Fonctions vectorielles : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Dérivabilité par coordonnées

On considère les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^2\) définies par \(g(t) = (t, |t|)\), \(k(t) = (t, t|t|)\) et \(h(t) = (t^2, t^3)\). Leurs trajectoires sont tracées ci-dessous.

1. Rappeler pourquoi une fonction à valeurs dans \(\mathbb{R}^2\) est dérivable en un point si et seulement si ses deux coordonnées le sont.
2. Calculer les dérivées à droite et à gauche de \(g\) en \(0\). La fonction \(g\) est-elle dérivable en \(0\) ?
3. Montrer que \(k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(k^{\prime}\). La fonction \(k\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^1\) ? de classe \(\mathcal{C}^2\) ?
4. Montrer que \(h\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et calculer \(h^{\prime}(0)\). Expliquer pourquoi la trajectoire de \(h\) présente pourtant une pointe à l’origine.

Exercice 2 : Arche de cycloïde

Soit \(f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2\) définie par \(f(t) = (t – \sin t, 1 – \cos t)\). On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne.

1. Calculer \(f^{\prime}(t)\) et déterminer les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(f^{\prime}(t) = 0\).
2. Montrer que \(\|f^{\prime}(t)\| = 2\sin(t/2)\) pour \(t \in [0, 2\pi]\).
3. Déterminer la limite de \(\dfrac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\) quand \(t \to 0^{+}\). Interpréter.
4. Calculer \(\ell = \int_0^{2\pi} \|f^{\prime}(t)\|\,dt\), longueur de l’arche. Comparer avec \(\|f(2\pi) – f(0)\|\).

Exercice 3 : Trace, transposée et sous-espaces

Soit \(M : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable sur un intervalle \(I\).

1. Montrer que \(t \mapsto \operatorname{tr} M(t)\) et \(t \mapsto M(t)^{T}\) sont dérivables et calculer leurs dérivées.
2. Soit \(P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) fixée. Justifier que \(t \mapsto P M(t)\) est dérivable, de dérivée \(P M^{\prime}(t)\).
3. On prend \(n = 2\), \(M(t) = \begin{pmatrix} e^t t \\ t^2 \cos t \end{pmatrix}\) et \(P = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\). Calculer \((\operatorname{tr} M)^{\prime}(t)\), puis vérifier la question 2 par un calcul direct.
4. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel d’un espace \(E\) de dimension finie et \(f : I \to E\) dérivable telle que \(f(t) \in F\) pour tout \(t\). Montrer que \(f^{\prime}(t) \in F\) pour tout \(t\). En déduire que si \(M(t)\) est symétrique pour tout \(t\), alors \(M^{\prime}(t)\) est symétrique.

Exercice 4 : Fonctions de norme constante

Soit \(E\) un espace euclidien et \(f : I \to E\) dérivable sur un intervalle \(I\).

1. Montrer que \(t \mapsto \|f(t)\|^2\) est dérivable, de dérivée \(2\langle f(t), f^{\prime}(t) \rangle\).
2. En déduire que \(\|f\|\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(f(t)\) et \(f^{\prime}(t)\) sont orthogonaux pour tout \(t\).
3. Soit \(f(t) = (\cos^2 t, \sin t \cos t, \sin t)\) dans \(\mathbb{R}^3\). Vérifier que \(\langle f(t), f^{\prime}(t) \rangle = 0\) et en déduire que la trajectoire est tracée sur une sphère dont on donnera le rayon.
4. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) antisymétrique et \(X : I \to \mathbb{R}^n\) dérivable telle que \(X^{\prime} = AX\). Montrer que \(\|X\|\) est constante.

Exercice 5 : Dérivée de la norme euclidienne

Soit \(E\) un espace euclidien et \(f : I \to E\) dérivable.

1. On suppose que \(f\) ne s’annule pas sur \(I\). Montrer que \(\varphi = \|f\|\) est dérivable et que \(\varphi^{\prime} = \dfrac{\langle f, f^{\prime} \rangle}{\|f\|}\).
2. En déduire que \(|\varphi^{\prime}(t)| \leq\, \|f^{\prime}(t)\|\) et préciser le cas d’égalité.
3. Application : \(f(t) = (t, t^2)\) sur \(]0, +\infty[\). Calculer \(\varphi^{\prime}(t)\) par la formule, puis directement.
4. On suppose que \(f(t_0) = 0\) et \(f^{\prime}(t_0) \neq 0\), avec \(t_0\) intérieur à \(I\). Montrer que \(\|f\|\) admet en \(t_0\) une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais n’est pas dérivable en \(t_0\).

Exercice 6 : Dérivée d’un déterminant

Pour \(n \geq\, 1\) et \(t \in \mathbb{R}\), on note \(D_n(t)\) le déterminant de la matrice de taille \(n\) dont les coefficients diagonaux valent \(t\) et les autres valent \(1\).

1. Calculer \(D_1\) et \(D_2\).
2. En dérivant par rapport aux colonnes, montrer que \(D_n^{\prime}(t) = n\,D_{n-1}(t)\) pour \(n \geq\, 2\).
3. Calculer \(D_n(1)\) pour \(n \geq\, 2\).
4. Montrer par récurrence que \(D_n(t) = (t – 1)^{n-1}(t + n – 1)\). Vérifier le résultat pour \(n = 3\) par la règle de Sarrus.

Exercice 7 : Produit mixte d’une courbe de l’espace

Soit \(f : I \to \mathbb{R}^3\) de classe \(\mathcal{C}^3\). On pose \(\varphi(t) = \det\big(f(t), f^{\prime}(t), f^{\prime\prime}(t)\big)\), déterminant dans la base canonique.

1. Montrer que \(\varphi^{\prime}(t) = \det\big(f(t), f^{\prime}(t), f^{\prime\prime\prime}(t)\big)\).
2. Calculer \(\varphi\) pour l’hélice \(f(t) = (\cos t, \sin t, t)\) et vérifier la formule de la question 1.
3. On suppose qu’il existe des fonctions continues \(a, b, c\) telles que \(f^{\prime\prime\prime} = a f + b f^{\prime} + c f^{\prime\prime}\). Montrer que \(\varphi^{\prime} = c\,\varphi\) et exprimer \(\varphi\) à l’aide de \(\varphi(t_0)\).
4. Application : \(f(t) = (1, e^t, e^{-t})\). Vérifier que \(f^{\prime\prime\prime} = f^{\prime}\), puis calculer \(\varphi\) de deux façons.

Exercice 8 : Wronskien d’une équation différentielle

Soit \(a, b\) continues sur un intervalle \(I\), et \(y_1, y_2\) deux solutions de \(y^{\prime\prime} + a(t)y^{\prime} + b(t)y = 0\). On pose \(W(t) = \begin{vmatrix} y_1(t) y_2(t) \\ y_1^{\prime}(t) y_2^{\prime}(t) \end{vmatrix}\).

1. Calculer \(W^{\prime}\) par la règle de dérivation d’un déterminant et montrer que \(W^{\prime} = -a\,W\).
2. En déduire, pour \(t_0 \in I\), que \(W(t) = W(t_0)\exp(-\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds)\). Que peut-on dire si \(W\) s’annule en un point ?
3. Sur \(]0, +\infty[\), on considère \(y^{\prime\prime} + \frac{1}{t}y^{\prime} – \frac{1}{t^2}y = 0\). Vérifier que \(y_1(t) = t\) et \(y_2(t) = 1/t\) sont solutions, calculer leur wronskien et comparer avec la question 2.

Exercice 9 : Produit matriciel et inverse d’une matrice

Soit \(A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable.

1. Montrer que \((A^2)^{\prime} = A^{\prime}A + AA^{\prime}\). Avec \(A(t) = \begin{pmatrix} 0 t \\ 1 0 \end{pmatrix}\), comparer \((A^2)^{\prime}\) et \(2AA^{\prime}\).
2. On suppose \(A(t)\) inversible pour tout \(t\). Justifier que \(t \mapsto A(t)^{-1}\) est dérivable et établir \((A^{-1})^{\prime} = -A^{-1}A^{\prime}A^{-1}\).
3. Application : \(A(t) = \begin{pmatrix} 1 t \\ t 1 \end{pmatrix}\) sur \(I = ]-1, 1[\). Calculer \(A(t)^{-1}\), puis \((A^{-1})^{\prime}(t)\) de deux façons.

Exercice 10 : Matrices de rotation

Pour \(t \in \mathbb{R}\), on pose \(R(t) = \begin{pmatrix} \cos t -\sin t \\ \sin t \cos t \end{pmatrix}\) et \(J = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(R^{\prime}(t) = R(t)J = JR(t)\).
2. Soit \(s \in \mathbb{R}\) fixé et \(\Phi(t) = R(s + t)R(-t)\). Montrer que \(\Phi\) est constante. En déduire \(R(s + t) = R(s)R(t)\), sachant que \(R(t)R(-t) = I_2\).
3. Soit \(M : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable, à valeurs orthogonales. Montrer que \(M(t)^{T}M^{\prime}(t)\) est antisymétrique pour tout \(t\). Vérifier ce résultat pour \(M = R\).
4. Interpréter géométriquement les vecteurs \(R^{\prime}(t)e_1\) et \(R^{\prime}(t)e_2\), où \((e_1, e_2)\) est la base canonique.

Exercice 11 : Changement de paramètre

Soit \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) et \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(\varphi(s) = s^2\).

1. Calculer \((f \circ \varphi)^{\prime}(s)\) par la formule de dérivation d’une composée, puis directement.
2. Calculer \(\|(f \circ \varphi)^{\prime}(s)\|\). En quel point la vitesse s’annule-t-elle ?
3. Soit \(\theta : J \to \mathbb{R}\) dérivable et strictement croissante. Montrer que \((f \circ \theta)^{\prime}(s)\) est un multiple positif ou nul de \(f^{\prime}(\theta(s))\), et qu’il est non nul et de même sens si \(\theta^{\prime}(s) > 0\).
4. Calculer la dérivée de \(s \mapsto f(\ln s)\) sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 12 : Spirale logarithmique et dérivées successives

Soit \(f(t) = e^t(\cos t, \sin t)\) dans \(\mathbb{R}^2\) euclidien.

1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(f^{(n)}(t) = 2^{n/2}e^t\big(\cos(t + n\pi/4), \sin(t + n\pi/4)\big)\).
2. Montrer que l’angle entre \(f(t)\) et \(f^{\prime}(t)\) vaut \(\pi/4\) pour tout \(t\).
3. Énoncer la formule de Leibniz pour \(\langle f, g \rangle^{(n)}\).
4. En calculant \((\|f\|^2)^{(n)}\) de deux façons, établir que \(\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k}\cos(\frac{(2k – n)\pi}{4}) = 2^{n/2}\).

Exercice 13 : Intégrales de fonctions vectorielles

1. Calculer \(\int_0^{\pi} (\cos t, \sin t, t)\,dt\).
2. Calculer \(\int_0^{1} M(t)\,dt\) pour \(M(t) = \begin{pmatrix} 1 2t \\ 3t^2 e^t \end{pmatrix}\). Vérifier que \(\operatorname{tr}\int_0^1 M = \int_0^1 \operatorname{tr} M\).
3. Pour \(u(t) = (\cos t, \sin t)\), comparer \(\|\int_0^{\pi} u\|\) et \(\int_0^{\pi}\|u\|\) (norme euclidienne).
4. Pour \(x \in [0, 2\pi]\), on pose \(U(x) = \int_0^x u(t)\,dt\). Calculer \(U(x)\) et montrer que \(\|U(x)\| = 2|\sin(x/2)|\). Retrouver la majoration \(\|U(x)\| \leq\, x\).

Exercice 14 : Sommes de Riemann et barycentre

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(S_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (\cos\frac{k\pi}{n}, \sin\frac{k\pi}{n})\), isobarycentre de \(n\) points du demi-cercle unité.

1. Reconnaître une somme de Riemann et en déduire la limite de \(S_n\).
2. En identifiant \(\mathbb{R}^2\) à \(\mathbb{C}\), montrer que \(S_n = \dfrac{1}{n}(-1, \cot\dfrac{\pi}{2n})\).
3. Retrouver la limite de la question 1 à partir de la question 2.

Exercice 15 : Spirale de Cornu

On pose, pour \(x \in \mathbb{R}\), \(F(x) = \int_0^x \big(\cos(t^2), \sin(t^2)\big)\,dt\). Sa trajectoire est tracée ci-dessous.

1. Justifier que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(F^{\prime}(x)\).
2. Montrer que \(\|F^{\prime}(x)\| = 1\) et en déduire que \(\|F(x)\| \leq\, |x|\).
3. Montrer que \(F\) est impaire.
4. Calculer la dérivée de \(G : x \mapsto \int_x^{2x} \big(\cos(t^2), \sin(t^2)\big)\,dt\).
5. Déterminer les réels \(x \geq\, 0\) en lesquels la tangente à la trajectoire est verticale.

Exercice 16 : Accroissements finis sur le cercle

On identifie \(\mathbb{R}^2\) à \(\mathbb{C}\) et on pose \(f(t) = e^{it}\).

1. Montrer qu’il n’existe aucun \(c \in ]0, 2\pi[\) tel que \(f(2\pi) – f(0) = 2\pi f^{\prime}(c)\).
2. Par l’inégalité des accroissements finis, montrer que \(|e^{ib} – e^{ia}| \leq\, |b – a|\) pour tous réels \(a, b\).
3. Calculer exactement \(|e^{ib} – e^{ia}|\) et en déduire que \(|\sin u| \leq\, |u|\) pour tout réel \(u\).
4. Soit \(g : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^2\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(\|g^{\prime}(t)\| \leq\, \dfrac{1}{1 + t^2}\). Montrer que \(g\) admet une limite en \(+\infty\).

Exercice 17 : Unicité par les accroissements finis

Soit \(E\) un espace normé de dimension finie, \(k > 0\) et \(f : [0, 1] \to E\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(f(0) = 0\) et \(\|f^{\prime}(t)\| \leq\, k\|f(t)\|\) pour tout \(t \in [0, 1]\).

1. On pose \(h = \min(1, \frac{1}{2k})\) et \(m = \max_{[0, h]}\|f\|\). Justifier l’existence de \(m\), puis montrer que \(m \leq\, \frac{m}{2}\). Conclure que \(f\) est nulle sur \([0, h]\).
2. Soit \(s = \sup\{\tau \in [0, 1] : f = 0 \text{ sur } [0, \tau]\}\). Montrer que \(f\) est nulle sur \([0, s]\), puis que \(s = 1\).
3. Application : soit \(A : [0, 1] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) continue. On munit \(\mathbb{R}^n\) d’une norme et \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de la norme subordonnée. Montrer que le problème \(X^{\prime} = A(t)X\), \(X(0) = X_0\) admet au plus une solution de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, 1]\).

Exercice 18 : Déterminant au voisinage de l’identité

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\varphi(t) = \det(I_n + tA)\).

1. Justifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\). Calculer \(\varphi^{\prime}(0)\) en dérivant par rapport aux colonnes.
2. En déduire que \(\det(I_n + tA) = 1 + t\operatorname{tr}A + o(t)\) quand \(t \to 0\).
3. Soit \(M : I \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) dérivable. En écrivant \(\det M(t + h) = \det M(t)\,\det\big(M(t)^{-1}M(t + h)\big)\), montrer que \[(\det M)^{\prime}(t) = \det M(t)\,\operatorname{tr}\big(M(t)^{-1}M^{\prime}(t)\big).\]
4. Vérifier cette formule pour \(M(t) = \begin{pmatrix} 1 t \\ t 1 \end{pmatrix}\) sur \(]-1, 1[\).

Exercice 19 : Formules de Taylor pour l’exponentielle complexe

On identifie \(\mathbb{R}^2\) à \(\mathbb{C}\) et on pose \(f(t) = e^{it} = (\cos t, \sin t)\).

1. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1 en \(0\). En déduire \(|e^{it} – 1 – it| \leq\, \frac{t^2}{2}\), puis \(|1 – \cos t| \leq\, \frac{t^2}{2}\) et \(|\sin t – t| \leq\, \frac{t^2}{2}\).
2. Calculer \(f^{(k)}\) et appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre \(n\) en \(0\). En déduire que \(e^{it} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(it)^k}{k!}\).
3. Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en \(0\). En déduire les limites de \(\frac{1 – \cos t}{t^2}\) et de \(\frac{t – \sin t}{t^2}\) en \(0\).

Exercice 20 : Inégalité de Landau-Kolmogorov

Soit \(E\) un espace normé de dimension finie et \(f : \mathbb{R} \to E\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose \(\|f(t)\| \leq\, M_0\) et \(\|f^{\prime\prime}(t)\| \leq\, M_2\) pour tout réel \(t\), avec \(M_0 > 0\) et \(M_2 > 0\).

1. Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(h > 0\). Majorer \(\|f(x + h) – f(x) – hf^{\prime}(x)\|\) et \(\|f(x – h) – f(x) + hf^{\prime}(x)\|\).
2. En déduire que \(\|f^{\prime}(x)\| \leq\, \dfrac{M_0}{h} + \dfrac{hM_2}{2}\) pour tout \(h > 0\).
3. Montrer que \(f^{\prime}\) est bornée et que \(\|f^{\prime}(x)\| \leq\, \sqrt{2M_0M_2}\) pour tout \(x\).
4. Tester cette inégalité sur \(f(t) = (\cos \omega t, \sin \omega t)\), avec \(\omega > 0\) et la norme euclidienne.

Exercice 21 : Problème : mouvement à accélération centrale

On munit \(\mathbb{R}^3\) de sa structure euclidienne orientée usuelle et du produit vectoriel \(\wedge\), caractérisé par \(\langle u \wedge v, w \rangle = \det(u, v, w)\). On rappelle qu’il est bilinéaire, antisymétrique, et que \(u \wedge v\) est orthogonal à \(u\) et à \(v\). Soit \(\lambda : I \to \mathbb{R}\) continue et \(f : I \to \mathbb{R}^3\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que \(f^{\prime\prime}(t) = \lambda(t)f(t)\) pour tout \(t\).

1. On pose \(C(t) = f(t) \wedge f^{\prime}(t)\). Montrer que \(C\) est constante. On note \(C_0\) sa valeur.
2. On suppose \(C_0 \neq 0\). Montrer que \(f(t)\) appartient au plan \(C_0^{\perp}\) pour tout \(t\).
3. Exemple : \(a, b > 0\) et \(f(t) = (a\cos t, b\sin t, 0)\). Vérifier que \(f^{\prime\prime} = -f\) et calculer \(C_0\).
4. On admet que l’aire balayée par le segment \([O, f(u)]\) pour \(u\) entre \(0\) et \(t \geq\, 0\) vaut \(\mathcal{A}(t) = \frac{1}{2}\int_0^t \|f(u) \wedge f^{\prime}(u)\|\,du\). Montrer que \(\mathcal{A}(t) = \frac{1}{2}\|C_0\|\,t\) (loi des aires). Dans l’exemple, en déduire l’aire de l’ellipse.
5. On suppose \(\lambda\) constante égale à \(-\omega^2\) avec \(\omega > 0\). Montrer que \(\mathcal{E} = \|f^{\prime}\|^2 + \omega^2\|f\|^2\) est constante et la calculer dans l’exemple.

Exercice 22 : Problème : groupe à un paramètre de matrices

Soit \(M : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable telle que \(M(0) = I_n\) et \(M(s + t) = M(s)M(t)\) pour tous réels \(s, t\). On pose \(A = M^{\prime}(0)\) et on munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) d’une norme sous-multiplicative \(\|\cdot\|\) telle que \(\|I_n\| = 1\).

1. En dérivant par rapport à \(s\), puis par rapport à \(t\), montrer que \(M^{\prime}(t) = AM(t) = M(t)A\).
2. En déduire que \(M\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et que \(M^{(k)}(t) = A^kM(t)\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
3. Soit \(t \in \mathbb{R}\) et \(K = \max_{|u| \leq\, |t|}\|M(u)\|\). Par l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que \[\|M(t) – \sum_{k=0}^{N} \frac{t^k}{k!}A^k\| \leq\, \frac{K\,\|A\|^{N+1}|t|^{N+1}}{(N+1)!}.\] En déduire que \(M(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!}A^k\).
4. On pose \(\delta(t) = \det M(t)\). Montrer que \(\delta^{\prime}(0) = \operatorname{tr}A\), puis que \(\delta^{\prime} = (\operatorname{tr}A)\,\delta\). En déduire \(\delta(t) = e^{t\operatorname{tr}A}\) et que \(M(t)\) est toujours inversible.
5. Vérifier tous ces résultats pour \(M = R\), la fonction de l’exercice 10.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : fonctions vectorielles, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Normes, espaces vectoriels normés et suites
• Chapitre précédent : Séries entières
• Chapitre suivant : Intégrales généralisées et fonctions intégrables
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup