Convergence dominée : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Deux premières limites d’intégrales

Déterminer, en justifiant soigneusement les hypothèses, la limite quand \(n \to +\infty\) des intégrales suivantes.

1. \(\displaystyle I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2 + x^n}\), pour \(n \geq\, 1\).
2. \(\displaystyle J_n = \int_0^{+\infty} \frac{n \sin(x/n)}{x\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x\), pour \(n \geq\, 1\), l’intégrande étant prolongé par continuité en \(0\).

Exercice 2 : Limite exponentielle sous l’intégrale

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(f_n(x) = (1 – \frac{x}{n})^n\) si \(x \leq\, n\) et \(f_n(x) = 0\) si \(x > n\).

1. Montrer que \(0 \leq\, f_n(x) \leq\, e^{-x}\) pour tout \(x \geq\, 0\), et que \(f_n(x) \to e^{-x}\).
2. Calculer directement \(\int_0^{n} (1 – \frac{x}{n})^n \mathrm{d}x\), puis retrouver sa limite par convergence dominée.
3. Déterminer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^{n} (1 – \frac{x}{n})^n \cos x \,\mathrm{d}x\).
4. Déterminer \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^{n} (1 + \frac{x}{n})^n e^{-2x} \,\mathrm{d}x\).

Exercice 3 : Domination par morceaux

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(\displaystyle I_n = \int_0^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^{n+2}}\,\mathrm{d}x\).

1. Justifier l’existence de \(I_n\).
2. Déterminer la limite simple de l’intégrande sur \([0, +\infty[\).
3. Construire une fonction dominante intégrable et en déduire \(\lim I_n\).

Exercice 4 : Une suite sans domination

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(f_n(x) = n^2 x\, e^{-nx}\).

1. Calculer \(\int_0^{+\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x\).
2. Déterminer la limite simple de \((f_n)\) sur \([0, +\infty[\).
3. En déduire qu’il n’existe aucune fonction \(\varphi\) intégrable sur \([0, +\infty[\) telle que \(|f_n| \leq\, \varphi\) pour tout \(n\).
4. Retrouver ce résultat directement : pour \(x \in \,]0,1]\), on note \(n = \lfloor 1/x \rfloor\). Montrer que \(f_n(x) \geq\, \dfrac{1}{4ex}\) et conclure.

Exercice 5 : Limites avec un paramètre réel

Pour \(\lambda > 0\), on pose \(\displaystyle F(\lambda) = \int_0^{+\infty} \arctan(\lambda x)\, e^{-x}\,\mathrm{d}x\).

1. Justifier que \(F(\lambda)\) est bien défini.
2. Déterminer la limite de \(F(\lambda)\) quand \(\lambda \to +\infty\).
3. Montrer que \(F(\lambda) \sim \lambda\) quand \(\lambda \to 0^+\). On pourra utiliser l’inégalité \(0 \leq\, \arctan u \leq\, u\) pour \(u \geq\, 0\).

Exercice 6 : Développement asymptotique d’une suite d’intégrales

Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(\displaystyle u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^n}\). La figure ci-dessous représente l’intégrande pour quelques valeurs de \(n\).

1. Montrer que \(u_n \to 1\).
2. Établir, à l’aide du changement de variable \(t = x^n\), l’égalité \[n(u_n – 1) = \int_1^{+\infty} \frac{t^{1/n – 1}}{1+t}\,\mathrm{d}t – \int_0^1 \frac{t^{1/n}}{1+t}\,\mathrm{d}t.\]
3. En déduire que \(u_n = 1 + o\!(\frac{1}{n})\).

Exercice 7 : Équivalent par changement de variable

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(\displaystyle I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^n}\). On admet que \(\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,\mathrm{d}u = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

1. Justifier l’existence de \(I_n\).
2. À l’aide du changement de variable \(x = u/\sqrt{n}\), exprimer \(\sqrt{n}\, I_n\) comme une intégrale sur \([0, +\infty[\).
3. À l’aide de l’inégalité de Bernoulli \((1+a)^n \geq\, 1 + na\) pour \(a \geq\, 0\), établir une domination, puis montrer que \(I_n \sim \dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}}\).

La figure ci-dessous montre la convergence des intégrandes obtenus à la question 2.

Exercice 8 : Comportement asymptotique d’une transformée

Pour \(t > 0\), on pose \(\displaystyle G(t) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

1. Justifier l’existence de \(G(t)\).
2. Déterminer les limites de \(G\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
3. Montrer que \(G(t) \sim \dfrac{1}{t}\) quand \(t \to +\infty\).

Exercice 9 : Une identité approchée

Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) une fonction continue et bornée.

1. Montrer que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \int_0^{+\infty} f(x)\, e^{-nx}\,\mathrm{d}x = f(0)\).
2. Vérifier ce résultat par un calcul direct lorsque \(f = \cos\).
3. Montrer plus généralement que \(\displaystyle \lambda \int_0^{+\infty} f(x)\, e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x \to f(0)\) quand le réel \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 10 : Une intégrale égale à ζ(2)

On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrer que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{-\ln(1-x)}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{6}\).
2. En déduire la valeur de \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x}{x – 1}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 11 : Intégration terme à terme avec des signes alternés

On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculer \(\int_0^1 x^n \ln x\,\mathrm{d}x\).
2. Montrer que \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}\).
3. Montrer que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}\,\mathrm{d}x = -\frac{\pi^2}{12}\) en vérifiant les hypothèses du théorème d’intégration terme à terme.

Exercice 12 : La fonction zêta sous forme intégrale

Pour \(s > 0\), on note \(\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t\), et pour \(s > 1\), \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}\).

1. Pour \(n \geq\, 1\) et \(s > 0\), calculer \(\int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-nx}\,\mathrm{d}x\) en fonction de \(\Gamma(s)\).
2. Montrer que, pour tout \(s > 1\), \[\int_0^{+\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x – 1}\,\mathrm{d}x = \Gamma(s)\,\zeta(s).\]
3. En admettant \(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\), calculer \(\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x – 1}\,\mathrm{d}x\).
4. Pour \(0 < s \leq\, 1\), montrer que l’intégrale diverge de deux façons : par un équivalent en \(0\), puis par le théorème positif.

Exercice 13 : Une intégrale oscillante

1. Pour \(n \geq\, 1\), calculer \(\int_0^{+\infty} \sin(x)\, e^{-nx}\,\mathrm{d}x\).
2. Expliquer pourquoi le théorème d’intégration terme à terme positive ne s’applique pas à la série \(\sum_{n \geq\, 1} \sin(x)\, e^{-nx}\).
3. Montrer que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{e^x – 1}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+1}\).

Exercice 14 : Le rêve de l’étudiant

La figure ci-dessous représente les fonctions \(x \mapsto x^{-x}\) et \(x \mapsto x^{x}\) sur \(]0,1]\), prolongées par \(1\) en \(0\). On cherche les aires colorées sous ces courbes.

1. Pour \(k \in \mathbb{N}\), montrer que \(\displaystyle \int_0^1 x^k (-\ln x)^k\,\mathrm{d}x = \frac{k!}{(k+1)^{k+1}}\). On pourra poser \(x = e^{-t}\).
2. Montrer que \(\displaystyle \int_0^1 x^{-x}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^n}\).
3. Montrer que \(\displaystyle \int_0^1 x^{x}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}\).
4. En déduire une valeur approchée de \(\int_0^1 x^x\,\mathrm{d}x\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 15 : La série harmonique alternée

Pour \(N \in \mathbb{N}\) et \(x \in [0,1[\), on pose \(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} (-x)^n\).

1. Montrer que le théorème d’intégration terme à terme ne s’applique pas à la série \(\sum (-x)^n\) sur \([0,1[\).
2. Exprimer \(S_N(x)\) sous forme close et établir une domination indépendante de \(N\).
3. En déduire que \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln 2\).
4. Montrer que le reste vérifie \(\displaystyle |\ln 2 – \sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n}{n+1}| \leq\, \frac{1}{N+2}\).

Exercice 16 : Choisir la bonne méthode

On admet que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12}\).

1. Montrer que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{12}\). Quel théorème utilisez-vous, et pourquoi ?
2. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^3}\) à l’aide d’une décomposition en éléments simples.
3. En déduire la valeur de \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\). Expliquer pourquoi le théorème d’intégration terme à terme ne suffit pas ici, et quel outil le remplace.

Exercice 17 : Une interversion illégitime

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x > 0\), on pose \(f_n(x) = n\,e^{-nx} – (n+1)\,e^{-(n+1)x}\).

1. Calculer \(\int_0^{+\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x\).
2. Calculer \(\sum_{n=1}^{N} f_n(x)\), puis la somme \(\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)\) pour \(x > 0\). Comparer \(\int_0^{+\infty} \sum f_n\) et \(\sum \int_0^{+\infty} f_n\).
3. Sans calcul, en déduire la nature de la série \(\sum \int_0^{+\infty} |f_n|\). Vérifier ensuite par le calcul que \(\int_0^{+\infty} |f_n| = \dfrac{2}{n+1}(\dfrac{n}{n+1})^n\).
4. Construire une famille double \((u_{n,k})\) de réels telle que \(\sum_n \sum_k u_{n,k} \neq \sum_k \sum_n u_{n,k}\), sur le même modèle.

Exercice 18 : Intégrale de f(x^n)

Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) une fonction continue.

1. Montrer que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f(x^n)\,\mathrm{d}x = f(0)\).
2. On suppose de plus \(f\) de classe \(C^1\). Montrer que \[n(\int_0^1 f(x^n)\,\mathrm{d}x – f(0)) \xrightarrow[n \to +\infty]{ \int_0^1 \frac{f(t) – f(0)}{t}\,\mathrm{d}t.\] On pourra poser \(t = x^n\).
3. Application : donner un développement asymptotique à deux termes de \(\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^n}\).

Exercice 19 : Problème, formule de Gauss pour la fonction Gamma

Pour \(x > 0\), on pose \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Pour \(n \geq\, 1\), on pose \[I_n(x) = \int_0^{n} t^{x-1}(1 – \frac{t}{n})^n \mathrm{d}t \quad \text{et} \quad J_n(x) = \int_0^{1} u^{x-1}(1-u)^n\,\mathrm{d}u,\] et l’on pose aussi \(J_0(x) = \int_0^1 u^{x-1}\,\mathrm{d}u\).

1. Justifier l’existence de \(\Gamma(x)\), de \(I_n(x)\) et de \(J_n(x)\) pour \(x > 0\).
2. Montrer que \(I_n(x) \to \Gamma(x)\) quand \(n \to +\infty\).
3. Montrer que \(I_n(x) = n^x J_n(x)\).
4. Établir, pour \(n \geq\, 1\), la relation \(J_n(x) = \dfrac{n}{x}\, J_{n-1}(x+1)\).
5. En déduire que \(J_n(x) = \dfrac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\), puis la formule de Gauss : \[\Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^x\, n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}.\]
6. Retrouver à partir de cette formule les égalités \(\Gamma(1) = 1\) et \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\).

Exercice 20 : Problème, intégrale de Fermi et fonction êta

Pour \(s > 0\), on pose \(\displaystyle K(s) = \int_0^{+\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x + 1}\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle \eta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}\). On reprend les notations \(\Gamma\) et \(\zeta\) de l’exercice 12.

1. Justifier l’existence de \(K(s)\) et de \(\eta(s)\) pour tout \(s > 0\).
2. Pour \(x > 0\), écrire \(\dfrac{1}{e^x + 1}\) comme somme d’une série de fonctions exponentielles.
3. On suppose \(s > 1\). Montrer que \(K(s) = \Gamma(s)\,\eta(s)\) par le théorème d’intégration terme à terme.
4. On suppose \(0 < s \leq\, 1\). Expliquer pourquoi la méthode précédente échoue, puis prouver encore \(K(s) = \Gamma(s)\,\eta(s)\) par convergence dominée sur les sommes partielles.
5. Vérifier le résultat pour \(s = 1\) par un calcul direct de \(K(1)\).
6. Montrer que \(\eta(s) = (1 – 2^{1-s})\,\zeta(s)\) pour \(s > 1\). En admettant \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\) et \(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\), calculer \(K(2)\) et \(K(4)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : convergence dominée, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Intégrales généralisées et fonctions intégrables, Séries de fonctions
• Chapitre précédent : Intégrales généralisées et fonctions intégrables
• Chapitre suivant : Intégrales à paramètre
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup