Bac de maths 2026 aux Antilles-Guyane (jour 2) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Jour 2
Antilles, Guyane — 17 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (6 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s’intéresse à un réseau de communication constitué d’une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs…) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaitre dans le message.

Une étude statistique a permis d’établir que pour chaque relai :

• si le message reçu est sans erreur, il a 94 % de chances d’être transmis sans erreur au relai suivant ;
• si le message reçu comporte des erreurs, il y a 35 % de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.

On choisit au hasard un message envoyé au cours d’une journée.

Pour un évènement \(E\) quelconque, on désigne par \(\overline{E}\) son évènement contraire et par \(P(E)\) sa probabilité.

Partie A

On considère les évènements suivants :

• \(A_1\) : « le message reçu par le premier relai est sans erreur » ;
• \(A_2\) : « le message reçu par le deuxième relai est sans erreur ».

On admet que \(P(A_1)=0{,}96\).

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

2. Montrer que \(P(A_2)=0{,}9164\).

3. Calculer \(P_{A_2}(\overline{A_1})\).

On arrondira le résultat à \(10^{-4}\).

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Pour vérifier le bon fonctionnement d’un relai, des tests indépendants les uns des autres sont effectués.

Un test est positif si la présence d’au moins une erreur est détectée.

On admet que la probabilité qu’un test soit positif est égale à 0,04.

On choisit au hasard un échantillon de 50 tests réalisés sur le relai.

Le nombre de tests réalisés est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

1. On note \(X\) la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 50 tests associe le nombre de tests positifs.

Ainsi la variable aléatoire \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=50\) et \(p=0{,}04\).

a. Déterminer la probabilité que 4 tests soient positifs dans cet échantillon.

On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

b. Donner la probabilité qu’au moins un test soit positif dans cet échantillon.

On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

c. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(X\).

2. On étudie une chaîne de transmission de l’information composée de 25 relais.

On considère la variable aléatoire \(X_1\) qui à chaque échantillon de 50 tests pratiqués sur le relai 1 associe le nombre de tests positifs.

On définit de la même manière les variables aléatoires \(X_2\) pour le relai 2, …, \(X_{25}\) pour le relai 25.

On admet que ces 25 variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu’elles admettent la même espérance égale à 2 et la même variance égale à 1,92.

On note \(M\) la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les 25 relais.

On a donc \(M=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_{25}}{25}\).

a. Vérifier que \(\mathrm{E}(M)=2\) et montrer que \(\mathrm{V}(M)=0{,}0768\).

b. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est supérieure à 0,99.

Indication : on pourra utiliser, sans justification, le fait que :

\[P(M\lt 7)=P(-3\lt M\lt 7).\]

Partie C

On désigne par \(n\) un entier naturel non nul.

On s’intéresse à une chaîne de transmission de l’information composée de \(n\) relais.

On considère l’évènement \(A_n\) : « le message reçu par le \(n\)-ième relai est sans erreur ».

On note \(p_n\) la probabilité que le message reçu au \(n\)-ième relai soit sans erreur.

On a ainsi \(p_n=P(A_n)\) et \(p_1=0{,}96\).

On admet que pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\),

\[p_{n+1}=0{,}59p_n+0{,}35.\]

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq\, 1\), \(p_{n+1}\leq\, p_n\).

2. Montrer que la suite \((p_n)\) est convergente.

3. Déterminer la valeur exacte de sa limite.

Exercice 2 (5 points)

Dans une salle d’escalade, un nouveau module en forme de tétraèdre, destiné à être posé au sol, est en cours de fabrication.

Ce module servira à créer des plans inclinés.

On munit l’espace d’un repère orthonormé \((\text{A}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\).

L’unité est le mètre.

On considère les trois points suivants : \(\text{B}(\dfrac{9}{2}\,;\,0\,;\,0)\), \(\text{C}(\dfrac{9}{4}\,;\,3\,;\,0)\) et \(D(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,3)\).

On modélise le module par le tétraèdre ABCD.

On souhaite analyser ce module pour des raisons de construction et de sécurité.

Partie A

1. On représente ci-contre le triangle ABC et sa hauteur issue de C.

a. Montrer que le triangle ABC est isocèle en C.

b. Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à 6,75 m².

2. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(z=0\).

b. Montrer que le point \(\text{H}(\dfrac{3}{2}\,;\,1\,;\,0)\) est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

3. On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par \(\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur relative à la base \(\mathcal{B}\).

En déduire le volume du module.

Partie B

1. On considère le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\3\\3\end{pmatrix}\).

a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (BCD).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est :

\[4x+3y+3z-18=0.\]

c. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) orthogonale au plan (BCD) et passant par D.

2. On admet que la droite \(\Delta\) et le plan (ABC) sont sécants et on désigne par L leur point d’intersection.

Montrer que L a pour coordonnées \((-\dfrac{5}{2}\,;\,-2\,;\,0)\).

3. Le module est considéré adapté aux débutants si l’angle \(\widehat{\text{LDH}}\) est strictement inférieur à 60°.

Montrer que ce module est adapté aux débutants.

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Justifier chaque réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Le plan est muni d’un repère orthonormé.

a. On considère l’équation différentielle \((E_1) : y^{\prime}+2y=0\), où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

On note \(f\) la solution de l’équation différentielle \((E_1)\) telle que \(f(0)=1\).

Affirmation 1 : La courbe représentative de la fonction \(f\) passe par le point A de coordonnées \((\ln 2\,;\,\dfrac{1}{2})\).

b. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi]\) par :

\[f(x)=x-\cos(x)\]

Affirmation 2 : Sur l’intervalle \([\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi]\), la courbe représentative de la fonction \(f\) est au-dessus de ses tangentes.

c. On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x)=1+\dfrac{\sin(x)}{x}\]

Affirmation 3 : La droite d’équation \(y=1\) est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction \(f\).

2. On considère l’équation différentielle \((E_2) : y^{\prime}-3y=2-6x\), où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

Affirmation 4 : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=2x-\text{e}^{3x}\]

est une solution de l’équation \((E_2)\).

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction \(f_k\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_k(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}\]

où \(k\) est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien.

On désigne par \(\mathcal{C}_k\) la représentation graphique de la fonction \(f_k\) dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction \(f_k\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\).

On note \(f_k^{\prime}\) sa dérivée première et \(f_k^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

Partie A : étude d’un premier cas particulier

Dans cette partie, on se place dans le cas \(k=2\).

La courbe \(\mathcal{C}_2\) est représentée sur le graphique ci-dessous.

On précise que :

• Le point A est un point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_2\) ;
• \(T_2\) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_2\) au point A.

1. On considère une primitive \(F_2\) de la fonction \(f_2\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction \(F_2\) sur l’intervalle \(]0\,;\,3]\).

2. Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente \(f_2^{\prime}\) et celle qui représente \(f_2^{\prime\prime}\).

Justifier.

Partie B : étude d’un second cas particulier

Dans cette partie on se place dans le cas \(k=1\).

On considère la fonction \(f_1\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_1(x)=1-x+\dfrac{1+\ln x}{x}\]

1. a. Montrer que pour tout réel \(x\gt 0\) :

\[f_1^{\prime}(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^2}.\]

b. Déterminer la limite de \(f_1^{\prime}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

2. On admet que :

• l’axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de \(f_1^{\prime}\) ;
• pour tout réel \(x\gt 0\), \(f_1^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2\ln x-1}{x^3}\).

On donne ci-dessous le tableau de variations de \(f_1^{\prime}\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

a. Justifier les variations de la fonction \(f_1^{\prime}\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) et la valeur de l’extremum.

b. Justifier la limite de la fonction \(f_1^{\prime}\) en 0.

c. Montrer qu’il existe une unique solution \(\alpha\) à l’équation \(f_1^{\prime}(x)=0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

En déduire que \(f_1\) admet un maximum sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

d. Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu’il renvoie une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de la solution \(\alpha\) de l’équation \(f_1^{\prime}(x)=0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

def d(x) :
  return -1-ln(x)/x**2

def alpha() :
  u = 0.5
  while d(u) ... 0 :
    u = ...
  return u

On rappelle que x**2 désigne \(x^2\).

Partie C : \(k\) quelconque

On considère la fonction \(h\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(h(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\),

et la fonction \(H\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(H(x)=\dfrac{1}{2}(1+\ln x)^2\).

On admet que \(H\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Montrer que la fonction \(H\) est une primitive de \(h\).

On rappelle que \(k\) est un réel strictement positif et que \(f_k\) est la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_k(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}\]

2. Existe-t-il une valeur de \(k\) pour laquelle la valeur moyenne de la fonction \(f_k\) sur l’intervalle \([1\,;\,\text{e}]\) est égale à 0 ?

Justifier.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Au premier niveau, \(P(A_1)=0{,}96\) et donc \(P(\overline{A_1})=1-0{,}96=0{,}04\). Au second niveau, les données sur un relai se traduisent ainsi : un message sans erreur reste correct avec probabilité 0,94, et un message erroné est corrigé avec probabilité 0,35. Chaque couple de branches issues d’un même nœud a une somme de 1.

2. Les évènements \(A_1\) et \(\overline{A_1}\) forment une partition de l’univers. Par la formule des probabilités totales :

\[P(A_2)=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)+P(\overline{A_1})\times P_{\overline{A_1}}(A_2)=0{,}96\times 0{,}94+0{,}04\times 0{,}35=0{,}9024+0{,}014.\]

On obtient bien \(P(A_2)=0{,}9164\).

3. Par définition d’une probabilité conditionnelle :

\[P_{A_2}(\overline{A_1})=\dfrac{P(\overline{A_1}\cap A_2)}{P(A_2)}=\dfrac{0{,}04\times 0{,}35}{0{,}9164}=\dfrac{0{,}014}{0{,}9164}\approx 0{,}015277.\]

Donc \(P_{A_2}(\overline{A_1})\approx 0{,}0153\). Interprétation : parmi les messages arrivés sans erreur au deuxième relai, environ 1,53 % avaient été reçus avec des erreurs par le premier relai (les erreurs ont été corrigées en route).

Partie B

1. a. Pour une loi binomiale \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)\), \(P(X=k)=\dbinom{50}{k}0{,}04^k\times 0{,}96^{50-k}\). Avec \(k=4\) :

\[P(X=4)=\dbinom{50}{4}\times 0{,}04^4\times 0{,}96^{46}=230\,300\times 0{,}04^4\times 0{,}96^{46}\approx 0{,}0902.\]

La probabilité que 4 tests exactement soient positifs est environ 0,09.

b. L’évènement contraire de « au moins un test positif » est « aucun test positif » :

\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-0{,}96^{50}\approx 1-0{,}1299=0{,}8701.\]

La probabilité qu’au moins un test soit positif est environ 0,87.

c. Pour une loi binomiale, \(\mathrm{E}(X)=np=50\times 0{,}04=2\) et \(\mathrm{V}(X)=np(1-p)=50\times 0{,}04\times 0{,}96=1{,}92\). Donc \(\mathrm{E}(X)=2\) et \(\mathrm{V}(X)=1{,}92\).

2. a. Par linéarité de l’espérance :

\[\mathrm{E}(M)=\dfrac{1}{25}(\mathrm{E}(X_1)+\cdots+\mathrm{E}(X_{25}))=\dfrac{25\times 2}{25}=2.\]

Les variables étant indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances, et \(\mathrm{V}(aY)=a^2\mathrm{V}(Y)\) :

\[\mathrm{V}(M)=\dfrac{1}{25^2}(\mathrm{V}(X_1)+\cdots+\mathrm{V}(X_{25}))=\dfrac{25\times 1{,}92}{625}=\dfrac{1{,}92}{25}=0{,}0768.\]

On a donc \(\mathrm{E}(M)=2\) et \(\mathrm{V}(M)=0{,}0768\).

b. D’après l’indication, \(P(M\lt 7)=P(-3\lt M\lt 7)=P(-5\lt M-2\lt 5)=P(|M-\mathrm{E}(M)|\lt 5)\).

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à \(M\) avec \(\delta=5\) donne :

\[P(|M-2|\geq\, 5)\leq\,\dfrac{\mathrm{V}(M)}{5^2}=\dfrac{0{,}0768}{25}=0{,}003072.\]

Par passage à l’évènement contraire, \(P(M\lt 7)\geq\, 1-0{,}003072=0{,}996928\). Comme \(0{,}996928\gt 0{,}99\), la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est bien supérieure à 0,99.

Partie C

1. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(p_{n+1}\leq\, p_n\) », pour \(n\geq\, 1\).

Initialisation. \(p_2=0{,}59\times 0{,}96+0{,}35=0{,}5664+0{,}35=0{,}9164\) (on retrouve \(P(A_2)\)). Comme \(0{,}9164\leq\, 0{,}96\), \(\mathcal{P}_1\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\geq\, 1\) tel que \(p_{n+1}\leq\, p_n\). En multipliant par \(0{,}59\), qui est positif, l’ordre est conservé : \(0{,}59p_{n+1}\leq\, 0{,}59p_n\). En ajoutant 0,35 : \(0{,}59p_{n+1}+0{,}35\leq\, 0{,}59p_n+0{,}35\), c’est-à-dire \(p_{n+2}\leq\, p_{n+1}\). Donc \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(p_{n+1}\leq\, p_n\).

2. La question précédente montre que la suite \((p_n)\) est décroissante. De plus, chaque \(p_n\) est une probabilité, donc \(p_n\geq\, 0\) : la suite est minorée par 0. Une suite décroissante et minorée converge (théorème de convergence monotone) : \((p_n)\) est convergente.

3. Notons \(\ell\) sa limite. La fonction \(x\mapsto 0{,}59x+0{,}35\) est affine donc continue ; en passant à la limite dans la relation de récurrence, \(\ell=0{,}59\ell+0{,}35\), d’où \(0{,}41\ell=0{,}35\) et \(\ell=\dfrac{35}{41}\approx 0{,}854\). Après un très grand nombre de relais, un message a environ 85 % de chances d’arriver sans erreur.

Exercice 2 :

Partie A

1. a. Le repère est orthonormé, on peut donc calculer des distances. Avec \(\text{A}(0\,;\,0\,;\,0)\) :

\[\text{CA}^2=(\dfrac{9}{4})^2+3^2+0^2=\dfrac{81}{16}+\dfrac{144}{16}=\dfrac{225}{16} \quad\text{et}\quad \text{CB}^2=(\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{4})^2+(0-3)^2+0^2=\dfrac{81}{16}+9=\dfrac{225}{16}.\]

Donc \(\text{CA}=\text{CB}=\dfrac{15}{4}=3{,}75\) m : le triangle ABC est isocèle en C.

b. Dans un triangle isocèle en C, la hauteur issue de C coupe [AB] en son milieu \(\text{I}(\dfrac{9}{4}\,;\,0\,;\,0)\). Alors \(\vec{\text{IC}}\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\), donc \(\text{IC}=3\), et \(\text{AB}=\dfrac{9}{2}=4{,}5\). L’aire vaut :

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}\times \text{IC}}{2}=\dfrac{4{,}5\times 3}{2}=6{,}75.\]

L’aire du triangle ABC est bien 6,75 m².

2. a. Les coordonnées de A, B et C ont toutes une troisième coordonnée nulle, donc elles vérifient \(z=0\). Ces trois points ne sont pas alignés (ABC est un vrai triangle, d’aire non nulle), ils définissent donc un plan, et l’équation \(z=0\) est celle d’un plan : une équation de (ABC) est \(z=0\).

b. H a pour troisième coordonnée 0, donc H appartient au plan (ABC). Ensuite \(\vec{\text{DH}}\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}=-3\vec{k}\). Or \(\vec{k}\), de coordonnées \((0\,;\,0\,;\,1)\), est un vecteur normal au plan d’équation \(z=0\). La droite (DH) est donc orthogonale au plan (ABC) et le coupe en H : H est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

3. En prenant ABC comme base, la hauteur correspondante est \(\text{DH}=3\) m. Le volume du module vaut :

\[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 6{,}75\times 3=6{,}75.\]

Le module a un volume de 6,75 m³.

Partie B

1. a. On calcule \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}-\frac{9}{4}\\3\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BD}}\begin{pmatrix}-3\\1\\3\end{pmatrix}\). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de l’un est nulle mais pas celle de l’autre, alors que leurs premières coordonnées sont non nulles). Ensuite :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{BC}}=4\times (-\dfrac{9}{4})+3\times 3+3\times 0=-9+9=0 \quad\text{et}\quad \vec{n}\cdot\vec{\text{BD}}=4\times (-3)+3\times 1+3\times 3=-12+3+9=0.\]

Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) : c’est un vecteur normal à ce plan.

b. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(4\,;\,3\,;\,3)\) a une équation de la forme \(4x+3y+3z+d=0\). Le point B appartient au plan, donc \(4\times \dfrac{9}{2}+0+0+d=0\), soit \(d=-18\). Une équation de (BCD) est donc \(4x+3y+3z-18=0\).

c. La droite \(\Delta\), orthogonale à (BCD), est dirigée par \(\vec{n}\) et passe par D. Une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l} x=\dfrac{3}{2}+4t \\ y=1+3t \\ z=3+3t \end{array}.,\quad t\in\mathbb{R}.\]

2. Le point L appartient à \(\Delta\) et au plan d’équation \(z=0\). On résout \(3+3t=0\), d’où \(t=-1\). En remplaçant : \(x=\dfrac{3}{2}-4=-\dfrac{5}{2}\) et \(y=1-3=-2\). On obtient bien \(\text{L}(-\dfrac{5}{2}\,;\,-2\,;\,0)\).

3. On utilise le produit scalaire avec les vecteurs \(\vec{\text{DL}}\begin{pmatrix}-4\\-3\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{DH}}\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}\) :

\[\vec{\text{DL}}\cdot\vec{\text{DH}}=0+0+(-3)\times (-3)=9,\quad \text{DL}=\sqrt{16+9+9}=\sqrt{34},\quad \text{DH}=3.\]

Comme \(\vec{\text{DL}}\cdot\vec{\text{DH}}=\text{DL}\times \text{DH}\times \cos\widehat{\text{LDH}}\) :

\[\cos\widehat{\text{LDH}}=\dfrac{9}{3\sqrt{34}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}\approx 0{,}514.\]

On compare à \(\cos 60°=\dfrac{1}{2}\) : \(\dfrac{3}{\sqrt{34}}\gt\dfrac{1}{2}\iff 6\gt\sqrt{34}\iff 36\gt 34\), ce qui est vrai. La fonction cosinus étant strictement décroissante sur \([0°\,;\,180°]\), on en déduit \(\widehat{\text{LDH}}\lt 60°\) (précisément \(\widehat{\text{LDH}}\approx 59{,}04°\)). Le module est donc adapté aux débutants.

Exercice 3 :

Affirmation 1 : fausse.

L’équation \(y^{\prime}+2y=0\) s’écrit \(y^{\prime}=-2y\) ; ses solutions sont les fonctions \(x\mapsto K\text{e}^{-2x}\), \(K\in\mathbb{R}\). La condition \(f(0)=1\) impose \(K=1\), donc \(f(x)=\text{e}^{-2x}\). Alors \(f(\ln 2)=\text{e}^{-2\ln 2}=(\text{e}^{\ln 2})^{-2}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\). Comme \(\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{1}{2}\), la courbe ne passe pas par le point A.

Affirmation 2 : fausse.

La fonction \(f\) est deux fois dérivable avec \(f^{\prime}(x)=1+\sin(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)=\cos(x)\). Sur \([\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi]\), \(\cos(x)\leq\, 0\), et même \(\cos(x)\lt 0\) sur \(]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi]\). La fonction \(f\) est donc concave sur cet intervalle : sa courbe est en dessous de ses tangentes, et non au-dessus. Par exemple, la tangente au point d’abscisse \(\pi\) a pour équation \(y=x+1\) et \(f(\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\pi}{2}\lt\dfrac{\pi}{2}+1\).

Affirmation 3 : vraie.

Pour tout \(x\gt 0\), \(-1\leq\,\sin(x)\leq\, 1\), donc en divisant par \(x\gt 0\) : \(-\dfrac{1}{x}\leq\,\dfrac{\sin(x)}{x}\leq\,\dfrac{1}{x}\). Comme \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}(-\dfrac{1}{x})=0\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin(x)}{x}=0\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\). La droite d’équation \(y=1\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).

Affirmation 4 : vraie.

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{\prime}(x)=2-3\text{e}^{3x}\). On calcule :

\[f^{\prime}(x)-3f(x)=2-3\text{e}^{3x}-3(2x-\text{e}^{3x})=2-3\text{e}^{3x}-6x+3\text{e}^{3x}=2-6x.\]

L’égalité est vérifiée pour tout réel \(x\) : \(f\) est bien solution de \((E_2)\).

Exercice 4 :

Partie A

1. Comme \(F_2\) est une primitive de \(f_2\), on a \(F_2^{\prime}=f_2\) : les variations de \(F_2\) se lisent sur le signe de \(f_2\), c’est-à-dire sur la position de \(\mathcal{C}_2\) par rapport à l’axe des abscisses. D’après le graphique, \(f_2\) s’annule vers \(x\approx 0{,}3\) et \(x\approx 2{,}5\) ; elle est négative sur \(]0\,;\,0{,}3]\), positive sur \([0{,}3\,;\,2{,}5]\) et négative sur \([2{,}5\,;\,3]\). Donc \(F_2\) est décroissante sur \(]0\,;\,0{,}3]\), croissante sur \([0{,}3\,;\,2{,}5]\) et décroissante sur \([2{,}5\,;\,3]\) (valeurs lues à la précision du graphique ; par le calcul, les zéros de \(f_2\) valent environ 0,33 et 2,53).

2. Courbe de \(f_2^{\prime}\). La fonction \(f_2\) est croissante puis décroissante, avec un maximum vers \(x\approx 0{,}75\). Sa dérivée doit donc être positive, puis négative, en s’annulant vers 0,75. De plus, \(f_2^{\prime}\) admet un minimum au point d’inflexion A (d’abscisse proche de 1,6), puisque c’est là que \(f_2^{\prime\prime}\) change de signe. La courbe 1 correspond : la courbe 1 représente \(f_2^{\prime}\). La courbe 3, négative près de 0,5, ne convient pas.

Courbe de \(f_2^{\prime\prime}\). A est un point d’inflexion : \(f_2^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe en son abscisse, environ 1,6. Avant A, la courbe \(\mathcal{C}_2\) est au-dessous de sa tangente (\(f_2\) concave, \(f_2^{\prime\prime}\leq\, 0\)), après elle est au-dessus (\(f_2\) convexe, \(f_2^{\prime\prime}\geq\, 0\)). La courbe 2 est négative puis positive et s’annule vers 1,6, alors que la courbe 3 s’annule vers 2,5. Donc la courbe 2 représente \(f_2^{\prime\prime}\).

Partie B

1. a. On écrit \(f_1(x)=1-x+\dfrac{u(x)}{v(x)}\) avec \(u(x)=1+\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\). Alors :

\[f_1^{\prime}(x)=-1+\dfrac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)\times 1}{x^2}=-1+\dfrac{1-1-\ln x}{x^2}=-1-\dfrac{\ln x}{x^2}.\]

b. On écrit \(\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{1}{x}\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\) ; par produit, \(\dfrac{\ln x}{x^2}\) tend vers 0. Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_1^{\prime}(x)=-1\).

2. a. Pour \(x\gt 0\), \(x^3\gt 0\), donc \(f_1^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(2\ln x-1\). Or \(2\ln x-1\gt 0\iff\ln x\gt\dfrac{1}{2}\iff x\gt\text{e}^{\frac{1}{2}}\), par stricte croissance de l’exponentielle. Ainsi \(f_1^{\prime\prime}\lt 0\) sur \(]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}[\) et \(f_1^{\prime\prime}\gt 0\) sur \(]\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[\) : \(f_1^{\prime}\) est décroissante sur \(]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}]\) puis croissante sur \([\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[\). Elle atteint donc un minimum en \(\text{e}^{\frac{1}{2}}\), qui vaut :

\[f_1^{\prime}(\text{e}^{\frac{1}{2}})=-1-\dfrac{\frac{1}{2}}{(\text{e}^{\frac{1}{2}})^2}=-1-\dfrac{1}{2\text{e}}\approx -1{,}18.\]

b. Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives, \(\ln x\) tend vers \(-\infty\), donc \(-\ln x\) tend vers \(+\infty\), et \(\dfrac{1}{x^2}\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(-\dfrac{\ln x}{x^2}\) tend vers \(+\infty\), puis par somme \(\lim\limits_{x\to 0^+}f_1^{\prime}(x)=+\infty\).

c. Sur \([\text{e}^{\frac{1}{2}}\,;\,+\infty[\) : \(f_1^{\prime}\) est strictement croissante et tend vers \(-1\), donc \(f_1^{\prime}(x)\lt -1\lt 0\) ; l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle.

Sur \(]0\,;\,\text{e}^{\frac{1}{2}}]\) : \(f_1^{\prime}\) est continue (elle est dérivable) et strictement décroissante, de \(+\infty\) à \(-1-\dfrac{1}{2\text{e}}\lt 0\). La valeur 0 est comprise entre ces deux bornes : d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f_1^{\prime}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

Finalement, l’équation \(f_1^{\prime}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) (on trouve \(\alpha\approx 0{,}65\)). De plus \(f_1^{\prime}\gt 0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\) et \(f_1^{\prime}\lt 0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\) : \(f_1\) est croissante puis décroissante, donc \(f_1\) admet un maximum en \(\alpha\).

d. On part de \(u=0{,}5\), où \(f_1^{\prime}(0{,}5)\approx 1{,}77\gt 0\), c’est-à-dire à gauche de \(\alpha\). On avance par pas de 0,01 tant que \(d(u)\) est strictement positif ; la boucle s’arrête au premier \(u\) tel que \(d(u)\leq\, 0\), donc au premier pas qui dépasse \(\alpha\). Le programme complété est :

def d(x) :
  return -1-ln(x)/x**2

def alpha() :
  u = 0.5
  while d(u) > 0 :
    u = u + 0.01
  return u

Il renvoie 0,66, valeur approchée de \(\alpha\) par excès à \(10^{-2}\) près (\(\alpha\approx 0{,}653\)). Pour l’exécuter réellement, il faut importer la fonction logarithme, par exemple avec from math import log as ln.

Partie C

1. \(H\) est de la forme \(\dfrac{1}{2}w^2\) avec \(w(x)=1+\ln x\) et \(w^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). Sa dérivée est \(\dfrac{1}{2}\times 2w^{\prime}w=w^{\prime}w\), donc pour tout \(x\gt 0\) :

\[H^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\times (1+\ln x)=\dfrac{1+\ln x}{x}=h(x).\]

\(H\) est bien une primitive de \(h\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

2. La valeur moyenne de \(f_k\) sur \([1\,;\,\text{e}]\) est \(\mu_k=\dfrac{1}{\text{e}-1}\displaystyle\int_1^{\text{e}}f_k(x)\,\text{d}x\). Comme \(f_k(x)=1-x+k\,h(x)\), une primitive de \(f_k\) est \(x\mapsto x-\dfrac{x^2}{2}+k\,H(x)\). Avec \(H(\text{e})=\dfrac{1}{2}(1+1)^2=2\) et \(H(1)=\dfrac{1}{2}\) :

\[\int_1^{\text{e}}f_k(x)\,\text{d}x=(\text{e}-\dfrac{\text{e}^2}{2}+2k)-(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{k}{2})=\text{e}-\dfrac{\text{e}^2}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3k}{2}.\]

Comme \(\text{e}-1\neq 0\), la valeur moyenne est nulle si et seulement si cette intégrale est nulle :

\[\dfrac{3k}{2}=\dfrac{\text{e}^2-2\text{e}+1}{2}\iff k=\dfrac{(\text{e}-1)^2}{3}.\]

Cette valeur est strictement positive (environ 0,98), donc admissible. Oui : il existe une unique valeur, \(k=\dfrac{(\text{e}-1)^2}{3}\approx 0{,}98\), pour laquelle la valeur moyenne de \(f_k\) sur \([1\,;\,\text{e}]\) est nulle.

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