Variables aléatoires discrètes : cours de maths spé en PDF.

Soit \(E\) un ensemble. Une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(E\) est une application \(X : \Omega \to E\) telle que :

• l’ensemble image \(X(\Omega)\) est au plus dénombrable ;
• pour tout \(x \in X(\Omega)\), l’ensemble \(X^{-1}(\{x\}) = (X = x)\) appartient à \(\mathcal{A}\).

Lorsque \(E \subset \mathbb{R}\), on parle de variable aléatoire discrète réelle.

L’application \(P_X : A \mapsto P(X \in A)\), définie sur \(\mathcal{P}(X(\Omega))\), est une probabilité. On l’appelle la loi de \(X\). Elle est entièrement déterminée par la famille \(\big(P(X = x)\big)_{x \in X(\Omega)}\), qui est une famille de réels positifs de somme \(1\).

D’abord, \(P_X(X(\Omega)) = P(\Omega) = 1\). Ensuite, si \((A_n)\) est une suite de parties deux à deux disjointes, les événements \((X \in A_n)\) sont deux à deux disjoints. Leur réunion est \((X \in \bigcup A_n)\). La \(\sigma\)-additivité de \(P\) donne donc celle de \(P_X\). Enfin, par \(\sigma\)-additivité, \(P_X(A) = \sum_{x \in A} P(X = x)\), ce qui prouve la dernière affirmation.

Posons \(P(X = k) = \dfrac{1}{k(k+1)}\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\). Ces nombres sont positifs et, par télescopage, \(\sum_{k=1}^{n} (\dfrac{1}{k} – \dfrac{1}{k+1}) = 1 – \dfrac{1}{n+1} \to 1\). Ainsi, on définit bien une loi sur \(\mathbb{N}^*\). De plus, \(P(X \geq\, n) = \dfrac{1}{n}\) par le même calcul.

Si \(X\) est une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(E\) et \(f : E \to F\) une application, alors \(f(X) = f \circ X\) est une variable aléatoire discrète. Sa loi est donnée, pour \(y \in f(X(\Omega))\), par
\[P\big(f(X) = y\big) = \sum_{x \in X(\Omega),\ f(x) = y} P(X = x).\]

Soit \(B\) un événement tel que \(P(B) > 0\). La loi conditionnelle de \(X\) sachant \(B\) est la loi de \(X\) pour la probabilité \(P_B\) : elle est donnée par les nombres \(P(X = x \mid B)\), pour \(x \in X(\Omega)\).

Avec la loi précédente, la loi de \(X\) sachant \((X \geq\, n)\) vérifie, pour \(k \geq\, n\),
\[P(X = k \mid X \geq\, n) = \dfrac{P(X = k)}{P(X \geq\, n)} = \dfrac{n}{k(k+1)}.\]
Pour \(k < n\), cette probabilité est nulle.

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires discrètes sur \(\Omega\), le couple \(Z = (X, Y)\) est une variable aléatoire discrète. Sa loi est appelée loi conjointe de \(X\) et \(Y\). Elle est donnée par les nombres \(P(X = x, Y = y)\). Les lois de \(X\) et de \(Y\) sont les lois marginales du couple.

Pour tout \(x \in X(\Omega)\),
\[P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y).\]
De même, pour tout \(y \in Y(\Omega)\), \(P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x, Y = y)\).

Soit \(X\) à valeurs dans \(\{0, 1, 2\}\) et \(Y\) à valeurs dans \(\{0, 1\}\), de loi conjointe
\[\begin{array}{c|ccc} X = 0 X = 1 X = 2 \\ \hline Y = 0 1/12 1/6 1/4 \\ Y = 1 1/6 1/12 1/4 \end{array}\]
En sommant les colonnes, \(P(X = 0) = P(X = 1) = \dfrac14\) et \(P(X = 2) = \dfrac12\). En sommant les lignes, \(P(Y = 0) = P(Y = 1) = \dfrac12\). La figure ci-dessous représente chaque probabilité par l’aire d’un disque.

Pour la loi de \(S = X + Y\), avec \(X\) et \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on découpe selon la valeur de \(X\) :
\[P(S = n) = \sum_{k=0}^{n} P(X = k, Y = n – k).\]
Pour un maximum ou un minimum, on passe par la fonction de répartition : \((\max(X, Y) \leq\, n) = (X \leq\, n) \cap (Y \leq\, n)\) et \((\min(X, Y) > n) = (X > n) \cap (Y > n)\). Ensuite, \(P(M = n) = P(M \leq\, n) – P(M \leq\, n – 1)\).

Dans l’exemple du tableau, \(P(X + Y = 2) = P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1) = \dfrac14 + \dfrac1{12} = \dfrac13\). De même, on trouve \(P(X + Y = 0) = \dfrac1{12}\), \(P(X + Y = 1) = \dfrac13\) et \(P(X + Y = 3) = \dfrac14\).

Deux variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si, pour tout \(x \in X(\Omega)\) et tout \(y \in Y(\Omega)\),
\[P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y).\]
On note alors \(X \perp\!\!\!\perp Y\).

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors pour toutes parties \(A \subset X(\Omega)\) et \(B \subset Y(\Omega)\), \(P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)\,P(Y \in B)\). De plus, pour toutes fonctions \(f\) et \(g\), les variables \(f(X)\) et \(g(Y)\) sont indépendantes.

Les familles sont sommables, car à termes positifs de somme au plus \(1\). Par sommation par paquets,
\[P(X \in A, Y \in B) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in B} P(X = x)P(Y = y) = P(X \in A)\,P(Y \in B).\]
Ensuite, \((f(X) = u) = (X \in f^{-1}(\{u\}))\) et \((g(Y) = v) = (Y \in g^{-1}(\{v\}))\). Le premier point donne donc l’indépendance de \(f(X)\) et \(g(Y)\).

Pour prouver l’indépendance de \(X\) et \(Y\), on vérifie la factorisation de \(P(X = x, Y = y)\) pour tous les couples. Il suffit aussi d’écrire \(P(X = x, Y = y) = a_x\,b_y\) avec des réels positifs : on montre alors que \(P(X = x)\) est proportionnel à \(a_x\) et \(P(Y = y)\) à \(b_y\). Pour réfuter l’indépendance, un seul couple suffit, par exemple une probabilité conjointe nulle alors que les marginales sont non nulles.

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \((X = x)\) est la loi de \(Y\), pour tout \(x\) tel que \(P(X = x) > 0\). Autrement dit, connaître \(X\) ne renseigne pas sur \(Y\).

Des variables \(X_1, \ldots, X_n\) sont mutuellement indépendantes si, pour tous \(x_1 \in X_1(\Omega), \ldots, x_n \in X_n(\Omega)\),
\[P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i).\]
Une famille quelconque \((X_i)_{i \in I}\) est indépendante si toute sous-famille finie l’est.

L’indépendance deux à deux ne suffit pas. Par exemple, si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes de loi uniforme sur \(\{0, 1\}\) et \(Z = |X – Y|\), les trois variables sont indépendantes deux à deux, mais pas mutuellement.

Lemme des coalitions. Soit \(X_1, \ldots, X_n\) des variables mutuellement indépendantes et \(1 \leq\, m < n\). Alors, pour toutes fonctions \(f\) et \(g\), les variables \(f(X_1, \ldots, X_m)\) et \(g(X_{m+1}, \ldots, X_n)\) sont indépendantes. Le résultat s’étend à plus de deux paquets disjoints.

Posons \(U = (X_1, \ldots, X_m)\) et \(V = (X_{m+1}, \ldots, X_n)\). Pour \(u = (x_1, \ldots, x_m)\) et \(v = (x_{m+1}, \ldots, x_n)\), la définition donne
\[P(U = u, V = v) = \prod_{i=1}^{m} P(X_i = x_i) \times \prod_{i=m+1}^{n} P(X_i = x_i).\]
En sommant sur \(x_{m+1}, \ldots, x_n\), le second produit vaut \(1\) et l’on obtient \(P(U = u)\). De même pour \(P(V = v)\). Ainsi, \(U\) et \(V\) sont indépendantes. On conclut par la propriété sur \(f(U)\) et \(g(V)\).

Si \(X_1, X_2, X_3, X_4\) sont indépendantes, alors \(X_1 + X_2\) et \(X_3 X_4\) sont indépendantes. De même, \(S_{n-1} = X_1 + \cdots + X_{n-1}\) est indépendante de \(X_n\). Cette remarque sert constamment dans les récurrences sur les sommes.

Pour toute suite \((\mu_n)\) de lois discrètes, il existe un espace probabilisé et une suite \((X_n)\) de variables aléatoires indépendantes telles que \(X_n\) suit la loi \(\mu_n\) pour tout \(n\). Ce résultat est admis.

• Loi uniforme sur un ensemble fini \(E\) de cardinal \(n\) : \(P(X = x) = \dfrac1n\) pour tout \(x \in E\).
• Loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\), avec \(p \in [0, 1]\) : \(X(\Omega) \subset \{0, 1\}\), \(P(X = 1) = p\) et \(P(X = 0) = 1 – p\).
• Loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\) : \(P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n\).

Si \(X_1, \ldots, X_n\) sont indépendantes de même loi \(\mathcal{B}(p)\), alors \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) suit la loi \(\mathcal{B}(n, p)\).

L’événement \((S_n = k)\) est la réunion disjointe des \((X_1 = \varepsilon_1, \ldots, X_n = \varepsilon_n)\), pour les \(\varepsilon \in \{0, 1\}^n\) ayant exactement \(k\) coordonnées égales à \(1\). Par indépendance, chacun a pour probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\). Or il y a \(\binom\,{n}{k}\) tels \(n\)-uplets. On obtient donc la loi binomiale.

On lance \(10\) fois une pièce qui donne pile avec probabilité \(0{,}3\), et l’on note \(X\) le nombre de piles. Les lancers sont indépendants, donc \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)\). Par exemple, \(P(X = 0) = 0{,}7^{10} \approx 0{,}028\). De plus, \(10 – X\) compte les faces : il suit donc la loi \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}7)\).

Soit \(p \in \,]0, 1[\) et \(q = 1 – p\). Une variable \(X\) suit la loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) si \(X(\Omega) = \mathbb{N}^*\) et, pour tout \(k \geq\, 1\),
\[P(X = k) = p\,q^{k-1}.\]

Soit \((X_n)_{n \geq\, 1}\) une suite i.i.d. de loi \(\mathcal{B}(p)\), avec \(p \in \,]0, 1[\). On pose \(T = \min\{n \geq\, 1,\ X_n = 1\}\), avec \(T = +\infty\) si aucun succès n’a lieu. Alors \(P(T = +\infty) = 0\) et \(T\) suit la loi \(\mathcal{G}(p)\). On dit que \(T\) est le rang du premier succès.

Pour \(k \geq\, 1\), \((T = k) = (X_1 = 0) \cap \cdots \cap (X_{k-1} = 0) \cap (X_k = 1)\). Par indépendance, \(P(T = k) = q^{k-1} p\). Ensuite, \((T = +\infty)\) est l’intersection de la suite décroissante des événements \(B_n = (X_1 = 0, \ldots, X_n = 0)\). Par continuité décroissante, \(P(T = +\infty) = \lim q^n = 0\).

Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\), alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(P(X > n) = q^n\).

Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\), alors pour tous \(n, k \in \mathbb{N}\),
\[P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k).\]
Réciproquement, si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\), vérifie \(P(X > n) > 0\) pour tout \(n\) et cette relation, alors \(X\) suit une loi géométrique.

Sens direct : \((X > n + k) \subset (X > n)\), donc le quotient vaut \(\dfrac{q^{n+k}}{q^n} = q^k\). Réciproque : posons \(u_n = P(X > n)\). L’hypothèse s’écrit \(u_{n+k} = u_n u_k\), avec \(u_0 = 1\). Par récurrence, \(u_n = u_1^n\). Or \(u_n \to P(X = +\infty) = 0\) par continuité décroissante, donc \(u_1 < 1\). De plus \(u_1 > 0\). En posant \(q = u_1\), on obtient \(P(X = n) = u_{n-1} – u_n = (1 – q)q^{n-1}\).

Pour reconnaître une loi géométrique, on cherche une situation de « premier succès » dans des épreuves de Bernoulli indépendantes. Par le calcul, on vérifie que \(P(X = k) = a\,r^{k-1}\) pour \(k \geq\, 1\), avec \(0 < r < 1\). La condition de somme \(1\) impose alors \(a = 1 – r\), donc \(X \sim \mathcal{G}(1 – r)\). Si la variable commence à \(0\), on étudie \(X + 1\).

Si \(X \sim \mathcal{G}(p)\) et \(Y \sim \mathcal{G}(p^{\prime})\) sont indépendantes, alors \(P(\min(X, Y) > n) = P(X > n)P(Y > n) = \big(q(1 – p^{\prime})\big)^n\). Ainsi, \(\min(X, Y)\) suit la loi géométrique de paramètre \(1 – q(1 – p^{\prime})\).

Soit \(\lambda > 0\). Une variable \(X\) suit la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) si \(X(\Omega) = \mathbb{N}\) et, pour tout \(k \in \mathbb{N}\),
\[P(X = k) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}.\]

Si \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) sont indépendantes, alors \(X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)\).

Pour \(n \in \mathbb{N}\), par indépendance puis par la formule du binôme,
\[P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^{n} e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\mu}\dfrac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} = \dfrac{e^{-(\lambda + \mu)}}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom\,{n}{k}\lambda^k \mu^{n-k} = e^{-(\lambda + \mu)}\dfrac{(\lambda + \mu)^n}{n!}.\]

Approximation binomiale-Poisson. Soit \((p_n)\) une suite de \([0, 1]\) telle que \(n p_n \to \lambda > 0\), et \(X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)\). Alors, pour tout \(k \in \mathbb{N}\),
\[\lim_{n \to +\infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}.\]

Fixons \(k\). Pour \(n \geq\, k\),
\[P(X_n = k) = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot\dfrac{(n p_n)^k}{k!}\cdot(1 – p_n)^{n-k}.\]
Le premier facteur tend vers \(1\), et le deuxième vers \(\dfrac{\lambda^k}{k!}\). Ensuite, \(p_n \to 0\), donc \((n – k)\ln(1 – p_n) \sim -n p_n \to -\lambda\). Ainsi, \((1 – p_n)^{n-k} \to e^{-\lambda}\).

Pour reconnaître une loi de Poisson, on montre que \(P(X = k) = C\,\dfrac{a^k}{k!}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\), avec \(a > 0\). La condition de somme \(1\) impose alors \(C = e^{-a}\), donc \(X \sim \mathcal{P}(a)\). Autre signe : le rapport \(\dfrac{P(X = k)}{P(X = k – 1)}\) vaut \(\dfrac{a}{k}\). Enfin, une somme de variables de Poisson indépendantes, ou une limite de lois binomiales avec \(np_n \to a\), conduit aussi à \(\mathcal{P}(a)\).

Un standard reçoit en moyenne \(2\) appels par minute. On modélise leur nombre \(N\) par la loi \(\mathcal{P}(2)\). Ainsi, la probabilité qu’aucun appel n’arrive vaut \(e^{-2} \approx 0{,}135\). De même, \(P(N \leq\, 2) = e^{-2}(1 + 2 + 2) = 5e^{-2} \approx 0{,}677\).

L’espérance et la variance de ces lois seront calculées au chapitre suivant. Retenez déjà que le paramètre \(\lambda\) d’une loi de Poisson s’interprète comme un nombre moyen d’occurrences.