Séries entières : cours de maths spé en PDF.

On appelle série entière de la variable complexe \(z\) toute série de fonctions \(\sum a_{n} z^{n}\), où \((a_{n})\) est une suite complexe. Les \(a_{n}\) sont ses coefficients. Lorsque la série converge, on note \(S(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} z^{n}\) sa somme.

La série géométrique \(\sum z^{n}\) converge si et seulement si \(|z| < 1\), et sa somme vaut alors \(\dfrac{1}{1-z}\). De même, la série exponentielle \(\sum \dfrac{z^{n}}{n!}\) converge pour tout \(z \in \mathbb{C}\). Enfin, \(\sum n!\, z^{n}\) ne converge qu’en \(z = 0\), car son terme général ne tend pas vers \(0\) dès que \(z \neq 0\).

Lemme d’Abel. Soit \(z_{0} \in \mathbb{C}\) tel que la suite \((a_{n} z_{0}^{n})\) soit bornée. Alors, pour tout \(z\) tel que \(|z| < |z_{0}|\), la série \(\sum a_{n} z^{n}\) converge absolument.

Soit \(M\) tel que \(|a_{n} z_{0}^{n}| \leq\, M\) pour tout \(n\). Si \(|z| < |z_{0}|\), alors \(z_{0} \neq 0\) et \[|a_{n} z^{n}| = |a_{n} z_{0}^{n}| | \dfrac{z}{z_{0}} |^{n} \leq\, M q^{n}, \quad \text{avec } q = | \dfrac{z}{z_{0}} | < 1.\] Or la série géométrique \(\sum M q^{n}\) converge. Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum |a_{n} z^{n}|\) converge donc.

Le rayon de convergence de \(\sum a_{n} z^{n}\) est \[R = \sup \{ r \geq\, 0 \ : \ (a_{n} r^{n}) \text{ est bornée} \} \in [0, +\infty].\] Le disque \(D(0, R) = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < R \}\) est le disque ouvert de convergence. Pour une variable réelle, \(]-R, R[\) est l’intervalle ouvert de convergence.

Soit \(R\) le rayon de \(\sum a_{n} z^{n}\). Si \(|z| < R\), la série converge absolument. Si \(|z| > R\), la suite \((a_{n} z^{n})\) n’est pas bornée, donc la série diverge grossièrement. Sur le cercle \(|z| = R\), on ne peut rien dire en général.

Les trois séries \(\sum z^{n}\), \(\sum \dfrac{z^{n}}{n}\) et \(\sum \dfrac{z^{n}}{n^{2}}\) ont toutes pour rayon \(1\). Pourtant, la première diverge en tout point du cercle unité. La deuxième diverge en \(z = 1\) mais converge en \(z = -1\). Enfin, la troisième converge absolument sur tout le cercle.

Soient \(\sum a_{n} z^{n}\) et \(\sum b_{n} z^{n}\) de rayons \(R_{a}\) et \(R_{b}\).

• Si \(a_{n} = O(b_{n})\), en particulier si \(a_{n} = o(b_{n})\) ou si \(|a_{n}| \leq\, |b_{n}|\), alors \(R_{a} \geq\, R_{b}\).
• Si \(a_{n} \sim b_{n}\), alors \(R_{a} = R_{b}\).
• Pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), la série \(\sum n^{\alpha} a_{n} z^{n}\) a le même rayon que \(\sum a_{n} z^{n}\).

Si \(a_{n} = O(b_{n})\) et si \((b_{n} r^{n})\) est bornée, alors \((a_{n} r^{n})\) l’est aussi. Donc tout \(r\) admissible pour \(b\) l’est pour \(a\), d’où \(R_{a} \geq\, R_{b}\). L’équivalence donne les deux dominations, donc l’égalité. Pour le dernier point, prenons \(r < r^{\prime} < R_{a}\). On a \(n^{\alpha} a_{n} r^{n} = a_{n} r^{\prime n} \cdot n^{\alpha} (r/r^{\prime})^{n}\), qui tend vers \(0\) par croissances comparées. Ainsi le rayon de \(\sum n^{\alpha} a_{n} z^{n}\) vaut au moins \(R_{a}\). Enfin, on conclut par symétrie en changeant \(\alpha\) en \(-\alpha\).

Supposons \(a_{n} \neq 0\) à partir d’un certain rang et \(| \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} | \to \ell \in [0, +\infty]\). Alors le rayon de \(\sum a_{n} z^{n}\) vaut \(R = \dfrac{1}{\ell}\), avec les conventions \(1/0 = +\infty\) et \(1/(+\infty) = 0\).

Fixons \(z \neq 0\). On a \(| \dfrac{a_{n+1} z^{n+1}}{a_{n} z^{n}} | \to \ell |z|\). D’après la règle de d’Alembert pour les séries numériques, la série converge absolument si \(\ell |z| < 1\). De plus, elle diverge grossièrement si \(\ell |z| > 1\). Par conséquent, \(R = 1/\ell\).

Déterminer un rayon de convergence.

• D’abord, simplifier les coefficients par un équivalent et utiliser la comparaison.
• Ensuite, si les coefficients sont des quotients de factorielles ou de puissances, appliquer d’Alembert au rapport \(|a_{n+1}/a_{n}|\).
• Pour une série lacunaire comme \(\sum a_{n} z^{2n}\), appliquer d’Alembert directement à la série numérique \(\sum |a_{n} z^{2n}|\), à \(z\) fixé.
• Enfin, si rien ne marche, encadrer \(R\) en cherchant les \(r\) pour lesquels \((a_{n} r^{n})\) est bornée.

Pour \(\sum \dfrac{z^{2n}}{4^{n}}\), on ne peut pas écrire \(a_{n+1}/a_{n}\), car les coefficients impairs sont nuls. À \(z \neq 0\) fixé, posons \(u_{n} = \dfrac{|z|^{2n}}{4^{n}}\). Alors \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{|z|^{2}}{4}\). Il y a donc convergence si \(|z| < 2\) et divergence si \(|z| > 2\). Finalement, le rayon vaut \(2\).

La règle de d’Alembert n’est qu’une condition suffisante. Par exemple, pour \(a_{n} = 2 + (-1)^{n}\), le rapport \(a_{n+1}/a_{n}\) n’a pas de limite. Pourtant, \(1 \leq\, a_{n} \leq\, 3\) montre par comparaison que \(R = 1\).

Soient \(\sum a_{n} z^{n}\) et \(\sum b_{n} z^{n}\) de rayons \(R_{a}\) et \(R_{b}\). Le rayon \(R\) de \(\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}\) vérifie \(R \geq\, \min(R_{a}, R_{b})\), avec égalité si \(R_{a} \neq R_{b}\). De plus, pour \(|z| < \min(R_{a}, R_{b})\), la somme de la série somme est la somme des sommes.

Si \(R_{a} = R_{b}\), le rayon de la somme peut être strictement plus grand. Par exemple, avec \(a_{n} = 1\) et \(b_{n} = -1\), les deux rayons valent \(1\), mais la série somme est nulle et son rayon est infini.

Le produit de Cauchy de \(\sum a_{n} z^{n}\) et \(\sum b_{n} z^{n}\) est la série entière \(\sum c_{n} z^{n}\), où \[c_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}.\]

Le rayon de \(\sum c_{n} z^{n}\) est au moins \(\min(R_{a}, R_{b})\). De plus, pour \(|z| < \min(R_{a}, R_{b})\), \[\sum_{n=0}^{+\infty} c_{n} z^{n} = ( \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} z^{n} ) ( \sum_{n=0}^{+\infty} b_{n} z^{n} ).\]

Pour \(|z| < \min(R_{a}, R_{b})\), les deux séries \(\sum a_{n} z^{n}\) et \(\sum b_{n} z^{n}\) convergent absolument. Or le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge absolument, et sa somme est le produit des sommes. Il suffit alors de remarquer que \(\sum_{k=0}^{n} a_{k} z^{k} b_{n-k} z^{n-k} = c_{n} z^{n}\). Ainsi la série \(\sum c_{n} z^{n}\) converge en tout point du disque, ce qui donne la minoration du rayon.

Élevons au carré la série géométrique. Ici \(a_{k} = b_{k} = 1\), donc \(c_{n} = n + 1\). Par conséquent, pour \(|z| < 1\), \[\dfrac{1}{(1-z)^{2}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) z^{n}.\]

Soit \(\sum a_{n} z^{n}\) de rayon \(R > 0\). Pour tout \(r \in [0, R[\), la série converge normalement sur le disque fermé \(\overline{D}(0, r)\). Par conséquent, sa somme \(S\) est continue sur le disque ouvert \(D(0, R)\).

Si \(|z| \leq\, r\), alors \(|a_{n} z^{n}| \leq\, |a_{n}| r^{n}\). Or \(r < R\), donc \(\sum |a_{n}| r^{n}\) converge : c’est la convergence normale. Chaque fonction \(z \mapsto a_{n} z^{n}\) est continue, donc \(S\) est continue sur chaque \(\overline{D}(0, r)\). Enfin, tout point de \(D(0, R)\) est intérieur à un tel disque fermé, ce qui prouve la continuité sur \(D(0, R)\).

Il n’y a pas en général convergence uniforme sur tout le disque ouvert. Par exemple, \(\sum x^{n}\) ne converge pas uniformément sur \(]-1, 1[\). En effet, sa somme \(\dfrac{1}{1-x}\) n’est pas bornée, alors que chaque somme partielle l’est.

Théorème d’Abel radial. Soit \(\sum a_{n} x^{n}\) une série entière de rayon \(R \in ]0, +\infty[\). Si la série numérique \(\sum a_{n} R^{n}\) converge, alors \[\lim_{x \to R^{-}} \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} R^{n}.\] Autrement dit, la somme \(S\) est continue sur \(]-R, R]\).

Pour \(x \in ]-1, 1[\), on a \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\). En \(x = 1\), la série converge d’après le critère des séries alternées. Le théorème d’Abel radial et la continuité du logarithme donnent donc \[\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2.\]

La réciproque est fausse. Par exemple, \(\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} x^{n} = \dfrac{1}{1+x}\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\) quand \(x \to 1^{-}\). Pourtant, la série \(\sum (-1)^{n}\) diverge.

Les séries entières \(\sum a_{n} z^{n}\), \(\sum n a_{n} z^{n-1}\) et \(\sum \dfrac{a_{n}}{n+1} z^{n+1}\) ont le même rayon de convergence.

Soit \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}\) de rayon \(R > 0\).

• Intégration terme à terme. La fonction \(x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}\) est la primitive de \(S\) sur \(]-R, R[\) qui s’annule en \(0\).
• Dérivation terme à terme. La fonction \(S\) est de classe \(C^{1}\) sur \(]-R, R[\) et \(S^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_{n} x^{n-1}\).
• Par récurrence, \(S\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(]-R, R[\) et, pour tout \(k\), \[S^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{n!}{(n-k)!} a_{n} x^{n-k}.\]

La série dérivée \(\sum n a_{n} x^{n-1}\) a le rayon \(R\). Elle converge donc normalement sur tout segment \([-r, r] \subset ]-R, R[\). Par ailleurs, \(\sum a_{n} x^{n}\) converge simplement sur ce segment. Le théorème de dérivation des séries de fonctions s’applique : \(S\) est \(C^{1}\) sur \([-r, r]\), de dérivée la somme de la série dérivée. Ceci valant pour tout \(r < R\), on conclut sur \(]-R, R[\). De même, la série primitive a pour dérivée \(S\), ce qui donne l’intégration.

Pour \(x \in ]-1, 1[\), on a \(\dfrac{1}{1+x^{2}} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} x^{2n}\). En intégrant terme à terme de \(0\) à \(x\), on obtient \[\operatorname{Arctan} x = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1}, \quad x \in ]-1, 1[.\] De plus, en \(x = 1\), la série converge par le critère des séries alternées. Par le théorème d’Abel radial, \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} = \dfrac{\pi}{4}\).

Si \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}\) sur \(]-R, R[\) avec \(R > 0\), alors pour tout \(n\), \[a_{n} = \dfrac{S^{(n)}(0)}{n!}.\] En particulier, si deux séries entières ont la même somme sur un intervalle \(]-r, r[\) avec \(r > 0\), alors elles ont les mêmes coefficients : c’est l’unicité des coefficients.

Dans la formule de \(S^{(k)}(x)\), on fait \(x = 0\). Seul le terme d’indice \(n = k\) subsiste, et il vaut \(k!\, a_{k}\). Pour l’unicité, la différence des deux séries est de somme nulle sur \(]-r, r[\). Ses dérivées en \(0\) sont donc toutes nulles, donc ses coefficients aussi.

Identifier par unicité des coefficients. Pour établir une identité entre suites, on écrit une même fonction de deux façons comme somme d’une série entière, puis on identifie les coefficients. Par exemple, \((1+x)^{p} (1+x)^{q} = (1+x)^{p+q}\) donne, par produit de Cauchy, la formule de Vandermonde \(\sum_{k=0}^{n} \binom\,{p}{k} \binom\,{q}{n-k} = \binom\,{p+q}{n}\). De même, une somme paire sur \(]-R, R[\) a tous ses coefficients impairs nuls.

Soit \(r > 0\). Une fonction \(f\) définie sur \(]-r, r[\) est développable en série entière (DSE) sur \(]-r, r[\) s’il existe une série entière \(\sum a_{n} x^{n}\) de rayon au moins \(r\) telle que \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n}\) pour tout \(x \in ]-r, r[\).

Une fonction \(C^{\infty}\) n’est pas toujours DSE. La fonction \(f\) définie par \(f(x) = e^{-1/x^{2}}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\) est \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), et toutes ses dérivées en \(0\) sont nulles. Sa série de Taylor est donc nulle, alors que \(f\) ne l’est sur aucun voisinage de \(0\).

Si \(f\) est \(C^{\infty}\) sur \(]-r, r[\) et si le reste \(f(x) – \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k}\) tend vers \(0\) pour tout \(x\), alors \(f\) est DSE sur \(]-r, r[\). On contrôle souvent ce reste par l’inégalité de Taylor-Lagrange.

Pour \(f = \exp\) et \(x\) réel fixé, toutes les dérivées valent \(\exp\). L’inégalité de Taylor-Lagrange donne \[| e^{x} – \sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^{k}}{k!} | \leq\, \dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} e^{|x|} \xrightarrow[n \to +\infty]{ 0.\] Par conséquent, \(e^{x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}\) pour tout réel \(x\).

• \(e^{z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^{n}}{n!}\), \(\operatorname{ch} x = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\), \(\operatorname{sh} x = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) : rayon infini.
• \(\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n)!}\), \(\sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) : rayon infini.
• \(\dfrac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^{n}\) et \(\dfrac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n} x^{n}\) : rayon \(1\).
• \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\) et \(-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{n}}{n}\) : rayon \(1\).
• \(\operatorname{Arctan} x = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1}\) : rayon \(1\).
• Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), \((1+x)^{\alpha} = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^{n}\) : rayon \(1\) si \(\alpha \notin \mathbb{N}\).

Démontrons le développement du binôme, qui repose sur une équation différentielle. Posons \(f(x) = (1+x)^{\alpha}\) sur \(]-1, 1[\) : elle vérifie \((1+x) f^{\prime} = \alpha f\) et \(f(0) = 1\). Cherchons \(S(x) = \sum a_{n} x^{n}\) vérifiant la même équation. En identifiant les coefficients de \(x^{n}\), il vient \((n+1) a_{n+1} + n a_{n} = \alpha a_{n}\), soit \(a_{n+1} = \dfrac{\alpha – n}{n+1} a_{n}\). Avec \(a_{0} = 1\), on trouve les coefficients annoncés. Si \(\alpha \notin \mathbb{N}\), ils sont non nuls et \(|a_{n+1}/a_{n}| \to 1\), donc le rayon vaut \(1\) par d’Alembert. Ensuite, \(S\) et \(f\) résolvent le même problème de Cauchy linéaire sur \(]-1, 1[\). Par unicité de la solution, \(S = f\).

Développer une fonction en série entière.

• Par opérations : combinaison linéaire, produit de Cauchy, substitution de \(ax\) ou de \(x^{2}\) dans un développement usuel. On décompose d’abord une fraction rationnelle en éléments simples.
• Par dérivation ou intégration : si \(f^{\prime}\) se développe facilement, on intègre terme à terme sans oublier la constante \(f(0)\).
• Par équation différentielle : on trouve une équation linéaire vérifiée par \(f\), on cherche une solution \(\sum a_{n} x^{n}\), on calcule les \(a_{n}\) par récurrence et le rayon. Enfin, on conclut par l’unicité de la solution d’un problème de Cauchy.

Développons \(f(x) = \dfrac{1}{(1-x)(1-2x)}\). En éléments simples, \(f(x) = \dfrac{2}{1-2x} – \dfrac{1}{1-x}\). Pour \(|x| < \dfrac{1}{2}\), les deux séries géométriques convergent. Donc \[f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (2^{n+1} – 1) x^{n}.\] Le rayon vaut exactement \(\dfrac{1}{2}\), car les deux rayons \(\dfrac{1}{2}\) et \(1\) sont distincts.