Optimisation : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Points critiques d’un polynôme de degré 3

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy\). La figure ci-dessous montre quelques-unes de ses lignes de niveau.

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Calculer la matrice hessienne de \(f\) en un point \((x,y)\) quelconque.
3. Préciser la nature de chaque point critique.
4. La fonction \(f\) admet-elle un extremum global sur \(\mathbb{R}^2\) ?

Exercice 2 : Minimum d’une fonction quadratique

Soit \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 – 3x – 6y\) pour \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

1. Montrer que \(f\) possède un unique point critique \(a\), que l’on déterminera.
2. Calculer la hessienne de \(f\) et montrer qu’elle est définie positive.
3. En développant \(f(a + (h,k))\), montrer que \(f\) admet en \(a\) un minimum global. Préciser sa valeur.

Exercice 3 : Hessienne et formule de Taylor-Young

Soit \(f(x,y) = x e^{y} + y e^{x}\) pour \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculer le gradient et la matrice hessienne de \(f\) en \((0,0)\).
3. Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 de \(f\) en \((0,0)\).
4. En déduire une valeur approchée de \(f(0{,}1\,;\,-0{,}1)\) et la comparer à la valeur exacte.

Exercice 4 : Utiliser le théorème de Schwarz

1. Montrer qu’il n’existe aucune fonction \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) telle que \(\partial_x f(x,y) = x y^2\) et \(\partial_y f(x,y) = x^2 + y\).
2. Déterminer toutes les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que, pour tout \((x,y)\), \(\partial_x f(x,y) = 2xy + 3\) et \(\partial_y f(x,y) = x^2 + 2y\).
3. Soit \(f\) de classe \(C^3\) sur \(\mathbb{R}^2\). Combien de dérivées partielles d’ordre 3 distinctes \(f\) possède-t-elle au plus ? Justifier.

Exercice 5 : Discussion par la trace et le déterminant

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(f_a(x,y) = x^2 + a x y + y^2 – x^4\).

1. Vérifier que \((0,0)\) est un point critique de \(f_a\).
2. Calculer la hessienne de \(f_a\) en \((0,0)\), sa trace et son déterminant.
3. Discuter selon \(a\) la nature du point \((0,0)\) lorsque \(|a| \neq 2\).
4. On suppose \(a = 2\). En étudiant \(f_2\) le long des droites \(y = 0\) et \(y = -x\), montrer que \((0,0)\) n’est pas un extremum local.

Exercice 6 : Même hessienne, trois comportements

On considère sur \(\mathbb{R}^2\) les fonctions \(f(x,y) = x^2 + y^3\), \(g(x,y) = x^2 + y^4\) et \(h(x,y) = x^2 – y^4\).

1. Montrer que \((0,0)\) est un point critique de ces trois fonctions et qu’elles y ont la même hessienne.
2. Cette hessienne est-elle positive ? définie positive ?
3. Étudier la nature du point \((0,0)\) pour chacune des trois fonctions.
4. Quelle conclusion générale en tirer ?

Exercice 7 : Une fonction de classe C1 mais pas C2

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(0,0) = 0\) et, pour \((x,y) \neq (0,0)\),

\[f(x,y) = \frac{xy(x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}.\]

1. Montrer que \(f\) est continue en \((0,0)\).
2. Calculer \(\partial_x f(x,y)\) pour \((x,y) \neq (0,0)\), puis \(\partial_x f(0,0)\).
3. Montrer que \(|\partial_x f(x,y)| \leq\, 2|y|\) pour \((x,y) \neq (0,0)\). En admettant par symétrie le résultat analogue pour \(\partial_y f\), en déduire que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).
4. Calculer \(\partial_x f(0,y)\) et \(\partial_y f(x,0)\) pour tous réels \(x, y\).
5. En déduire \(\partial_y \partial_x f(0,0)\) et \(\partial_x \partial_y f(0,0)\). Que peut-on conclure ?

Exercice 8 : Points critiques et extremum global

Soit \(f(x,y) = x^4 + y^4 – 2(x-y)^2\) pour \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Étudier la nature des points critiques où la hessienne est inversible.
3. Montrer que \((0,0)\) n’est pas un extremum local, en étudiant \(f(x,x)\) et \(f(x,0)\).
4. Montrer que \((x-y)^2 \leq\, 2(x^2 + y^2)\), puis que \(f(x,y) \geq\, (x^2-2)^2 + (y^2-2)^2 – 8\). En déduire le minimum global de \(f\) et les points où il est atteint.

Exercice 9 : Hessienne en dimension trois

Soit \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 – 2xyz\) pour \((x,y,z) \in \mathbb{R}^3\).

1. Montrer que \(f\) possède exactement cinq points critiques.
2. Calculer la hessienne de \(f\) en \((0,0,0)\) et conclure.
3. Calculer la hessienne en \((1,1,1)\) et ses valeurs propres. Conclure.
4. Soit \(D = \operatorname{diag}(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)\) avec \(\varepsilon_i \in \{-1, 1\}\) et \(\varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_3 = 1\). Montrer que \(f(Dv) = f(v)\) pour tout \(v\). En déduire la nature des trois derniers points critiques.
5. L’origine est-elle un minimum global ?

Exercice 10 : Maximum sur un triangle fermé

Soit \(T = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2,\ x \geq\, 0,\ y \geq\, 0,\ x + y \leq\, 1\}\) et \(f(x,y) = xy(1 – x – y)\).

1. Montrer que \(f\) admet sur \(T\) un maximum et un minimum.
2. Déterminer \(f\) sur la frontière de \(T\), ainsi que son signe à l’intérieur.
3. Déterminer les points critiques de \(f\) situés à l’intérieur de \(T\).
4. En déduire le maximum et le minimum de \(f\) sur \(T\).

Exercice 11 : Extremums sur un disque fermé

Soit \(D\) le disque fermé de centre \((0,0)\) et de rayon \(1\), et \(f(x,y) = x^2 + 2y^2 – x\).

1. Justifier l’existence d’un maximum et d’un minimum de \(f\) sur \(D\).
2. Chercher les points critiques de \(f\) dans le disque ouvert.
3. Étudier \(f\) sur le cercle unité en se ramenant à une fonction de la seule variable \(x\).
4. Conclure en donnant les extremums et les points où ils sont atteints.

Exercice 12 : Distance d’un point à une parabole

Dans le plan, on note \(\mathcal{P}\) la parabole d’équation \(y = x^2\) et \(A = (0,3)\). On cherche les points \(M\) de \(\mathcal{P}\) les plus proches de \(A\), comme sur la figure ci-dessous.

1. On pose \(F(x,y) = x^2 + (y-3)^2\) et \(g(x,y) = y – x^2\). Vérifier que \(\nabla g\) ne s’annule pas sur \(\mathcal{P}\).
2. Écrire la condition nécessaire d’extremum lié et trouver les points candidats.
3. En paramétrant \(\mathcal{P}\), déterminer la distance de \(A\) à \(\mathcal{P}\) et les points où elle est atteinte.
4. Vérifier qu’en ces points, le vecteur \(\vec{AM}\) est orthogonal à la tangente à \(\mathcal{P}\).
5. Quelle est la nature du point \(O = (0,0)\) pour la restriction de \(F\) à \(\mathcal{P}\) ?

Exercice 13 : Forme quadratique sur le cercle unité

Soit \(q(x,y) = 3x^2 + 2xy + 3y^2\) et \(\mathcal{C}\) le cercle unité de \(\mathbb{R}^2\).

1. Justifier que \(q\) admet un maximum et un minimum sur \(\mathcal{C}\).
2. Écrire la condition des extremums liés. Montrer qu’elle signifie que \((x,y)\) est vecteur propre d’une matrice symétrique \(S\) à préciser.
3. Montrer qu’en un tel point, \(q(x,y)\) est égal à la valeur propre associée.
4. En déduire le maximum et le minimum de \(q\) sur \(\mathcal{C}\), ainsi que les points où ils sont atteints.

Exercice 14 : Boîte de volume fixé et de surface minimale

On cherche un pavé droit de dimensions \(x, y, z > 0\), de volume \(xyz = 1\), dont l’aire totale \(S = 2(xy + yz + zx)\) est minimale.

1. On note \(U = \,]0, +\infty[^3\), \(g(x,y,z) = xyz – 1\) et \(X = \{g = 0\}\). Montrer que \(\nabla g\) ne s’annule pas sur \(X\).
2. Montrer que le seul point de \(X\) où \(\nabla S\) est colinéaire à \(\nabla g\) est \((1,1,1)\).
3. On pose \(h(x,y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) sur \(]0, +\infty[^2\). Montrer que \(h(x,y) > 3\) en dehors du carré \(K = [1/3, 9]^2\) et sur le bord de \(K\).
4. En déduire que \(h\) admet un minimum global sur \(]0, +\infty[^2\), atteint en un point critique. Conclure sur le pavé optimal.

Exercice 15 : Une équation de transport

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + 2\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0 \quad \text{pour tout } (x,y) \in \mathbb{R}^2.\]

1. Montrer que \(\Phi : (u,v) \mapsto (u, 2u – v)\) est une bijection de \(\mathbb{R}^2\) sur lui-même, de classe \(C^1\) ainsi que sa réciproque.
2. On pose \(g = f \circ \Phi\). Exprimer \(\partial_u g\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\).
3. En déduire toutes les solutions de l’équation.
4. Déterminer la solution vérifiant \(f(0,y) = y^2\) pour tout réel \(y\), et vérifier qu’elle convient.

Exercice 16 : Laplacien des fonctions radiales

Soit \(\varphi\) de classe \(C^2\) sur \(]0, +\infty[\) et \(f(x,y) = \varphi\big(\sqrt{x^2 + y^2}\big)\) sur \(U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\). On note \(r = \sqrt{x^2+y^2}\) et \(\Delta f = \partial_x^2 f + \partial_y^2 f\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(U\) et calculer \(\partial_x f\) et \(\partial_x^2 f\).
2. Montrer que \(\Delta f(x,y) = \varphi^{\prime\prime}(r) + \dfrac{\varphi^{\prime}(r)}{r}\).
3. Déterminer toutes les fonctions \(\varphi\) telles que \(\Delta f = 0\) sur \(U\).
4. Déterminer toutes les fonctions \(\varphi\) telles que \(\Delta f = 1\) sur \(U\).

Exercice 17 : Équation des ondes

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\).

1. On pose \(g(u,v) = f(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2})\), de sorte que \(f(x,y) = g(x+y, x-y)\). Exprimer \(\partial_x f\) et \(\partial_y f\) à l’aide des dérivées partielles de \(g\).
2. Exprimer \(\partial_x^2 f – \partial_y^2 f\) à l’aide de \(\partial_u \partial_v g\). Où intervient le théorème de Schwarz ?
3. En déduire que les solutions sont les fonctions \(f(x,y) = A(x+y) + B(x-y)\) avec \(A, B\) de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Déterminer la solution telle que \(f(x,0) = \sin x\) et \(\partial_y f(x,0) = 0\) pour tout réel \(x\).

Exercice 18 : Le contre-exemple de Peano

Soit \(f(x,y) = (x – y^2)(x – 2y^2) = x^2 – 3xy^2 + 2y^4\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrer que \((0,0)\) est un point critique de \(f\) et calculer la hessienne de \(f\) en ce point. Que peut-on en dire ?
2. Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(\psi(t) = f(t\cos\theta, t\sin\theta)\). Montrer que \(\psi\) admet un minimum local strict en \(0\).
3. Étudier le signe de \(f\) dans le plan. Calculer en particulier \(f(\frac{3}{2}y^2, y)\).
4. La fonction \(f\) admet-elle un minimum local en \((0,0)\) ? Commenter.

Exercice 19 : Problème : droite des moindres carrés

On dispose de \(n \geq\, 2\) points \((x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)\) du plan, avec des abscisses \(x_i\) non toutes égales. On cherche la droite \(y = ax + b\) qui minimise

\[F(a,b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – a x_i – b)^2.\]

On note \(S_x = \sum x_i\), \(S_y = \sum y_i\), \(S_{xx} = \sum x_i^2\) et \(S_{xy} = \sum x_i y_i\).

1. Calculer le gradient de \(F\). Montrer que \((a,b)\) est un point critique si et seulement si \(a S_{xx} + b S_x = S_{xy}\) et \(a S_x + n b = S_y\).
2. Calculer la hessienne \(H\) de \(F\). À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que \(\det H > 0\), puis que \(H\) est définie positive.
3. En déduire que \(F\) possède un unique point critique \(p\).
4. Montrer que, pour tout \(h \in \mathbb{R}^2\), \(F(p + h) = F(p) + \frac{1}{2} h^{\top} H h\). Conclure que \(F\) atteint en \(p\) son minimum global strict.
5. Application : traiter le cas des quatre points \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\), \((3,4)\) représentés ci-dessous. Calculer la valeur minimale de \(F\).

Exercice 20 : Problème : inégalité arithmético-géométrique

Soit \(n \geq\, 2\), \(K = \{x \in \mathbb{R}^n,\ x_i \geq\, 0 \text{ pour tout } i,\ x_1 + \cdots + x_n = 1\}\) et \(f(x) = x_1 x_2 \cdots x_n\).

1. Montrer que \(K\) est compact et que \(f\) admet un maximum \(M\) sur \(K\). Montrer que \(M > 0\).
2. Soit \(a \in K\) un point où \(f\) atteint \(M\). Montrer que toutes les coordonnées de \(a\) sont strictement positives.
3. On note \(U = \,]0, +\infty[^n\), \(g(x) = x_1 + \cdots + x_n – 1\) et \(X = U \cap \{g = 0\}\). Justifier que \(f_{|X}\) a un extremum local en \(a\), puis que \(\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)\) pour un réel \(\lambda\).
4. En déduire \(a\) et la valeur de \(M\).
5. Démontrer que pour tous réels \(y_1, \ldots, y_n > 0\) : \((y_1 \cdots y_n)^{1/n} \leq\, \dfrac{y_1 + \cdots + y_n}{n}\).

Exercice 21 : Problème : quotient de Rayleigh

Soit \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) une matrice symétrique réelle, \(q(x) = \langle Sx, x \rangle\) pour \(x \in \mathbb{R}^n\), et \(\Sigma\) la sphère unité de \(\mathbb{R}^n\) pour la norme euclidienne.

1. Développer \(q(x+h)\) et en déduire que \(q\) est différentiable, avec \(\nabla q(x) = 2Sx\).
2. Justifier que \(q\) admet un maximum et un minimum sur \(\Sigma\).
3. Montrer qu’en un point \(a\) où \(q_{|\Sigma}\) est extrémale, \(a\) est vecteur propre de \(S\) et \(q(a)\) est la valeur propre associée.
4. En déduire que \(\max_{\Sigma} q\) et \(\min_{\Sigma} q\) sont la plus grande et la plus petite valeur propre de \(S\).
5. Application : \(S = \begin{pmatrix} 2 1 0 \\ 1 2 1 \\ 0 1 2 \end{pmatrix}\). Déterminer les valeurs propres de \(S\), puis les extremums de \(q(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz\) sur \(\Sigma\) et les points où ils sont atteints.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : optimisation, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Calcul différentiel dans les espaces normés, Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral
• Chapitre précédent : Calcul différentiel dans les espaces normés
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup