Fonctions génératrices : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Dans toute la fiche, \(p \in ]0, 1[\) et \(q = 1 – p\). La loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) est la loi sur \(\mathbb{N}^*\) définie par \(P(X = k) = q^{k-1} p\). Toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

Exercice 1 : Fonctions génératrices de lois classiques

Pour chacune des variables suivantes, calculez la fonction génératrice et donnez le rayon de convergence de la série entière correspondante.

1. \(X\) suit la loi uniforme sur \([\![1, n]\!]\), avec \(n \in \mathbb{N}^*\).
2. \(Y = X^{\prime} – 1\), où \(X^{\prime} \sim \mathcal{G}(p)\) : \(Y\) compte les échecs avant le premier succès.
3. \(Z\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}\) avec \(P(Z = k) = (k + 1)\, p^2 q^k\). Vérifiez d’abord que l’on définit bien ainsi une loi de probabilité.

Exercice 2 : Lire une loi sur sa fonction génératrice

Dans chaque cas, déterminez la loi de la variable \(X\), à valeurs dans \(\mathbb{N}\), dont la fonction génératrice est donnée.

1. \(G_X(t) = \dfrac{(1 + t)^2 (2 + t)}{12}\).
2. \(G_X(t) = t\, e^{2(t-1)}\). Reconnaissez la loi de \(X – 1\).
3. \(G_X(t) = \dfrac{1}{2 – t}\) pour \(|t| < 2\). Reconnaissez la loi de \(X + 1\).
4. Expliquez pourquoi \(t \mapsto \dfrac{1 + t}{3}\) et \(t \mapsto \dfrac{3t – t^2}{2}\) ne sont pas des fonctions génératrices.

Exercice 3 : Espérance et variance par dérivation en 1

À l’aide de la fonction génératrice, calculez l’espérance et la variance des variables suivantes.

1. \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\).
2. \(Y\), de fonction génératrice \(G_Y(t) = \dfrac{p}{1 – qt}\) (exercice 1).
3. \(Z\), de fonction génératrice \(G_Z(t) = \dfrac{p^2}{(1 – qt)^2}\) (exercice 1).
4. Comparez \(E(Z)\) et \(V(Z)\) avec \(E(Y)\) et \(V(Y)\). Proposez une explication.

Exercice 4 : Transformations d’une variable

1. Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et \(a, b \in \mathbb{N}\). Exprimez \(G_{aX + b}\) à l’aide de \(G_X\).
2. Soit \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\). Calculez \(G_{2X+1}\), puis montrez que \(n – X\) suit une loi binomiale que l’on précisera.
3. Soit \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\). Calculez \(E(2^X)\).
4. Toujours avec \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\), montrez que \(E(\dfrac{1}{X + 1}) = \displaystyle\int_0^1 G_X(t)\, dt\), puis calculez cette espérance.

Exercice 5 : Rayon égal à 1 et espérance infinie

Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(X = n) = \dfrac{1}{n(n+1)}\) pour tout \(n \geq\, 1\).

1. Vérifiez que l’on définit bien une loi de probabilité.
2. Déterminez le rayon de convergence de la série entière \(\sum P(X = n)\, t^n\).
3. Montrez que, pour \(t \in ]-1, 1[\) non nul, \(G_X(t) = 1 + \dfrac{(1 – t)\ln(1 – t)}{t}\).
4. Étudiez la dérivabilité de \(G_X\) en 1. Que peut-on en déduire sur \(E(X)\) ? Vérifiez directement ce résultat.
5. À titre de comparaison, donnez le rayon de convergence pour la loi \(\mathcal{G}(p)\) et pour la loi \(\mathcal{P}(\lambda)\).

Exercice 6 : Variance de la loi uniforme

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(X\) de loi uniforme sur \([\![0, n]\!]\).

1. Montrez que \(G_X(t) = \dfrac{1 – t^{n+1}}{(n+1)(1 – t)}\) pour \(t \neq 1\).
2. Calculez \(G_X^{\prime}(1)\) et \(G_X^{\prime\prime}(1)\) en partant de l’écriture polynomiale de \(G_X\).
3. Déduisez-en \(E(X)\) et \(V(X)\).

Exercice 7 : Sommes de binomiales et de variables de Poisson

1. Soit \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(m, p)\) indépendantes. Déterminez la loi de \(X + Y\).
2. Soit \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(m, p^{\prime})\) indépendantes, avec \(n, m \geq\, 1\) et \(p \neq p^{\prime}\). Montrez que \(X + Y\) ne suit pas une loi binomiale.
3. Soit \(X_1, \ldots, X_n\) mutuellement indépendantes, avec \(X_i \sim \mathcal{P}(\lambda_i)\). Déterminez la loi de \(S = X_1 + \cdots + X_n\).
4. Un standard reçoit en une heure un nombre d’appels de loi \(\mathcal{P}(2)\) sur sa première ligne et \(\mathcal{P}(3)\) sur sa seconde, indépendamment. Calculez la probabilité qu’il reçoive au plus deux appels en une heure.

Exercice 8 : Somme de trois dés

On lance trois dés équilibrés indépendants et on note \(S\) la somme des trois faces.

1. Montrez que \(G_S(t) = \dfrac{t^3 (1 – t^6)^3}{216\, (1 – t)^3}\) pour \(t \neq 1\).
2. On admet que \((1 – t)^{-3} = \displaystyle\sum_{k \geq\, 0} \binom\,{k + 2}{2} t^k\) pour \(|t| < 1\). Calculez \(P(S = 10)\) et \(P(S = 11)\).
3. Montrez que \(G_S(t) = t^{21} G_S(1/t)\) pour \(t \neq 0\). Qu’en déduit-on sur la loi de \(S\) ?
4. Calculez \(E(S)\) et \(V(S)\) à l’aide des dérivées de \(G_S\) en 1.

Exercice 9 : Rang du r-ième succès

Soit \(r \in \mathbb{N}^*\) et \(X_1, \ldots, X_r\) mutuellement indépendantes de loi \(\mathcal{G}(p)\). On pose \(T_r = X_1 + \cdots + X_r\) : dans une suite d’épreuves de Bernoulli, c’est le rang du \(r\)-ième succès.

1. Calculez \(G_{T_r}(t)\) pour \(|t| < 1/q\).
2. On admet que \((1 – u)^{-r} = \displaystyle\sum_{k \geq\, 0} \binom\,{k + r – 1}{r – 1} u^k\) pour \(|u| < 1\). Montrez que \(P(T_r = n) = \dbinom{n-1}{r-1} p^r q^{n-r}\) pour \(n \geq\, r\).
3. Calculez \(E(T_r)\) et \(V(T_r)\) à l’aide de la dérivée logarithmique \(G_{T_r}^{\prime}/G_{T_r}\).
4. On lance une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité que le deuxième pile apparaisse au cinquième lancer ?

Exercice 10 : Décomposition en éléments simples

Soit \(c\) un réel et \(G(t) = \dfrac{c}{(2 – t)(3 – t)}\). On suppose que \(G\) est la fonction génératrice d’une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\).

1. Déterminez \(c\).
2. Décomposez \(G\) en éléments simples, puis déterminez la loi de \(X\). Vérifiez que les probabilités obtenues sont positives.
3. Montrez que \(X\) a même loi que \(U + V\), où \(U\) et \(V\) sont indépendantes, \(U + 1 \sim \mathcal{G}(1/2)\) et \(V + 1 \sim \mathcal{G}(2/3)\).
4. Calculez \(E(X)\) et \(V(X)\) de deux façons.

Exercice 11 : Probabilité d’une valeur paire

Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\).

1. Montrez que \(P(X \text{ pair}) = \dfrac{1 + G_X(-1)}{2}\).
2. Calculez \(P(X \text{ pair})\) lorsque \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\), puis lorsque \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\). Dans quel cas cette probabilité vaut-elle exactement \(1/2\) ?
3. Calculez \(P(X \text{ pair})\) lorsque \(X \sim \mathcal{G}(p)\), et vérifiez le résultat par un calcul direct.

Exercice 12 : Moments factoriels de la loi de Poisson

Soit \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\).

1. Justifiez que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), \(E\big(X(X-1)\cdots(X-k+1)\big) = G_X^{(k)}(1)\), puis calculez cette quantité.
2. Écrivez \(X^3\) comme combinaison de \(X(X-1)(X-2)\), \(X(X-1)\) et \(X\). Déduisez-en \(E(X^3)\).
3. Calculez \(E\big((X – \lambda)^3\big)\).

Exercice 13 : Loi conditionnelle sachant la somme

Soit \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) indépendantes, et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Déterminez la loi de \(S = X + Y\) à l’aide des fonctions génératrices.
2. Montrez que, pour \(k \in [\![0, n]\!]\), \(P(X = k \mid S = n) = \dbinom{n}{k} (\dfrac{\lambda}{\lambda + \mu})^k (\dfrac{\mu}{\lambda + \mu})^{n-k}\).
3. Un site reçoit des visites françaises selon \(\mathcal{P}(3)\) et étrangères selon \(\mathcal{P}(1)\) par minute, indépendamment. Sachant qu’il y a eu 4 visites en une minute, quelle est la probabilité qu’elles soient toutes françaises ?

Exercice 14 : Payer avec des pièces de 1 et de 2

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(a_n\) le nombre de couples \((x, y) \in \mathbb{N}^2\) tels que \(x + 2y = n\) : c’est le nombre de façons de payer \(n\) euros avec des pièces de 1 et de 2 euros.

1. Montrez que, pour \(|t| < 1\), \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} a_n t^n = \frac{1}{(1 – t)(1 – t^2)}\).
2. Décomposez cette fraction en éléments simples. Déduisez-en que \(a_n = \dfrac{2n + 3 + (-1)^n}{4}\).
3. Retrouvez ce résultat par un dénombrement direct, puis calculez \(a_{100}\).

Exercice 15 : Dérivabilité en 1 et formule de la queue

Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), de fonction génératrice \(G\).

1. Montrez que, pour \(t \in [0, 1[\), \(\dfrac{1 – G(t)}{1 – t} = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} P(X > k)\, t^k\).
2. Déduisez-en, sans utiliser le théorème du cours, que \(X\) est d’espérance finie si, et seulement si, \(G\) est dérivable à gauche en 1, et qu’alors \(G^{\prime}(1) = E(X)\).
3. On suppose désormais que \(P(X > k) = \dfrac{1}{(k+1)^2}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Déterminez la loi de \(X\), puis \(E(X)\).
4. Montrez que, dans ce cas, \(X\) n’admet pas de moment d’ordre 2. Que peut-on dire de \(G\) en 1 ?

Exercice 16 : Collectionneur de trois vignettes

Un paquet contient une vignette parmi trois modèles, chacun avec probabilité \(1/3\), indépendamment des autres paquets. Soit \(T\) le nombre de paquets achetés pour obtenir les trois modèles. On admet que \(T = 1 + T_2 + T_3\), où \(T_2 \sim \mathcal{G}(2/3)\) et \(T_3 \sim \mathcal{G}(1/3)\) sont indépendantes : \(T_2\) est le nombre d’achats pour obtenir un deuxième modèle, puis \(T_3\) pour le troisième.

1. Calculez \(G_T(t)\).
2. Calculez \(E(T)\) et \(V(T)\).
3. Montrez que \(P(T = n) = \dfrac{2\,(2^{n-2} – 1)}{3^{n-1}}\) pour tout \(n \geq\, 3\). Vérifiez \(P(T = 3)\) par un dénombrement direct.

Exercice 17 : Somme d’un nombre aléatoire de variables

Soit \(N \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \((X_i)_{i \geq\, 1}\) une suite de variables à valeurs dans \(\mathbb{N}\), de même loi, telles que \(N, X_1, X_2, \ldots\) soient mutuellement indépendantes. On pose \(S = \sum_{i=1}^{N} X_i\), avec \(S = 0\) si \(N = 0\).

1. Montrez que, pour \(t \in [-1, 1]\), \(G_S(t) = G_N\big(G_{X_1}(t)\big)\).
2. On suppose \(X_i \sim \mathcal{B}(p)\). Déterminez la loi de \(S\).
3. Une tortue pond un nombre d’œufs de loi \(\mathcal{P}(10)\). Chaque œuf éclot avec probabilité \(0{,}3\), indépendamment. Quelle est la probabilité qu’aucun œuf n’éclose ?
4. On suppose maintenant \(X_i \sim \mathcal{G}(p)\). Justifiez que \(S\) est d’espérance finie et calculez \(E(S)\).

Exercice 18 : Des dés pipés à somme uniforme ?

On se demande s’il est possible de piper deux dés à six faces, indépendamment, de sorte que la somme \(S\) suive la loi uniforme sur \([\![2, 12]\!]\). On note \(X_1\) et \(X_2\) les résultats des deux dés, à valeurs dans \([\![1, 6]\!]\).

1. Montrez que \(G_{X_i}(t) = t\, P_i(t)\), où \(P_i\) est un polynôme réel de degré au plus 5.
2. On suppose \(S\) uniforme sur \([\![2, 12]\!]\). Montrez que \(P_1(t) P_2(t) = \dfrac{1}{11}(1 + t + \cdots + t^{10})\) pour tout réel \(t\).
3. Déduisez-en que \(P_1\) et \(P_2\) sont de degré exactement 5.
4. Montrez que le polynôme \(1 + t + \cdots + t^{10}\) n’a aucune racine réelle, puis concluez.

Exercice 19 : Attendre deux piles consécutifs

On lance indéfiniment une pièce qui donne pile avec probabilité \(p\), les lancers étant indépendants. Soit \(T\) le rang du lancer où l’on obtient, pour la première fois, deux piles consécutifs. On pose \(p_n = P(T = n)\) pour \(n \geq\, 1\). Le schéma ci-dessous résume l’évolution de l’expérience.

1. Calculez \(p_1\), \(p_2\) et \(p_3\).
2. Montrez que, pour \(n \geq\, 3\), \(p_n = q\, p_{n-1} + pq\, p_{n-2}\).
3. On pose \(G(t) = \sum_{n \geq\, 1} p_n t^n\) pour \(t \in [-1, 1]\). Montrez que \(G(t) = \dfrac{p^2 t^2}{1 – qt – pq t^2}\).
4. Déduisez-en que \(T\) est fini presque sûrement, puis que \(E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}\).
5. On prend \(p = 1/2\). Exprimez \(P(T = n)\) à l’aide de la suite de Fibonacci \(F_1 = F_2 = 1\), \(F_{k+2} = F_{k+1} + F_k\).

Exercice 20 : Problème, extinction d’une population

Une population part d’un individu. Chaque individu a, indépendamment des autres, un nombre d’enfants \(\xi\) de loi \(P(\xi = 0) = \frac{1}{4}\) et \(P(\xi = 2) = \frac{3}{4}\), puis disparaît. On note \(Z_n\) l’effectif de la génération \(n\), avec \(Z_0 = 1\). Ainsi, \(Z_{n+1} = \sum_{i=1}^{Z_n} \xi_{n,i}\), où les \(\xi_{n,i}\) ont la loi de \(\xi\). On admet que \(Z_n, \xi_{n,1}, \xi_{n,2}, \ldots\) sont mutuellement indépendantes. La figure montre une réalisation possible. On note \(G = G_\xi\).

1. Calculez \(G\) et \(m = E(\xi)\).
2. Montrez que \(G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G\) sur \([-1, 1]\). Déduisez-en que \(G_{Z_n} = G \circ \cdots \circ G\) (\(n\) fois).
3. Montrez que \(E(Z_n) = m^n\).
4. On pose \(u_n = P(Z_n = 0)\). Montrez que \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = G(u_n)\).
5. Montrez que \((u_n)\) est croissante, majorée par \(1/3\), et déterminez sa limite.
6. Déduisez-en la probabilité que la population s’éteigne.
7. Reprenez la question précédente lorsque \(P(\xi = 0) = \frac{3}{4}\) et \(P(\xi = 2) = \frac{1}{4}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : fonctions génératrices, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Espérance, variance et loi faible des grands nombres, Séries entières
• Chapitre précédent : Espérance, variance et loi faible des grands nombres
• Chapitre suivant : Adjoint et isométries d'un espace euclidien
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup