Calcul différentiel : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Dérivée selon un vecteur par la définition

Soit \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x, y) = x^{3} – 2xy^{2} + y\), le point \(a = (1, 2)\) et le vecteur \(v = (3, -1)\). On munit \(\mathbb{R}^{2}\) de sa structure euclidienne canonique.

1. Calculer les dérivées partielles \(\partial_{1} f(x, y)\) et \(\partial_{2} f(x, y)\) en tout point.
2. Calculer \(D_{v} f(a)\) en dérivant en \(0\) la fonction \(\varphi : t \mapsto f(a + tv)\).
3. Justifier que \(f\) est différentiable en \(a\) et retrouver \(D_{v} f(a)\) à l’aide des dérivées partielles.
4. Déterminer \(\nabla f(a)\), puis le vecteur unitaire \(u\) pour lequel \(D_{u} f(a)\) est maximal, ainsi que la valeur de ce maximum.

Exercice 2 : Dérivées directionnelles sans continuité

Soit \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x, y) = \dfrac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\) et \(f(0, 0) = 0\). La figure ci-dessous représente ses valeurs au voisinage de l’origine.

1. Soit \(v = (h, k) \in \mathbb{R}^{2}\). Montrer que \(D_{v} f(0, 0)\) existe et la calculer, en distinguant \(k = 0\) et \(k \neq 0\).
2. L’application \(v \mapsto D_{v} f(0, 0)\) est-elle linéaire ? Qu’en déduire ?
3. Montrer que, pour tout réel \(m\), \(f(x, mx) \to 0\) quand \(x \to 0\).
4. Calculer \(f(x, x^{2})\) pour \(x \neq 0\). La fonction \(f\) est-elle continue en \((0, 0)\) ?

Exercice 3 : Matrices jacobiennes et composition

On considère \(F : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}\) et \(G : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}\) définies par \[F(x, y, z) = ( xyz,\ x^{2} – y + z^{2} ), \qquad G(u, v) = ( u + v,\ u – v,\ uv ).\]

1. Justifier que \(F\) et \(G\) sont de classe \(C^{1}\) et calculer leurs matrices jacobiennes en tout point.
2. Écrire \(dF(a)(h_{1}, h_{2}, h_{3})\) pour \(a = (1, -1, 2)\).
3. Calculer \(J_{F \circ G}(1, 0)\) à l’aide de la règle de la chaîne.
4. Vérifier le résultat en calculant directement \(F \circ G\).

Exercice 4 : Norme euclidienne et forme quadratique

Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n \geq\, 1\) et \(N(x) = \|x\|\) la norme euclidienne.

1. Montrer que \(N\) est différentiable sur \(E \setminus \{0\}\) et que \(\nabla N(a) = \dfrac{a}{\|a\|}\).
2. Montrer que \(N\) n’est pas différentiable en \(0\).
3. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(q(x) = \langle u(x), x \rangle\). Montrer que \(q\) est différentiable sur \(E\) et que \(\nabla q(a) = (u + u^{*})(a)\), où \(u^{*}\) est l’adjoint de \(u\). Que devient cette formule si \(u\) est symétrique ?
4. Application : dans \(\mathbb{R}^{2}\), on prend pour \(u\) l’endomorphisme de matrice \(\begin{pmatrix} 1 2 \\ 0 3 \end{pmatrix}\) dans la base canonique. Expliciter \(q(x, y)\) et vérifier la formule du gradient.

Exercice 5 : Une fonction de classe C¹ par ses dérivées partielles

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par \(f(x, y) = \dfrac{xy(x^{2} – y^{2})}{x^{2} + y^{2}}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\) et \(f(0, 0) = 0\). Son graphe est représenté ci-dessous.

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{2} \setminus \{(0, 0)\}\) et calculer \(\partial_{x} f(x, y)\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\).
2. Vérifier que \(f(y, x) = -f(x, y)\) et en déduire \(\partial_{y} f(x, y)\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\).
3. Calculer \(\partial_{x} f(0, 0)\) et \(\partial_{y} f(0, 0)\).
4. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{2}\).
5. Calculer \(\partial_{x} f(0, y)\) et \(\partial_{y} f(x, 0)\) pour \(x, y\) réels.

Exercice 6 : Dérivée le long d’un cercle

Soit \(f(x, y) = x^{2} + xy + y^{2}\) et \(\gamma(t) = (\cos t, \sin t)\) pour \(t \in \mathbb{R}\).

1. Calculer \(\nabla f(x, y)\), puis \((f \circ \gamma)^{\prime}(t)\) par la règle de la chaîne.
2. Retrouver ce résultat en calculant directement \(f(\gamma(t))\).
3. En déduire les valeurs maximale et minimale de \(f\) sur le cercle unité, ainsi que les points où elles sont atteintes.
4. Vérifier qu’en un point où le maximum est atteint, \(\nabla f\) est colinéaire au vecteur position. Interpréter.

Exercice 7 : Gradient et tangente à une ellipse

Soit \(f(x, y) = x^{2} + 4y^{2}\), la ligne de niveau \(\mathcal{C} = \{ (x, y) : f(x, y) = 8 \}\) et le point \(A = (2, 1)\).

1. Vérifier que \(A \in \mathcal{C}\) et calculer \(\nabla f(A)\).
2. Déterminer \(T_{A} \mathcal{C}\), puis une équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) en \(A\).
3. On paramètre \(\mathcal{C}\) par \(\gamma(t) = (2\sqrt{2} \cos t, \sqrt{2} \sin t)\). Vérifier directement que \(\langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle = 0\) pour tout \(t\), et expliquer ce résultat sans calcul.
4. Dans quelle direction unitaire \(f\) croît-elle le plus vite à partir de \(A\) ? Avec quelle dérivée directionnelle ?

Exercice 8 : Plan tangent à un ellipsoïde

Soit \(\mathcal{S}\) l’ellipsoïde d’équation \(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 6\) dans \(\mathbb{R}^{3}\) euclidien.

1. Vérifier que \(A = (1, 1, 1) \in \mathcal{S}\) et déterminer une équation du plan tangent à \(\mathcal{S}\) en \(A\).
2. Justifier que le plan tangent est défini en tout point de \(\mathcal{S}\).
3. Déterminer les points de \(\mathcal{S}\) en lesquels le plan tangent est parallèle au plan d’équation \(x + y + z = 0\), et donner une équation de ces plans tangents.

Exercice 9 : Plan tangent à la selle de cheval

Soit \(\mathcal{S}\) la surface d’équation \(z = x^{2} – y^{2}\).

1. Écrire \(\mathcal{S}\) comme une ligne de niveau d’une fonction \(g\) de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}^{3}\), et vérifier que \(dg\) ne s’annule pas sur \(\mathcal{S}\).
2. Déterminer une équation du plan tangent \(P_{a,b}\) à \(\mathcal{S}\) au point \((a, b, a^{2} – b^{2})\).
3. Déterminer \(P_{0,0}\) et l’intersection \(\mathcal{S} \cap P_{0,0}\).
4. Déterminer \(P_{1,1}\) et montrer que \(\mathcal{S} \cap P_{1,1}\) est la réunion de deux droites que l’on précisera.

Exercice 10 : Équation de transport et changement de variables linéaire

On cherche les fonctions \(f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\) de classe \(C^{1}\) telles que \[\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad 3\, \partial_{x} f(x, y) + 2\, \partial_{y} f(x, y) = 0. \qquad (\mathcal{E})\]

1. Montrer que \(\psi : (x, y) \mapsto (2x – 3y, y)\) est une bijection linéaire de \(\mathbb{R}^{2}\) et expliciter \(\psi^{-1}\).
2. Pour \(f\) de classe \(C^{1}\), on pose \(g = f \circ \psi^{-1}\). Exprimer \(\partial_{v} g(u, v)\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\).
3. Résoudre \((\mathcal{E})\).
4. Déterminer la solution de \((\mathcal{E})\) qui vérifie \(f(x, 0) = \sin x\) pour tout réel \(x\). Interpréter géométriquement les lignes de niveau des solutions.

Exercice 11 : Coordonnées polaires sur un demi-plan

Soit \(U = ]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\), \(V = ]0, +\infty[ \times ]-\pi/2, \pi/2[\) et \(\Phi(r, \theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta)\).

1. Montrer que \(\Phi\) est une bijection de \(V\) sur \(U\), de classe \(C^{1}\), dont la réciproque \((x, y) \mapsto ( \sqrt{x^{2} + y^{2}}, \arctan(y/x) )\) est de classe \(C^{1}\).
2. Pour \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^{1}\), on pose \(g = f \circ \Phi\). Exprimer \(r\, \partial_{r} g(r, \theta)\) et \(\partial_{\theta} g(r, \theta)\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\).
3. Déterminer les fonctions \(f\) de classe \(C^{1}\) sur \(U\) telles que \(x\, \partial_{x} f + y\, \partial_{y} f = x^{2} + y^{2}\) sur \(U\).

Exercice 12 : Fonctions homogènes et relation d’Euler

Soit \(n \geq\, 1\), \(U = \mathbb{R}^{n} \setminus \{0\}\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\). Une fonction \(f : U \to \mathbb{R}\) est dite homogène de degré \(\alpha\) si \(f(tx) = t^{\alpha} f(x)\) pour tous \(x \in U\) et \(t > 0\). On suppose \(f\) de classe \(C^{1}\) sur \(U\).

1. Montrer que si \(f\) est homogène de degré \(\alpha\), alors \(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\, \partial_{i} f(x) = \alpha f(x)\) pour tout \(x \in U\).
2. Réciproquement, on suppose cette relation vérifiée. Pour \(x \in U\) fixé, étudier \(\varphi(t) = t^{-\alpha} f(tx)\) sur \(]0, +\infty[\) et conclure.
3. Vérifier la relation d’Euler pour \(f(x, y) = \dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}}\) en calculant ses dérivées partielles.
4. On prolonge cette fonction par \(f(0, 0) = 0\). Montrer qu’une fonction homogène de degré \(1\) sur \(\mathbb{R}^{n}\), différentiable en \(0\), est linéaire. En déduire que ce prolongement n’est pas différentiable en \((0, 0)\), bien qu’il y soit continu.

Exercice 13 : Différentielle du déterminant

On note \(C_{1}, \ldots, C_{n}\) les colonnes d’une matrice \(A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(H_{1}, \ldots, H_{n}\) celles de \(H\).

1. Pour \(n = 2\), calculer directement \(d(\det)(A)(H)\) et vérifier que \(d(\det)(A)(H) = \operatorname{tr}( \operatorname{com}(A)^{T} H )\).
2. Dans le cas général, justifier que \(d(\det)(A)(H) = \sum_{j=1}^{n} \det(C_{1}, \ldots, H_{j}, \ldots, C_{n})\). En déduire \(d(\det)(I_{n})(H) = \operatorname{tr} H\).
3. Soit \(A \in GL_{n}(\mathbb{R})\). En écrivant \(\det(A + H) = \det(A) \det(I_{n} + A^{-1} H)\), montrer que \(d(\det)(A)(H) = \det(A) \operatorname{tr}(A^{-1} H)\).
4. Soit \(B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(\delta(t) = \det(\exp(tB))\). Montrer que \(\delta^{\prime}(t) = \operatorname{tr}(B)\, \delta(t)\), puis que \(\det(\exp(tB)) = e^{t \operatorname{tr} B}\).

Exercice 14 : Différentielle de l’inversion matricielle

On munit \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) d’une norme sous-multiplicative \(\|\cdot\|\) et on note \(\varphi(A) = A^{-1}\) sur \(GL_{n}(\mathbb{R})\).

1. Montrer que \(GL_{n}(\mathbb{R})\) est ouvert et que \(\varphi\) est de classe \(C^{1}\).
2. En différentiant \(A \varphi(A) = I_{n}\), montrer que \(d\varphi(A)(H) = -A^{-1} H A^{-1}\).
3. Retrouver ce résultat directement : vérifier que, si \(A + H\) est inversible, \[(A + H)^{-1} – A^{-1} + A^{-1} H A^{-1} = (A + H)^{-1} H A^{-1} H A^{-1},\] puis conclure.
4. Calculer la différentielle de \(A \mapsto A^{2}\) sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), puis celle de \(A \mapsto A^{-2}\) sur \(GL_{n}(\mathbb{R})\).
5. Soit \(M : \mathbb{R} \to GL_{n}(\mathbb{R})\) de classe \(C^{1}\). Exprimer la dérivée de \(t \mapsto M(t)^{-1}\), puis la vérifier pour \(M(t) = \begin{pmatrix} 1 t \\ 0 1 \end{pmatrix}\).

Exercice 15 : Produit vectoriel et loi des aires

On se place dans \(\mathbb{R}^{3}\) euclidien orienté, muni du produit vectoriel \(\wedge\).

1. Justifier que \(B : (x, y) \mapsto x \wedge y\) est différentiable sur \(\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}\) et donner \(dB(a, b)(h, k)\).
2. Soit \(\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}\) deux fois dérivable. Montrer que \(( \gamma \wedge \gamma^{\prime} )^{\prime} = \gamma \wedge \gamma^{\prime\prime}\).
3. On suppose que \(\gamma^{\prime\prime}(t)\) est colinéaire à \(\gamma(t)\) pour tout \(t\). Montrer que \(L = \gamma \wedge \gamma^{\prime}\) est constant, puis que, si \(L \neq 0\), la trajectoire est contenue dans un plan que l’on précisera.
4. Exemple : \(\gamma(t) = (\cos t, 2 \sin t, 0)\). Vérifier l’hypothèse de la question 3 et calculer \(L\). On admet que l’aire balayée par le segment \([0, \gamma(t)]\) entre les instants \(t_{1}\) et \(t_{2}\) vaut \(\dfrac{1}{2} \|L\| (t_{2} – t_{1})\) : que vaut-elle ici ?

Exercice 16 : Inégalité des accroissements finis

Soit \(f(x, y) = \sin x \cos y\) sur \(\mathbb{R}^{2}\), muni de la norme euclidienne.

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^{1}\), calculer \(\nabla f(x, y)\) et montrer que \(\|\nabla f(x, y)\| \leq\, 1\).
2. Soit \(a, b \in \mathbb{R}^{2}\). À l’aide de l’intégrale de \(df\) le long du segment \([a, b]\), montrer que \(|f(b) – f(a)| \leq\, \|b – a\|\).
3. Montrer que la constante \(1\) est optimale.
4. En déduire que, pour tous réels \(x, x^{\prime}, y, y^{\prime}\), \(|\sin x \cos y – \sin x^{\prime} \cos y^{\prime}| \leq\, \sqrt{(x – x^{\prime})^{2} + (y – y^{\prime})^{2}}\).

Exercice 17 : Dérivée partielle nulle sur un ouvert non convexe

Soit \(U = \mathbb{R}^{2} \setminus ( \{0\} \times [0, +\infty[ )\), le plan privé d’une demi-droite verticale, représenté ci-dessous.

1. Montrer que \(U\) est un ouvert connexe par arcs.
2. Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) différentiable telle que \(df = 0\) sur \(U\). Que peut-on dire de \(f\) ?
3. On définit \(f\) sur \(U\) par \(f(x, y) = y^{2}\) si \(x > 0\) et \(y > 0\), et \(f(x, y) = 0\) sinon. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(U\) et que \(\partial_{x} f = 0\) sur \(U\), mais que \(f\) ne dépend pas que de \(y\).
4. Soit \(W\) un ouvert de \(\mathbb{R}^{2}\) tel que, pour tout \(y\), l’ensemble \(\{ x : (x, y) \in W \}\) soit un intervalle. Montrer que si \(g\) est différentiable sur \(W\) avec \(\partial_{x} g = 0\), alors \(g(x, y)\) ne dépend que de \(y\). Pourquoi \(U\) ne vérifie-t-il pas cette hypothèse ?

Exercice 18 : Espaces tangents à la sphère et aux groupes de matrices

1. Soit \(E\) euclidien et \(S = \{ x \in E : \|x\| = 1 \}\). Montrer, à l’aide de la seule définition, que \(T_{x} S = x^{\perp}\) pour tout \(x \in S\).
2. Retrouver ce résultat avec le théorème sur l’espace tangent à une ligne de niveau.
3. Montrer que l’espace tangent en \(I_{n}\) au groupe orthogonal \(O_{n}(\mathbb{R})\) est l’espace \(\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})\) des matrices antisymétriques. On pourra utiliser \(t \mapsto \exp(tA)\).
4. Soit \(SL_{n}(\mathbb{R}) = \{ M : \det M = 1 \}\). Déterminer \(T_{I_{n}} SL_{n}(\mathbb{R})\) à l’aide de l’exercice 13.

Exercice 19 : Espace tangent en un point singulier

Soit \(X = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} : xy = 0 \}\), réunion des deux axes, et \(g(x, y) = xy\).

1. Montrer que \(T_{(0,0)} X = X\). Est-ce un sous-espace vectoriel ?
2. Calculer \(dg(0, 0)\). Pourquoi le théorème sur les lignes de niveau ne s’applique-t-il pas ?
3. Déterminer \(T_{(1,0)} X\) par la définition, puis par le théorème.
4. Soit \(Y = \{ (x, y) : y = |x| \}\). Montrer que \(T_{(0,0)} Y = \{ (0, 0) \}\).

Exercice 20 : Problème : différentiabilité des normes usuelles

Sur \(\mathbb{R}^{2}\), on note \(N_{1}(x, y) = |x| + |y|\), \(N_{\infty}(x, y) = \max(|x|, |y|)\) et \(N_{2}(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).

1. Soit \(N\) une norme quelconque sur un espace \(E \neq \{0\}\) de dimension finie. Montrer que \(N\) n’est pas différentiable en \(0\).
2. Montrer que \(N_{1}\) est différentiable en \((a, b)\) si et seulement si \(ab \neq 0\), et calculer alors \(\nabla N_{1}(a, b)\).
3. Montrer que \(N_{\infty}\) est différentiable en \((a, b)\) si et seulement si \(|a| \neq |b|\), et calculer alors \(dN_{\infty}(a, b)\).
4. Rappeler où \(N_{2}\) est différentiable. Décrire géométriquement, pour chacune des trois normes, l’ensemble des points de non-différentiabilité.
5. Montrer que, en tout point \(p\) où \(N_{1}\) est différentiable, \(dN_{1}(p)(p) = N_{1}(p)\). Généraliser à une norme quelconque différentiable en \(p \neq 0\).

Exercice 21 : Problème : fonctions radiales

Soit \(U = \mathbb{R}^{2} \setminus \{(0, 0)\}\) et \(\Phi(r, \theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta)\) pour \((r, \theta) \in ]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\). Pour \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^{1}\), on pose \(g = f \circ \Phi\).

1. Justifier que \(\Phi\) est surjective de \(]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\) sur \(U\), que \(g\) est de classe \(C^{1}\), et exprimer \(\partial_{\theta} g\) et \(r\, \partial_{r} g\) en fonction des dérivées partielles de \(f\).
2. Montrer l’équivalence entre : (i) \(y\, \partial_{x} f = x\, \partial_{y} f\) sur \(U\) ; (ii) il existe \(h\) de classe \(C^{1}\) sur \(]0, +\infty[\) telle que \(f(x, y) = h( \sqrt{x^{2} + y^{2}} )\) sur \(U\).
3. On suppose (ii). Montrer que \(\nabla f(x, y) = \dfrac{h^{\prime}(r)}{r} (x, y)\) avec \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\). Décrire les lignes de niveau de \(f\).
4. Déterminer les fonctions radiales \(f\) de classe \(C^{1}\) sur \(U\) telles que \(x\, \partial_{x} f + y\, \partial_{y} f = (x^{2} + y^{2}) f\).
5. Déterminer toutes les fonctions \(f\) de classe \(C^{1}\) sur \(U\) telles que \(\nabla f(x, y) = \dfrac{(x, y)}{(x^{2} + y^{2})^{3/2}}\).

Exercice 22 : Problème : un champ qui n’est pas un gradient

Sur \(U = \mathbb{R}^{2} \setminus \{(0, 0)\}\), on considère le champ \(V = (P, Q)\) défini par \[P(x, y) = \dfrac{-y}{x^{2} + y^{2}}, \qquad Q(x, y) = \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}.\] La figure ci-dessous représente la direction de ce champ, qui « tourne » autour de l’origine.

1. Vérifier que \(\partial_{y} P = \partial_{x} Q\) sur \(U\).
2. On suppose qu’il existe \(f\) de classe \(C^{1}\) sur \(U\) telle que \(\nabla f = V\). En intégrant \(df\) le long de \(\gamma(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)\), \(t \in [0, 1]\), aboutir à une contradiction.
3. Soit \(H = ]0, +\infty[ \times \mathbb{R}\). Montrer que \(f_{0}(x, y) = \arctan(y/x)\) vérifie \(\nabla f_{0} = V\) sur \(H\), puis déterminer toutes les fonctions \(f\) de classe \(C^{1}\) sur \(H\) telles que \(\nabla f = V\).
4. Soit \(U^{\prime} = \mathbb{R}^{2} \setminus ( ]-\infty, 0] \times \{0\} )\) et \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\). Montrer que \(x + r > 0\) sur \(U^{\prime}\), puis que \(\theta(x, y) = 2 \arctan( \dfrac{y}{x + r} )\) vérifie \(\nabla \theta = V\) sur \(U^{\prime}\).
5. Conclure : de quoi dépend l’existence d’une fonction dont \(V\) est le gradient ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : calcul différentiel, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Compacité, connexité par arcs et dimension finie, Fonctions vectorielles d'une variable réelle
• Chapitre précédent : Exponentielle de matrice et systèmes différentiels
• Chapitre suivant : Fonctions de classe C^k et optimisation
• Le même thème en L3 : calcul différentiel, exercices de maths en L3
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup