Espérance et variance : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Loi géométrique par la formule des queues

Soit \(p \in \,]0, 1[\), \(q = 1 – p\) et \(X\) une variable aléatoire de loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) : \(P(X = k) = p q^{k-1}\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\).

1. Calculer \(P(X \geq\, n)\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\).
2. En déduire \(E(X)\) à l’aide de la formule \(E(X) = \sum_{n \geq\, 1} P(X \geq\, n)\).
3. Justifier l’existence de \(E(X(X-1))\) et la calculer par la formule de transfert.
4. En déduire \(V(X)\), puis donner \(E(X)\) et \(\sigma(X)\) pour \(p = \frac{1}{3}\).

Exercice 2 : Loi de Poisson et formule de transfert

Soit \(\lambda > 0\) et \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).

1. Justifier que \(\frac{1}{1+X}\) est d’espérance finie et calculer \(E(\frac{1}{1+X})\).
2. Pour \(t \in \mathbb{R}\), justifier l’existence de \(E(t^X)\) et la calculer.
3. Calculer \(E(X(X-1)(X-2))\), puis en déduire \(E(X^3)\).

Exercice 3 : Loi uniforme sur un ensemble d’entiers

Soit \(n \geq\, 1\) et \(X\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \(\{1, 2, \ldots, n\}\).

1. Calculer \(E(X)\) et \(E(X^2)\), puis \(V(X)\).
2. Calculer \(E(2^X)\) et exprimer \(E(\frac{1}{X})\) à l’aide de \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).
3. Retrouver \(E(X)\) par la formule des queues.

Exercice 4 : Une variable d’espérance infinie

Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(X = n) = \frac{1}{n(n+1)}\) pour tout \(n \geq\, 1\).

1. Vérifier que l’on définit bien ainsi une loi de probabilité.
2. Calculer \(P(X \geq\, n)\), puis montrer que \(E(X) = +\infty\) de deux façons.
3. La variable \(\sqrt{X}\) est-elle d’espérance finie ?
4. Pour quels réels \(\alpha > 0\) la variable \(X^{\alpha}\) est-elle d’espérance finie ?

Exercice 5 : Somme et différence de variables de Poisson

Soient \(\lambda, \mu > 0\) et \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes de lois respectives \(\mathcal{P}(\lambda)\) et \(\mathcal{P}(\mu)\).

1. Calculer \(E(XY)\), \(E(X + Y)\) et \(V(X + Y)\).
2. Calculer \(V(X – Y)\) et \(\mathrm{Cov}(X + Y, X – Y)\).
3. On suppose \(\lambda = \mu\). Les variables \(X + Y\) et \(X – Y\) sont-elles indépendantes ?

Exercice 6 : Variables centrées réduites

1. Soit \(X\) une variable admettant un moment d’ordre 2 avec \(\sigma(X) > 0\). Montrer qu’il existe un unique couple \((a, b)\), avec \(a > 0\), tel que \(aX + b\) soit centrée réduite.
2. Déterminer la variable centrée réduite associée à \(X \sim \mathcal{G}(p)\), puis celle associée à \(Y \sim \mathcal{P}(\lambda)\).
3. Soit \(Y \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y^*\) sa variable centrée réduite. Montrer que \(P(|Y^*| \geq\, 2) \leq\, \frac{1}{4}\) et interpréter ce résultat en termes de \(Y\).

Exercice 7 : Minimum et maximum de deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces, de façon indépendante. On note \(X_1\), \(X_2\) les résultats, \(M = \min(X_1, X_2)\) et \(M^{\prime} = \max(X_1, X_2)\). La figure ci-dessous donne la valeur de \(M\) pour chacun des 36 résultats.

1. Calculer \(P(M \geq\, n)\) pour \(n \in \{1, \ldots, 6\}\) et en déduire \(E(M)\).
2. Calculer \(E(M^{\prime})\) par la même méthode.
3. Vérifier le résultat grâce à la relation \(M + M^{\prime} = X_1 + X_2\).
4. Plus généralement, on lance \(k\) dés à \(N\) faces. Exprimer l’espérance du minimum à l’aide de \(\sum_{j=1}^{N} j^k\).

Exercice 8 : Minimum de deux variables géométriques

Soient \(p, r \in \,]0, 1[\) et \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes de lois \(\mathcal{G}(p)\) et \(\mathcal{G}(r)\). On pose \(Z = \min(X, Y)\).

1. Calculer \(P(Z \geq\, n)\) pour \(n \geq\, 1\). Reconnaître la loi de \(Z\).
2. En déduire \(E(Z)\) et \(V(Z)\).
3. Calculer \(P(X = Y)\).

Exercice 9 : Covariance nulle sans indépendance

Soit \(X\) une variable de loi uniforme sur \(\{-1, 0, 1\}\) et \(Y = X^2\).

1. Calculer \(E(X)\), \(E(Y)\), \(V(X)\) et \(V(Y)\).
2. Montrer que \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\).
3. Montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.
4. Calculer \(V(X + Y)\) de deux manières : par la formule de la variance d’une somme, puis à partir de la loi de \(X + Y\).

Exercice 10 : Espérance d’une variable complexe

Soit \(n \geq\, 2\), \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et \(X\) une variable de loi uniforme sur \(\{0, 1, \ldots, n-1\}\). On pose \(Z = \omega^X\). La figure représente les valeurs possibles de \(Z\) pour \(n = 6\), chacune de probabilité \(\frac{1}{6}\).

1. Justifier que \(Z\) est d’espérance finie et calculer \(E(Z)\) et \(E(|Z|^2)\).
2. Pour \(m \in \mathbb{Z}\), calculer \(E(Z^m)\).
3. Soit \(Y \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(t \in \mathbb{R}\). Justifier l’existence de \(E(e^{itY})\) et la calculer.
4. En déduire \(E(\cos(tY))\) et \(E(\sin(tY))\).

Exercice 11 : Une minoration par Cauchy-Schwarz

Soit \(X\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{N}\) admettant un moment d’ordre 2, avec \(E(X) > 0\).

1. Soit \(U\) une variable réelle admettant un moment d’ordre 2. Montrer que \(E(|U|) \leq\, \sqrt{E(U^2)}\).
2. En remarquant que \(X = X \mathbf{1}_{(X \geq\, 1)}\), montrer que \(P(X \geq\, 1) \geq\, \dfrac{E(X)^2}{E(X^2)}\).
3. Application : si \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\), en déduire une minoration de \(P(X \geq\, 1)\) et la comparer à la valeur exacte.
4. Application : si \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\), minorer \(P(X \geq\, 1)\).

Exercice 12 : Nombre de points fixes d’une permutation

Soit \(n \geq\, 2\). On choisit une permutation \(\sigma\) de \(\{1, \ldots, n\}\) selon la loi uniforme sur \(\mathfrak{S}_n\). On note \(N\) le nombre de points fixes de \(\sigma\).

1. Écrire \(N\) comme somme d’indicatrices et calculer \(E(N)\).
2. Pour \(i \neq j\), calculer \(\mathrm{Cov}(\mathbf{1}_{(\sigma(i) = i)}, \mathbf{1}_{(\sigma(j) = j)})\).
3. En déduire \(V(N)\).
4. Majorer \(P(N \geq\, 3)\) par l’inégalité de Markov, puis par celle de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 13 : Urnes vides

On répartit \(m\) boules dans \(n \geq\, 2\) urnes : chaque boule est placée dans une urne choisie uniformément, indépendamment des autres. On note \(N\) le nombre d’urnes restées vides.

1. Calculer \(E(N)\).
2. Calculer \(V(N)\) à l’aide des covariances.
3. Donner des valeurs approchées de \(E(N)\) et \(V(N)\) pour \(m = n = 10\).
4. On prend \(m = n\) et on note \(N_n\) le nombre d’urnes vides. Montrer que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P(|\frac{N_n}{n} – e^{-1}| \geq\, \varepsilon) \to 0\).

Exercice 14 : Coefficient de corrélation de deux comptages

On lance \(n\) fois un dé équilibré. On note \(X\) le nombre de « 1 » obtenus et \(Y\) le nombre de « 6 ».

1. Montrer que \(|\mathrm{Cov}(U, V)| \leq\, \sigma(U) \sigma(V)\) pour des variables admettant un moment d’ordre 2.
2. Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\), puis \(V(X)\) et \(V(Y)\).
3. Calculer \(\mathrm{Cov}(X, Y)\) et le coefficient de corrélation \(\rho = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}\).
4. Calculer \(V(X + Y)\) et vérifier le résultat à l’aide de la loi de \(X + Y\).

Exercice 15 : Inégalité de Markov et borne exponentielle

Soit \(\lambda > 0\) et \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\). On cherche à majorer \(P(X \geq\, 2\lambda)\).

1. Donner la majoration fournie par l’inégalité de Markov.
2. Donner celle fournie par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Pour \(t > 0\), calculer \(E(e^{tX})\) et montrer que \(P(X \geq\, 2\lambda) \leq\, \exp\big(\lambda(e^t – 1 – 2t)\big)\).
4. Choisir \(t\) au mieux et en déduire \(P(X \geq\, 2\lambda) \leq\, (\frac{e}{4})^{\lambda}\).
5. Comparer les trois bornes pour \(\lambda = 10\), sachant que \(P(X \geq\, 20) \approx 0{,}0035\).

Exercice 16 : Taille d’échantillon par Bienaymé-Tchebychev

On lance \(n\) fois une pièce équilibrée et on note \(F_n\) la fréquence de « pile ». La figure montre quatre trajectoires simulées de \(F_n\) avec la bande \([0{,}45 \,;\, 0{,}55]\).

1. Calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. Déterminer un entier \(n\) tel que \(P(|F_n – 0{,}5| \geq\, 0{,}05) \leq\, 0{,}05\).
3. Une pièce a une probabilité inconnue \(p\) de tomber sur pile. Combien de lancers suffisent pour que \(P(|F_n – p| \geq\, 0{,}01) \leq\, 0{,}1\), quel que soit \(p\) ?
4. Énoncer la loi faible des grands nombres pour la suite des lancers et relier ce résultat aux questions précédentes.

Exercice 17 : Une seconde formule des queues

Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\).

1. Montrer que, dans \([0, +\infty]\) : \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n P(X \geq\, n) = E(\frac{X(X+1)}{2})\).
2. En déduire que \(X\) admet un moment d’ordre 2 si et seulement si la série \(\sum n P(X \geq\, n)\) converge.
3. Retrouver la variance de la loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\).
4. Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(X \geq\, n) = \frac{1}{n^2}\) pour tout \(n \geq\, 1\). Donner la loi de \(X\), montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer \(E(X)\). La variable \(X\) admet-elle un moment d’ordre 2 ?

Exercice 18 : Loi faible pour des variables corrélées

Soit \((Y_k)_{k \geq\, 1}\) une suite de variables indépendantes de même loi : \(P(Y_k = 1) = P(Y_k = -1) = \frac{1}{2}\). On pose \(X_k = Y_k + Y_{k+1}\) et \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\).

1. Calculer \(E(X_k)\) et \(V(X_k)\).
2. Calculer \(\mathrm{Cov}(X_k, X_{k+1})\), puis \(\mathrm{Cov}(X_k, X_l)\) pour \(|k – l| \geq\, 2\). Les variables \(X_k\) sont-elles indépendantes ?
3. Calculer \(V(S_n)\) de deux manières.
4. Montrer que \(P(|\frac{S_n}{n}| \geq\, \varepsilon) \to 0\) pour tout \(\varepsilon > 0\).
5. Plus généralement, soit \((X_k)\) une suite de variables de même espérance \(m\), avec \(V(X_k) \leq\, C\) et \(\mathrm{Cov}(X_k, X_l) = 0\) dès que \(|k – l| \geq\, 2\). Montrer que \(P(|S_n / n – m| \geq\, \varepsilon) \leq\, \frac{3C}{n\varepsilon^2}\).

Exercice 19 : Polynômes de Bernstein

Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) continue. Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0, 1]\), on pose

\[B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n}) \binom\,{n}{k} x^k (1 – x)^{n-k}.\]

Pour \(x \in [0, 1]\), on note \(S_n\) une variable de loi binomiale \(\mathcal{B}(n, x)\).

1. Montrer que \(B_n(f)(x) = E(f(\frac{S_n}{n}))\). Calculer \(B_n(f)\) pour \(f(t) = t\) et pour \(f(t) = t^2\).
2. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(\delta > 0\) associé à \(\varepsilon\) par l’uniforme continuité de \(f\). Montrer que, pour tout \(x \in [0, 1]\) :
   \[|B_n(f)(x) – f(x)| \leq\, \varepsilon + \frac{\|f\|_{\infty}}{2 n \delta^2}.\]
3. En déduire que \((B_n(f))\) converge uniformément vers \(f\) sur \([0, 1]\).
4. On suppose \(f\) lipschitzienne de rapport \(L\). Montrer que \(\|B_n(f) – f\|_{\infty} \leq\, \frac{L}{2\sqrt{n}}\). Application à \(f(t) = |t – \frac{1}{2}|\).

Exercice 20 : Problème, le collectionneur de vignettes

Une collection comporte \(n \geq\, 2\) vignettes différentes. Chaque achat donne une vignette choisie uniformément, indépendamment des achats précédents. On note \(T_n\) le nombre d’achats nécessaires pour obtenir la collection complète. Pour \(k \in \{1, \ldots, n\}\), on note \(G_k\) le nombre d’achats effectués après l’obtention de la \((k-1)\)-ième vignette distincte jusqu’à l’obtention de la \(k\)-ième (avec \(G_1 = 1\)).

1. Justifier que \(G_k\) suit la loi géométrique de paramètre \(p_k = \frac{n – k + 1}{n}\). On admet que \(G_1, \ldots, G_n\) sont indépendantes.
2. Exprimer \(T_n\) à l’aide des \(G_k\). En déduire \(E(T_n) = n H_n\), où \(H_n = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}\).
3. Calculer \(E(T_n)\) pour \(n = 6\), puis une valeur approchée pour \(n = 50\).
4. Montrer que \(V(T_n) \leq\, n^2 \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j^2} \leq\, \frac{\pi^2 n^2}{6}\).
5. Montrer que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P(|T_n – n H_n| \geq\, \varepsilon \, n \ln n) \leq\, \frac{\pi^2}{6 \varepsilon^2 (\ln n)^2}\).
6. Rappeler que \(H_n \sim \ln n\). En déduire que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P(|\frac{T_n}{n \ln n} – 1| \geq\, \varepsilon) \to 0\) quand \(n \to +\infty\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : espérance et variance, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
• Chapitre précédent : Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
• Chapitre suivant : Fonctions génératrices
• Le même thème en maths sup : espérance et variance, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup