(G_1\) (probabilité 0,5) puis \(G_2\) avec probabilité 0,7 ; \(\overline{G_1}\) (probabilité 0,5) puis \(G_2\) avec probabilité 0,4. Les évènements \(G_1\) et \(\overline{G_1}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

\[P(G_2)=P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(\overline{G_1})\times P_{\overline{G_1}}(G_2)=0{,}5\times 0{,}7+0{,}5\times 0{,}4=0{,}35+0{,}2=0{,}55.\]

Donc \(P(G_2)=0{,}55\).

2. a. Pour \(n \geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(p_n \leq\, p_{n+1}\) ».

Initialisation. \(p_1=0{,}5\) et \(p_2=0{,}55\), donc \(p_1 \leq\, p_2\) : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geq\, 1\) tel que \(p_n \leq\, p_{n+1}\). En multipliant par \(0{,}3 \gt 0\), l’ordre est conservé : \(0{,}3p_n \leq\, 0{,}3p_{n+1}\). En ajoutant 0,4 : \(0{,}3p_n+0{,}4 \leq\, 0{,}3p_{n+1}+0{,}4\), c’est-à-dire \(p_{n+1} \leq\, p_{n+2}\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc pour tout \(n \geq\, 1\), \(p_n \leq\, p_{n+1}\) : la suite \((p_n)\) est croissante.

b. Chaque \(p_n\) est une probabilité, donc \(0 \leq\, p_n \leq\, 1\) : la suite \((p_n)\) est majorée par 1.

c. La suite \((p_n)\) est croissante (question a) et majorée par 1 (question b). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((p_n)\) est convergente.

3. \(\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571\). Cela signifie qu’après un grand nombre de lancers, la probabilité que ce joueur réussisse un lancer franc se stabilise autour de \(\dfrac{4}{7}\) : à long terme, il réussit environ 57 % de ses lancers francs.

Exercice 2 :

1. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x \to -\infty}(3x-1)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\) (car \(-x\) tend vers \(+\infty\)). Par produit, \(\lim\limits_{x \to -\infty}(3x-1)\text{e}^{-x}=-\infty\), puis en ajoutant 2 : \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\).

2. En \(+\infty\), le produit \((3x-1)\text{e}^{-x}\) est une forme indéterminée ; on développe : \(f(x)=3\,\dfrac{x}{\text{e}^x}-\text{e}^{-x}+2\).

Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\), et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{-x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2\).

Graphiquement, la droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

3. a. On dérive le produit \(u(x)=3x-1\), \(u^{\prime}(x)=3\), \(v(x)=\text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\) ; la constante 2 a une dérivée nulle :

\[f^{\prime}(x)=3\text{e}^{-x}+(3x-1)\times (-\text{e}^{-x})=(3-3x+1)\,\text{e}^{-x}=(4-3x)\,\text{e}^{-x}.\]

On a bien \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\).

b. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(4-3x\) : positif pour \(x \lt \dfrac{4}{3}\), nul en \(\dfrac{4}{3}\), négatif pour \(x \gt \dfrac{4}{3}\). On calcule \(f(\dfrac{4}{3})=(4-1)\text{e}^{-\frac{4}{3}}+2=2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \approx 2{,}79\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{4}{3}\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)
variations de \(f\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}}\)	\(\searrow\)	2

\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty ; \dfrac{4}{3}]\) et strictement décroissante sur \([\dfrac{4}{3} ; +\infty[\).

4. a. On sépare \(\mathbb{R}\) en deux intervalles.

Sur \([\dfrac{4}{3} ; +\infty[\), \(f\) décroît vers 2 sans l’atteindre, donc \(f(x) \gt 2 \gt 0\) : l’équation \(f(x)=0\) n’y a aucune solution.
Sur \(]-\infty ; \dfrac{4}{3}]\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, de \(-\infty\) à \(2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) assure que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur cet intervalle.

En conclusion, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).

b. À la calculatrice : \(f(0)=-1+2=1 \gt 0\) ; \(f(-0{,}21) \approx -0{,}011 \lt 0\) et \(f(-0{,}20) \approx 0{,}046 \gt 0\). Donc \(-0{,}21 \lt \alpha \lt -0{,}20\) et un affinement donne \(\alpha \approx -0{,}208\), d’où \(\alpha \approx -0{,}21\) à \(10^{-2}\) près.

c. D’après ce qui précède, \(f\) est strictement négative avant \(\alpha\), nulle en \(\alpha\) et strictement positive après (sur \([\alpha ; \dfrac{4}{3}]\) par croissance, puis car \(f \gt 2\) au-delà de \(\dfrac{4}{3}\)).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\alpha\)		\(+\infty\)
signe de \(f(x)\)		\(-\)	0	\(+\)

d. Comme \(\alpha \lt 0\), la fonction \(f\) est positive sur \([0 ; 2]\) ; l’aire cherchée, en unités d’aire, est donc \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)\).

\[F(2)=(-6-2)\text{e}^{-2}+4=4-8\text{e}^{-2} \quad \text{et} \quad F(0)=(0-2)\times 1+0=-2.\]

\[\mathcal{A}=4-8\text{e}^{-2}-(-2)=6-8\text{e}^{-2} \approx 4{,}92.\]

L’aire du domaine vaut \(6-8\text{e}^{-2}\) unités d’aire, soit environ 4,92 u.a.

5. Étudions la convexité de \(f\). En dérivant \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\) comme un produit :

\[f^{\prime\prime}(x)=-3\text{e}^{-x}+(4-3x)\times (-\text{e}^{-x})=(3x-7)\,\text{e}^{-x}.\]

Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) pour \(x \leq\, \dfrac{7}{3}\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty ; \dfrac{7}{3}]\). Sur cet intervalle, la courbe est au-dessous de ses tangentes, en particulier de sa tangente au point d’abscisse 0 (qui appartient à l’intervalle), d’équation \(y=4x+1\). Donc pour tout \(x \leq\, \dfrac{7}{3}\), \(f(x) \leq\, 4x+1\).

Pour \(x \geq\, \dfrac{7}{3}\) : d’après le tableau de variations, \(f(x) \leq\, 2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \lt 3\) pour tout réel \(x\), alors que \(4x+1 \geq\, 4\times \dfrac{7}{3}+1=\dfrac{31}{3} \gt 3\). Donc là aussi \(f(x) \lt 4x+1\).

Conclusion : pour tout réel \(x\), \((3x-1)\text{e}^{-x}+2 \leq\, 4x+1\) ; la courbe \(\mathcal{C}_f\) est entièrement située sous sa tangente au point d’abscisse 0.

Exercice 3 :

Affirmation 1 : fausse.

La fonction \(f(x)=(x-2)\text{e}^x\) est dérivable et \(f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^x+(x-2)\text{e}^x=(x-1)\text{e}^x\). Alors :

\[f^{\prime}(x)-2f(x)=(x-1)\text{e}^x-2(x-2)\text{e}^x=(x-1-2x+4)\,\text{e}^x=(3-x)\,\text{e}^x.\]

Pour \(x=0\), on obtient 3 alors que le second membre \((x-3)\text{e}^x\) vaut \(-3\). Les deux expressions ne sont pas égales pour tout \(x\), donc \(f\) n’est pas solution de (E).

Affirmation 2 : fausse.

On pose \(u(x)=2x+1\), \(u^{\prime}(x)=2\), \(v^{\prime}(x)=\cos(x)\), \(v(x)=\sin(x)\), fonctions dérivables à dérivées continues sur \([0 ; \pi]\) :

\[\int_0^{\pi}(2x+1)\cos(x)\,\mathrm{d}x=\Big[(2x+1)\sin(x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x.\]

Le crochet vaut \((2\pi+1)\sin(\pi)-1\times \sin(0)=0\). Et \(\displaystyle\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-2\cos(x)\Big]_0^{\pi}=2-(-2)=4\).

Donc l’intégrale vaut \(0-4=-4\), et non \(-4\pi\).

Affirmation 3 : vraie.

Sur \(]7 ; +\infty[\), les deux logarithmes sont bien définis : \(4x-8 \gt 20 \gt 0\), et \(2x^2-6x-56=2(x-7)(x+4) \gt 0\) (les deux facteurs sont positifs). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), l’inéquation équivaut à :

\[2x^2-6x-56 \geq\, 4x-8 \iff 2x^2-10x-48 \geq\, 0 \iff x^2-5x-24 \geq\, 0.\]

Le discriminant vaut \(25+96=121=11^2\), d’où les racines \(\dfrac{5-11}{2}=-3\) et \(\dfrac{5+11}{2}=8\) : \(x^2-5x-24=(x+3)(x-8)\). Ce trinôme (coefficient dominant positif) est positif à l’extérieur des racines, c’est-à-dire pour \(x \leq\, -3\) ou \(x \geq\, 8\). Sur \(]7 ; +\infty[\), l’ensemble des solutions est donc bien \([8 ; +\infty[\).

Affirmation 4 : vraie.

Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}=\dfrac{2}{u_{n+1}}=2\times \dfrac{5u_n+3}{3u_n}=\dfrac{10u_n}{3u_n}+\dfrac{6}{3u_n}=\dfrac{10}{3}+\dfrac{2}{u_n}=v_n+\dfrac{10}{3}.\]

La suite \((v_n)\) est donc arithmétique, de raison \(\dfrac{10}{3}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{2}{1}=2\).

Affirmation 5 : vraie.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 », de probabilité \(\dfrac{1}{6}\) ; les 3 600 lancers sont indépendants. Le nombre \(X\) d’apparitions du 6 suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(3600 ; \dfrac{1}{6})\), avec :

\[\text{E}(X)=3600\times \dfrac{1}{6}=600 \quad \text{et} \quad V(X)=3600\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{5}{6}=500.\]

« \(450 \lt X \lt 750\) » équivaut à \(|X-600| \lt 150\), évènement contraire de \(|X-600| \geq\, 150\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

\[P(|X-600| \geq\, 150) \leq\, \dfrac{500}{150^2}=\dfrac{500}{22500}=\dfrac{1}{45}.\]

Donc \(P(450 \lt X \lt 750) \geq\, 1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45} \approx 0{,}978\), qui est supérieur à 0,97. La probabilité est bien minorée par 0,97.

Exercice 4 :

Partie A

1. On calcule \(\vec{RS}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{RT}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \(\vec{RT}=\lambda\vec{RS}\) ; la première coordonnée imposerait \(2{,}5=0\times \lambda=0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc R, S et T ne sont pas alignés.

2. a. Dans le repère orthonormé :

\[\vec{n}\cdot\vec{RS}=-10\times 0+4\times 3+3\times (-4)=0+12-12=0\]

\[\vec{n}\cdot\vec{RT}=-10\times 2{,}5+4\times 7+3\times (-1)=-25+28-3=0\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (RST) : c’est un vecteur normal au plan (RST).

b. Une équation de (RST) est de la forme \(-10x+4y+3z+d=0\). Comme R\((1 ; 0 ; 6)\) appartient au plan : \(-10+0+18+d=0\), donc \(d=-8\).

Une équation cartésienne de (RST) est \(-10x+4y+3z-8=0\).

3. a. Avec les coordonnées de A : \(-10\times (-2{,}5)+4\times 8+3\times 4{,}5-8=25+32+13{,}5-8=62{,}5 \neq 0\). Le point A n’appartient pas au plan (RST).

b. La droite \(d_1\) est orthogonale à (RST), elle est donc dirigée par \(\vec{n}\) ; elle passe par A. Une représentation paramétrique de \(d_1\) est :

\[\begin{cases} x=-2{,}5-10t \\ y=8+4t \\ z=4{,}5+3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]

c. H est l’intersection de \(d_1\) et du plan (RST). On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[-10(-2{,}5-10t)+4(8+4t)+3(4{,}5+3t)-8=0 \iff 62{,}5+125t=0 \iff t=-0{,}5.\]

Pour \(t=-0{,}5\) : \(x=-2{,}5+5=2{,}5\), \(y=8-2=6\), \(z=4{,}5-1{,}5=3\). On retrouve bien H\((2{,}5 ; 6 ; 3)\).

4. a. \(\vec{SR}\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{ST}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\), donc \(\vec{SR}\cdot\vec{ST}=0\times 2{,}5+(-3)\times 4+4\times 3=0\).

Les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites (SR) et (ST) sont perpendiculaires en S : le triangle RST est rectangle en S.

b. On calcule les longueurs utiles (en cm) :

\[\text{SR}=\sqrt{0+9+16}=5, \quad \text{ST}=\sqrt{6{,}25+16+9}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}.\]

L’aire de la base RST (triangle rectangle en S) est \(\dfrac{\text{SR}\times \text{ST}}{2}=\dfrac{1}{2}\times 5\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{25\sqrt{5}}{4}\) cm².

La hauteur associée est la distance de A au plan (RST), c’est-à-dire AH, avec \(\vec{HA}\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) : \(\text{AH}=\sqrt{25+4+2{,}25}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\) cm.

\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25\sqrt{5}}{4}\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{125\times 5}{8}=\dfrac{625}{24}.\]

Le volume du tétraèdre ARST vaut bien \(\dfrac{625}{24}\) cm³ (environ 26 cm³).

Partie B

1. Pour un point M de \(d_2\) de paramètre \(s\) : \(\vec{AM}\begin{pmatrix} -4{,}5+s+2{,}5 \\ 4-4s-8 \\ 5{,}5-2s-4{,}5 \end{pmatrix}\), soit \(\vec{AM}\begin{pmatrix} s-2 \\ -4-4s \\ 1-2s \end{pmatrix}\).

\[\text{AM}^2=(s-2)^2+(-4-4s)^2+(1-2s)^2=(s^2-4s+4)+(16s^2+32s+16)+(4s^2-4s+1).\]

En regroupant : \(\text{AM}^2=21s^2+24s+21\).

2. Une distance étant positive, AM est minimale lorsque \(\text{AM}^2\) l’est. Le trinôme \(21s^2+24s+21\) a un coefficient dominant positif : il atteint son minimum en \(s=-\dfrac{24}{2\times 21}=-\dfrac{4}{7}\).

Pour \(s=-\dfrac{4}{7}\) :

\[x=-4{,}5-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{71}{14}, \quad y=4+\dfrac{16}{7}=\dfrac{44}{7}, \quad z=5{,}5+\dfrac{8}{7}=\dfrac{93}{14}.\]

La distance AM est minimale pour M\((-\dfrac{71}{14} ; \dfrac{44}{7} ; \dfrac{93}{14})\). On peut contrôler : \(\text{AM}^2=21\times \dfrac{16}{49}-\dfrac{96}{7}+21=\dfrac{99}{7}\), donc la distance minimale vaut \(\sqrt{\dfrac{99}{7}} \approx 3{,}76\) cm.

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