Anneaux, idéaux et Z/nZ : cours de maths spé en PDF.

Un anneau \((A, +, \times )\) est un groupe commutatif \((A, +)\) muni d’une loi \(\times \) associative, distributive par rapport à \(+\) et possédant un élément neutre \(1_A\). Un morphisme d’anneaux \(f : A \to B\) vérifie \(f(a + b) = f(a) + f(b)\), \(f(ab) = f(a) f(b)\) et \(f(1_A) = 1_B\).

L’anneau \(A\) est intègre s’il est commutatif, non nul et sans diviseur de zéro : \(ab = 0 \Rightarrow a = 0\) ou \(b = 0\). Un corps est un anneau commutatif non nul dont tout élément non nul est inversible.

Soit \(A_1, \ldots, A_r\) des anneaux. Le produit \(A_1 \times \cdots \times A_r\) est muni des lois composante par composante :

\[(a_1, \ldots, a_r) + (b_1, \ldots, b_r) = (a_1 + b_1, \ldots, a_r + b_r), \quad (a_1, \ldots, a_r)(b_1, \ldots, b_r) = (a_1 b_1, \ldots, a_r b_r).\]

C’est un anneau de neutre multiplicatif \((1_{A_1}, \ldots, 1_{A_r})\).

Les inversibles du produit sont les \(r\)-uplets d’inversibles : \((A_1 \times \cdots \times A_r)^{\times } = A_1^{\times } \times \cdots \times A_r^{\times }\).

Le produit \((a_i)(b_i)\) vaut \((1, \ldots, 1)\) si et seulement si \(a_i b_i = 1\) pour tout \(i\). Autrement dit, \((a_i)\) est inversible si et seulement si chaque \(a_i\) l’est, et l’inverse est \((a_i^{-1})\).

Un produit de deux anneaux non nuls n’est jamais intègre. Par exemple, dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\), on a \((1, 0) \times (0, 1) = (0, 0)\) alors que les deux facteurs sont non nuls.

Soit \(A\) un anneau commutatif. Une partie \(I\) de \(A\) est un idéal de \(A\) si :

• \(I\) est un sous-groupe de \((A, +)\) ;
• pour tout \(a \in A\) et tout \(x \in I\), on a \(ax \in I\) (propriété d’absorption).

Pour \(a \in A\), l’ensemble \(aA = \{ax,\ x \in A\}\) des multiples de \(a\) est un idéal. On l’appelle l’idéal engendré par \(a\). C’est le plus petit idéal contenant \(a\). Par exemple, \(6\mathbb{Z}\) est l’idéal de \(\mathbb{Z}\) engendré par 6. De même, \((X – 1)\mathbb{R}[X]\) est l’ensemble des polynômes réels qui s’annulent en 1.

Si un idéal \(I\) contient un inversible \(u\), alors \(1 = u^{-1} u \in I\), donc \(I = A\). Par conséquent, les seuls idéaux d’un corps \(\mathbb{K}\) sont \(\{0\}\) et \(\mathbb{K}\).

Le noyau d’un morphisme d’anneaux \(f : A \to B\), avec \(A\) commutatif, est un idéal de \(A\).

D’abord, \(\ker f\) est un sous-groupe de \((A, +)\), car \(f\) est un morphisme de groupes additifs. Ensuite, si \(x \in \ker f\) et \(a \in A\), alors \(f(ax) = f(a) f(x) = f(a) \times 0 = 0\). Donc \(ax \in \ker f\).

Si \(I\) et \(J\) sont des idéaux de \(A\), alors \(I \cap J\) et \(I + J = \{x + y,\ x \in I,\ y \in J\}\) sont des idéaux de \(A\). De plus, \(I + J\) est le plus petit idéal contenant \(I \cup J\).

Pour montrer qu’une partie \(I\) est un idéal, on dispose de deux voies.

• Vérifier directement : \(0 \in I\), stabilité par différence, puis absorption par un élément quelconque de \(A\).
• Reconnaître \(I\) comme le noyau d’un morphisme d’anneaux, par exemple d’un morphisme d’évaluation \(P \mapsto P(a)\).

Pour montrer qu’une partie n’est pas un idéal, un seul contre-exemple suffit. Souvent, on montre qu’elle contient 1 sans être égale à \(A\).

Soit \(A\) intègre et \(a, b \in A\). Alors \(a\) divise \(b\) si et seulement si \(bA \subset aA\). De plus, \(aA = bA\) si et seulement si \(a\) et \(b\) sont associés, c’est-à-dire s’il existe \(u \in A^{\times }\) tel que \(b = ua\).

La première équivalence découle de la définition, car \(bA \subset aA\) équivaut à \(b \in aA\). Pour la seconde, supposons \(aA = bA\). Il existe alors \(u, v\) tels que \(b = ua\) et \(a = vb\). Donc \(a = vua\), soit \(a(1 – vu) = 0\). Si \(a = 0\), alors \(b = 0\) et tout convient. Sinon, l’intégrité donne \(vu = 1\), donc \(u\) est inversible. La réciproque est claire.

Les idéaux de \(\mathbb{Z}\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\), avec \(n \in \mathbb{N}\). L’entier \(n\) est unique.

Soit \(I\) un idéal de \(\mathbb{Z}\). Si \(I = \{0\}\), alors \(I = 0\mathbb{Z}\). Sinon, \(I\) contient un entier strictement positif, car il est stable par passage à l’opposé. Soit \(n\) le plus petit d’entre eux. D’abord, \(n\mathbb{Z} \subset I\) par absorption. Ensuite, pour \(a \in I\), on écrit \(a = nq + r\) avec \(0 \leq\, r < n\). Alors \(r = a – nq \in I\), et la minimalité de \(n\) impose \(r = 0\). Donc \(I = n\mathbb{Z}\).

Pour \(a, b \in \mathbb{Z}\), on a \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = (a \wedge b)\mathbb{Z}\) et \(a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = (a \vee b)\mathbb{Z}\). En particulier, il existe \(u, v \in \mathbb{Z}\) tels que \(au + bv = a \wedge b\) (relation de Bézout).

Plus généralement, \(a_1\mathbb{Z} + \cdots + a_r\mathbb{Z} = (a_1 \wedge \cdots \wedge a_r)\mathbb{Z}\).

On a \(4\mathbb{Z} + 6\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\) et \(4\mathbb{Z} \cap 6\mathbb{Z} = 12\mathbb{Z}\). Sur la figure, \(2\mathbb{Z}\) est le plus petit idéal au-dessus de \(4\mathbb{Z}\) et \(6\mathbb{Z}\). De même, \(12\mathbb{Z}\) est le plus grand en dessous des deux.

On note \(\overline{k}\) la classe de \(k\) modulo \(n\). L’ensemble \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n – 1}\}\), muni de \(\overline{a} + \overline{b} = \overline{a + b}\) et \(\overline{a} \times \overline{b} = \overline{ab}\), est un anneau commutatif à \(n\) éléments. La surjection canonique \(k \mapsto \overline{k}\) est un morphisme d’anneaux de noyau \(n\mathbb{Z}\).

La classe \(\overline{k}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(k \wedge n = 1\). Dans le cas contraire, \(\overline{k}\) est nul ou diviseur de zéro.

D’abord, \(\overline{k}\) est inversible si et seulement s’il existe \(u\) tel que \(ku \equiv 1 \pmod n\). Autrement dit, il existe \(u, v\) tels que \(ku + nv = 1\). D’après le théorème de Bézout, cela équivaut à \(k \wedge n = 1\). Ensuite, si \(d = k \wedge n > 1\), on pose \(m = n/d\). Alors \(0 < m < n\), donc \(\overline{m} \neq \overline{0}\), et \(km = (k/d) n\), donc \(\overline{k}\,\overline{m} = \overline{0}\).

Pour calculer l’inverse de \(\overline{k}\) modulo \(n\), on applique l’algorithme d’Euclide étendu à \(k\) et \(n\). On obtient \(ku + nv = 1\), et l’inverse est \(\overline{u}\). Pour de petites valeurs, un essai direct des multiples de \(k\) suffit souvent.

Cherchons l’inverse de 11 modulo 26. Les divisions successives donnent \(26 = 2 \times 11 + 4\), puis \(11 = 2 \times 4 + 3\), puis \(4 = 1 \times 3 + 1\). En remontant :

\[1 = 4 – 3 = 4 – (11 – 2 \times 4) = 3 \times 4 – 11 = 3 \times 26 – 7 \times 11.\]

Donc l’inverse de \(\overline{11}\) est \(\overline{-7} = \overline{19}\). On vérifie : \(11 \times 19 = 209 = 8 \times 26 + 1\).

Pour \(n \geq\, 2\), les assertions suivantes sont équivalentes : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps ; \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est intègre ; \(n\) est premier. Lorsque \(p\) est premier, on note \(\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

Un corps est intègre. Si \(n = ab\) avec \(1 < a, b < n\), alors \(\overline{a}\,\overline{b} = \overline{0}\) avec \(\overline{a}, \overline{b}\) non nuls : l’anneau n’est pas intègre. Enfin, si \(n\) est premier, tout \(k\) non multiple de \(n\) est premier avec \(n\), donc \(\overline{k}\) est inversible.

Soit \(m, n \geq\, 1\) premiers entre eux. L’application

\[\psi : \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \quad k \bmod mn \mapsto (k \bmod m,\ k \bmod n)\]

est bien définie, et c’est un isomorphisme d’anneaux.

Si \(k \equiv k^{\prime} \pmod{mn}\), alors \(k \equiv k^{\prime}\) modulo \(m\) et modulo \(n\) : \(\psi\) est bien définie. C’est clairement un morphisme d’anneaux. Ensuite, si \(\psi(\overline{k}) = 0\), alors \(m\) et \(n\) divisent \(k\). Comme \(m \wedge n = 1\), leur produit \(mn\) divise \(k\). Donc \(\psi\) est injective. Enfin, les deux ensembles ont \(mn\) éléments, donc \(\psi\) est bijective.

Pour résoudre \(x \equiv a \pmod m\) et \(x \equiv b \pmod n\) avec \(m \wedge n = 1\) :

• on écrit une relation de Bézout \(mu + nv = 1\) ;
• on pose \(x_0 = a\,nv + b\,mu\) ; en effet, \(nv \equiv 1 \pmod m\) et \(mu \equiv 1 \pmod n\) ;
• les solutions sont exactement les \(x_0 + kmn\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Pour trois congruences ou plus, on combine les deux premières, puis on recommence.

Résolvons \(x \equiv 1 \pmod 4\) et \(x \equiv 3 \pmod 5\). On a \(4 \times (-1) + 5 \times 1 = 1\). Ainsi, \(x_0 = 1 \times 5 + 3 \times (-4) = -7\). Les solutions sont donc les \(x \equiv 13 \pmod{20}\). Vérification : \(13 = 3 \times 4 + 1\) et \(13 = 2 \times 5 + 3\).

Si \(m\) et \(n\) ne sont pas premiers entre eux, le système peut n’avoir aucune solution. Il en a si et seulement si \(a \equiv b \pmod{m \wedge n}\). Dans ce cas, les solutions forment une classe modulo \(m \vee n\).

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(\varphi(n)\) le nombre d’entiers \(k \in [\![1, n]\!]\) premiers avec \(n\). D’après la partie IV, \(\varphi(n)\) est le cardinal du groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times }\).

• Si \(p\) est premier et \(k \geq\, 1\), alors \(\varphi(p^k) = p^k – p^{k – 1}\).
• Si \(m \wedge n = 1\), alors \(\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n)\).
• Par conséquent, si \(n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}\), alors \(\varphi(n) = n \displaystyle\prod_{i = 1}^{r} (1 – \frac{1}{p_i})\).

D’abord, un entier est premier avec \(p^k\) si et seulement s’il n’est pas multiple de \(p\). Or il y a \(p^{k – 1}\) multiples de \(p\) dans \([\![1, p^k]\!]\). Ensuite, l’isomorphisme chinois \(\psi\) envoie les inversibles sur les inversibles. Avec la propriété du produit d’anneaux, \((\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^{\times }\) est en bijection avec \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times } \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times }\). Enfin, la formule générale s’obtient par récurrence sur \(r\).

Comme \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\), on obtient \(\varphi(84) = 2 \times 2 \times 6 = 24\). De même, \(\varphi(100) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = 40\).

Soit \(n \geq\, 2\) et \(a\) un entier premier avec \(n\). Alors \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\). En particulier, si \(p\) est premier et ne divise pas \(a\), alors \(a^{p – 1} \equiv 1 \pmod p\) (petit théorème de Fermat).

Le groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times }\) est commutatif et de cardinal \(\varphi(n)\). D’après le théorème de Lagrange, l’ordre de \(\overline{a}\) divise \(\varphi(n)\). Donc \(\overline{a}^{\varphi(n)} = \overline{1}\).

Pour calculer \(a^N \bmod n\) avec \(a \wedge n = 1\), on divise \(N\) par \(\varphi(n)\) : \(N = q\varphi(n) + r\). Alors \(a^N \equiv a^r \pmod n\). Mieux encore, si l’on connaît l’ordre \(\omega\) de \(\overline{a}\), il suffit de réduire \(N\) modulo \(\omega\).

Calculons \(2^{2026}\) modulo 11. Comme 11 est premier, \(2^{10} \equiv 1 \pmod{11}\). Or \(2026 = 202 \times 10 + 6\). Donc \(2^{2026} \equiv 2^6 = 64 \equiv 9 \pmod{11}\).

Tout idéal non nul \(I\) de \(\mathbb{K}[X]\) s’écrit \(I = P\,\mathbb{K}[X]\) pour un unique polynôme unitaire \(P\).

Soit \(P\) un polynôme non nul de \(I\) de degré minimal, qu’on peut rendre unitaire en le multipliant par une constante. Par absorption, \(P\,\mathbb{K}[X] \subset I\). Soit \(A \in I\) ; on écrit \(A = PQ + R\) avec \(\deg R < \deg P\). Alors \(R = A – PQ \in I\), donc \(R = 0\) par minimalité. Pour l’unicité, deux générateurs unitaires sont associés, donc égaux, car les inversibles de \(\mathbb{K}[X]\) sont les constantes non nulles.

Soit \(A, B \in \mathbb{K}[X]\) non tous deux nuls. Le PGCD \(D = A \wedge B\) est l’unique polynôme unitaire tel que \(A\,\mathbb{K}[X] + B\,\mathbb{K}[X] = D\,\mathbb{K}[X]\). En particulier, il existe \(U, V\) tels que \(AU + BV = D\).

On a \(X^4 – 1 = (X – 1)(X + 1)(X^2 + 1)\) dans \(\mathbb{R}[X]\), et \(X^4 – 1 = (X – 1)(X + 1)(X – i)(X + i)\) dans \(\mathbb{C}[X]\). Par ailleurs, \(X^4 – 1 = X(X^3 – 1) + (X – 1)\) et \(X – 1\) divise \(X^3 – 1\). Donc \((X^4 – 1) \wedge (X^3 – 1) = X – 1\).

L’ensemble \(I_a = \{P \in \mathbb{K}[X],\ P(a) = 0\}\) est le noyau du morphisme d’évaluation \(P \mapsto P(a)\). C’est donc un idéal, et ici \(I_a = (X – a)\,\mathbb{K}[X]\). Pour déterminer un idéal de \(\mathbb{K}[X]\), on cherche un polynôme de degré minimal qu’il contient, puis on vérifie qu’il divise tous les autres.

Une \(\mathbb{K}\)-algèbre est un ensemble \(A\) muni de deux lois internes \(+\) et \(\times \) et d’une loi externe \(\cdot\) telles que \((A, +, \times )\) est un anneau, \((A, +, \cdot)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel, et, pour tous \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(a, b \in A\) :

\[(\lambda \cdot a) \times b = a \times (\lambda \cdot b) = \lambda \cdot (a \times b).\]

Les ensembles \(\mathbb{K}[X]\), \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(\mathcal{L}(E)\) et \(\mathcal{F}(X, \mathbb{K})\) sont des \(\mathbb{K}\)-algèbres. Seules \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et \(\mathcal{L}(E)\), pour \(n \geq\, 2\) ou \(\dim E \geq\, 2\), ne sont pas commutatives.

Une sous-algèbre de \(A\) est une partie \(B\) qui contient \(1_A\) et qui est stable par combinaison linéaire et par produit. Un morphisme d’algèbres \(f : A \to A^{\prime}\) est une application linéaire qui est aussi un morphisme d’anneaux : \(f(ab) = f(a) f(b)\) et \(f(1_A) = 1_{A^{\prime}}\).

Pour montrer que \(B\) est une sous-algèbre de \(A\), on vérifie trois points : \(1_A \in B\), \(B\) est un sous-espace vectoriel, et \(ab \in B\) pour tous \(a, b \in B\). Une autre voie consiste à écrire \(B\) comme l’image d’un morphisme d’algèbres.

Soit \(A\) une \(\mathbb{K}\)-algèbre et \(a \in A\). L’application \(\mathrm{ev}_a : \mathbb{K}[X] \to A\), \(P \mapsto P(a)\), est un morphisme d’algèbres. Son image \(\mathbb{K}[a]\) est une sous-algèbre commutative de \(A\). Son noyau est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\), formé des polynômes annulateurs de \(a\).

Soit \(\mathcal{C} = \{ \begin{pmatrix} a -b \\ b a \end{pmatrix},\ a, b \in \mathbb{R} \}\). C’est l’image de \(\mathrm{ev}_J : \mathbb{R}[X] \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), avec \(J = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\). En effet, \(J^2 = -I_2\), donc \(X^2 + 1\) annule \(J\). Écrivons la division euclidienne \(P = (X^2 + 1)Q + a + bX\). On obtient alors \(P(J) = aI_2 + bJ\). Ainsi, \(\mathcal{C}\) est une sous-algèbre de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). De plus, \(a + ib \mapsto aI_2 + bJ\) est un isomorphisme d’algèbres de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathcal{C}\).