Diagonalisation et trigonalisation : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Diagonalisation d’une matrice 2×2

On considère \(A = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

1. Calculer le polynôme caractéristique \(\chi_A\) et le spectre de \(A\).
2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre.
3. En déduire une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = P D P^{-1}\). Vérifier le résultat en calculant \(AP\).

Exercice 2 : Trois valeurs propres distinctes

On considère \(A = \begin{pmatrix} 2 1 -1 \\ -1 2 1 \\ -1 1 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\). On pourra ajouter la troisième colonne à la première dans \(\det(X I_3 – A)\).
2. Justifier sans autre calcul que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).
3. Déterminer une matrice de passage \(P\) et la matrice diagonale \(D\) associée.

Exercice 3 : Matrices non diagonalisables

Justifier, en choisissant à chaque fois l’argument le plus rapide, que les matrices suivantes ne sont pas diagonalisables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. \(A = \begin{pmatrix} 2 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\).
2. \(B = \begin{pmatrix} 1 -1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\). Est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) ?
3. \(C = \begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 0 2 0 \\ 1 0 3 \end{pmatrix}\).

Exercice 4 : Matrice de rotation sur R et sur C

Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta -\sin\theta \\ \sin\theta \cos\theta \end{pmatrix}\). La figure ci-dessous rappelle l’action de \(R_\theta\) sur un vecteur \(X\) du plan.

1. Pour \(\theta \in \pi\mathbb{Z}\), que vaut \(R_\theta\) ? Est-elle diagonalisable ?
2. On suppose \(\theta \notin \pi\mathbb{Z}\). Expliquer géométriquement pourquoi \(R_\theta\) n’a aucun vecteur propre réel, puis le retrouver par le calcul de \(\chi_{R_\theta}\).
3. Montrer que \(R_\theta\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) et donner une base de vecteurs propres.
4. La matrice \(R_\theta\) est-elle trigonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) lorsque \(\theta \notin \pi\mathbb{Z}\) ?

Exercice 5 : Valeur propre double et matrice de passage

On considère \(A = \begin{pmatrix} -1 -3 3 \\ -3 -1 3 \\ -3 -3 5 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) sous forme factorisée.
2. Déterminer les sous-espaces propres et leurs dimensions.
3. Montrer que \(A\) est diagonalisable, puis donner \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A = P D P^{-1}\).
4. Calculer \(P^{-1}\) et en déduire \(A^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 6 : Diagonalisabilité selon un paramètre

Pour \((a, b) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(A_{a,b} = \begin{pmatrix} 1 a 1 \\ 0 1 b \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).

1. Donner le spectre de \(A_{a,b}\) et les multiplicités.
2. Déterminer, selon \(a\), le rang de \(A_{a,b} – I_3\).
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur \((a, b)\) pour que \(A_{a,b}\) soit diagonalisable.
4. Dans ce cas, donner une matrice de passage.

Exercice 7 : Puissances d’une matrice diagonalisable

On considère \(A = \begin{pmatrix} 4 -2 \\ 1 1 \end{pmatrix}\).

1. Diagonaliser \(A\).
2. Calculer \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et vérifier la formule pour \(n = 0\) et \(n = 1\).
3. La formule obtenue reste-t-elle valable pour \(n = -1\) ? Vérifier en calculant \(A^{-1}\) directement.

Exercice 8 : Évolution de deux populations

Deux villes \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) échangent des habitants chaque année. Chaque année, \(20\,\%\) des habitants de \(\mathcal{A}\) partent pour \(\mathcal{B}\) et \(30\,\%\) des habitants de \(\mathcal{B}\) partent pour \(\mathcal{A}\) ; les autres restent. Il n’y a ni naissance, ni décès, ni échange extérieur. On note \(a_n\) et \(b_n\) les populations (en milliers) l’année \(n\), avec \(a_0 = 100\) et \(b_0 = 0\). Le schéma ci-dessous résume les échanges.

1. Écrire \(X_{n+1} = M X_n\) avec \(X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}\) et \(M\) à préciser.
2. Diagonaliser \(M\).
3. Exprimer \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer leurs limites.
4. Montrer que la limite ne dépend que de la population totale \(a_0 + b_0\).

Exercice 9 : Suite récurrente d’ordre 2

On définit \((u_n)\) par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2 u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Écrire \(X_{n+1} = C X_n\) avec \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ u_{n+1} \end{pmatrix}\).
2. Diagonaliser \(C\).
3. En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), et un équivalent de \(u_n\).

Exercice 10 : Trigonalisation d’une matrice 2×2

On considère \(A = \begin{pmatrix} 3 1 \\ -1 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\) et montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.
2. Déterminer \(P\) inversible telle que \(P^{-1} A P = T = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 0 2 \end{pmatrix}\).
3. Calculer \(T^n\), puis \(A^n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Contrôler le résultat pour \(n = 2\).

Exercice 11 : Trigonalisation d’une matrice 3×3

On considère \(A = \begin{pmatrix} 2 -1 1 \\ 1 0 2 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\chi_A\).
2. Déterminer les sous-espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
3. Trouver une base \((V_1, V_2, V_3)\) dans laquelle l’endomorphisme canoniquement associé à \(A\) a pour matrice \(T = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}\).
4. Calculer \(T^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 12 : Matrices nilpotentes explicites

On considère \(N_1 = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 0 0 1 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}\) et \(N_2 = \begin{pmatrix} 1 0 -1 \\ 2 0 -2 \\ 1 0 -1 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont nilpotentes et donner leur indice de nilpotence.
2. Donner le polynôme caractéristique de chacune.
3. Montrer que \(I_3 + N_2\) est inversible et calculer son inverse. Faire de même pour \(I_3 + N_1\).
4. Pourquoi ni \(N_1\) ni \(N_2\) n’est diagonalisable ?

Exercice 13 : Caractérisation des matrices nilpotentes

Soit \(n \geq\, 1\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).

1. On suppose \(A\) nilpotente. Montrer que \(\operatorname{Sp}(A) = \{0\}\) puis que \(\chi_A = X^n\).
2. On suppose \(\chi_A = X^n\). Justifier que \(A\) est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte \(T\).
3. Soit \(T\) triangulaire supérieure stricte et \((e_1, \ldots, e_n)\) la base canonique. Montrer par récurrence sur \(k\) que \(T^k e_j \in \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_{j-k})\) pour \(j > k\) et \(T^k e_j = 0\) pour \(j \leq\, k\). En déduire que \(A^n = 0\).
4. Montrer qu’une matrice nilpotente et diagonalisable est nulle.
5. Soit \(N\) nilpotente. Calculer \(\operatorname{tr} N\) et \(\det(I_n + N)\).

Exercice 14 : Traces des puissances et nilpotence

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})\), de valeurs propres \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) comptées avec multiplicité. On pose \(p_k = \operatorname{tr}(A^k)\), \(\sigma_1 = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3\), \(\sigma_2 = \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3\) et \(\sigma_3 = \lambda_1\lambda_2\lambda_3\).

1. En trigonalisant \(A\), montrer que \(p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
2. Vérifier que \(p_2 = \sigma_1^2 – 2\sigma_2\) et \(p_3 = \sigma_1^3 – 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\).
3. On suppose \(p_1 = p_2 = p_3 = 0\). Montrer que \(A\) est nilpotente, puis que \(A^3 = 0\).
4. Montrer par un exemple que les seules conditions \(p_1 = p_2 = 0\) ne suffisent pas.

Exercice 15 : La matrice J et ses voisines

Soit \(n \geq\, 2\) et \(J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent 1.

1. Déterminer le rang de \(J\) et la dimension de \(\ker J\).
2. Calculer \(J U\) pour \(U = (1, \ldots, 1)^{T}\). En déduire le spectre de \(J\) et montrer que \(J\) est diagonalisable.
3. Soit \((a, b) \in \mathbb{R}^2\) et \(M = a I_n + b J\). Déterminer les valeurs propres de \(M\), justifier qu’elle est diagonalisable et calculer \(\det M\).
4. Application : calculer le déterminant de \(\begin{pmatrix} 2 1 1 \\ 1 2 1 \\ 1 1 2 \end{pmatrix}\).

Exercice 16 : Matrices de rang 1

Soit \(n \geq\, 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de rang 1.

1. Montrer qu’il existe deux colonnes non nulles \(U, V \in \mathbb{R}^n\) telles que \(A = U V^{T}\).
2. Montrer que \(V^T U = \operatorname{tr} A\), puis que \(A^2 = (\operatorname{tr} A)\, A\).
3. Montrer que 0 est valeur propre avec \(\dim E_0 = n – 1\) et que \(A U = (\operatorname{tr} A)\, U\). En déduire \(\chi_A = X^{n-1}(X – \operatorname{tr} A)\).
4. Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\operatorname{tr} A \neq 0\).
5. Application : les matrices \(\begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 4 6 \\ 3 6 9 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 -1 0 \\ 1 -1 0 \\ 1 -1 0 \end{pmatrix}\) sont-elles diagonalisables ?

Exercice 17 : Transposition dans M_n(R)

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\tau : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(M \mapsto M^{T}\).

1. Vérifier que \(\tau\) est un endomorphisme et calculer \(\tau \circ \tau\).
2. Montrer que \(\operatorname{Sp}(\tau) \subset \{-1, 1\}\) et identifier les sous-espaces propres.
3. Montrer que \(\tau\) est diagonalisable.
4. Calculer \(\operatorname{tr} \tau\) et \(\det \tau\) de deux façons pour la trace : avec les valeurs propres, puis avec la base canonique \((E_{ij})\).

Exercice 18 : Vrai ou faux sur la diagonalisation

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une démonstration ou un contre-exemple. Toutes les matrices sont dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
2. Deux matrices qui ont le même polynôme caractéristique sont semblables.
3. Si \(A\) est diagonalisable et inversible, alors \(A^{-1}\) est diagonalisable.
4. Si \(A^2\) est diagonalisable, alors \(A\) est diagonalisable.
5. \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(A^{T}\) l’est.
6. Toute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est trigonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Exercice 19 : Un endomorphisme de R_n[X]

Soit \(n \geq\, 1\). Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(\varphi(P) = (X^2 – 1) P^{\prime} – n X P\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Pour \(k \in \{0, \ldots, n\}\), on pose \(P_k = (X – 1)^k (X + 1)^{n-k}\). Montrer que \(\varphi(P_k) = (2k – n) P_k\).
3. En déduire que \(\varphi\) est diagonalisable, son spectre et une base de vecteurs propres.
4. Pour \(n = 2\), écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base \((1, X, X^2)\) et vérifier les résultats précédents.

Exercice 20 : Commutant d’une matrice à valeurs propres distinctes

Soit \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) avec des \(\lambda_i \in \mathbb{K}\) deux à deux distincts.

1. Montrer qu’une matrice \(B\) vérifie \(BD = DB\) si et seulement si \(B\) est diagonale.
2. Soit \(A\) possédant \(n\) valeurs propres distinctes, avec \(A = P D P^{-1}\). Décrire l’ensemble \(\mathcal{C}(A)\) des matrices qui commutent avec \(A\) et donner sa dimension.
3. Montrer que toute matrice de \(\mathcal{C}(A)\) est diagonalisable et que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(B\).
4. Application : déterminer les matrices qui commutent avec \(\begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\).

Exercice 21 : Racines carrées d’une matrice

On considère \(A = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 2 3 \end{pmatrix}\). On cherche les \(B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(B^2 = A\).

1. Diagonaliser \(A\).
2. Soit \(B\) une solution. Montrer que \(AB = BA\), puis que \(B\) laisse stable chaque sous-espace propre de \(A\).
3. En déduire que \(P^{-1} B P\) est diagonale et déterminer toutes les solutions.
4. Montrer en revanche que \(N = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) n’a aucune racine carrée dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).

Exercice 22 : Problème : matrices compagnons et récurrences d’ordre 3

Soit \((c_0, c_1, c_2) \in \mathbb{R}^3\) et \(C = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ 0 0 1 \\ c_0 c_1 c_2 \end{pmatrix}\). On étudie les suites réelles vérifiant \(u_{n+3} = c_2 u_{n+2} + c_1 u_{n+1} + c_0 u_n\) pour tout \(n\).

Partie A : étude générale.

1. Montrer que \(\chi_C = X^3 – c_2 X^2 – c_1 X – c_0\).
2. Soit \(\lambda\) une valeur propre réelle de \(C\). Montrer que \(E_\lambda(C) = \mathrm{Vect}\big((1, \lambda, \lambda^2)\big)\).
3. En déduire que \(C\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) si et seulement si \(\chi_C\) possède trois racines réelles distinctes.

Partie B : trois racines distinctes. On prend \(u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} – 2u_n\), avec \(u_0 = 3\), \(u_1 = 2\) et \(u_2 = 6\).

1. Factoriser \(\chi_C\) et diagonaliser \(C\).
2. Avec \(X_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})\), décomposer \(X_0\) sur la base propre et en déduire \(u_n\).

Partie C : une racine double. On prend \(w_{n+3} = w_{n+2} + w_{n+1} – w_n\), avec \(w_0 = 0\), \(w_1 = 4\) et \(w_2 = 4\).

1. Factoriser \(\chi_C\) et montrer que \(C\) n’est pas diagonalisable.
2. Avec \(V_1 = (1, 1, 1)\) et \(V_3 = (1, -1, 1)\), trouver \(V_2 = (0, y, z)\) tel que \((C – I_3) V_2 = V_1\). Écrire la matrice triangulaire \(T\) de \(C\) dans la base \((V_1, V_2, V_3)\).
3. Montrer que \(C^n V_2 = V_2 + n V_1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
4. Décomposer \(Y_0 = (w_0, w_1, w_2)\) sur \((V_1, V_2, V_3)\) et en déduire \(w_n\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : diagonalisation et trigonalisation, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Éléments propres et polynôme caractéristique
• Chapitre précédent : Éléments propres et polynôme caractéristique
• Chapitre suivant : Polynômes d'endomorphismes et Cayley-Hamilton
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup