Groupes : cours de maths spé en PDF.

Soit \((H_{i})_{i \in I}\) une famille non vide de sous-groupes de \(G\). Alors \(\bigcap_{i \in I} H_{i}\) est un sous-groupe de \(G\).

Notons \(H\) cette intersection. D’abord, \(e\) appartient à chaque \(H_{i}\), donc à \(H\). Ensuite, soient \(x, y \in H\). Pour tout \(i\), on a \(x, y \in H_{i}\), donc \(x y^{-1} \in H_{i}\) car \(H_{i}\) est un sous-groupe. Par conséquent, \(x y^{-1} \in H\), ce qui prouve que \(H\) est un sous-groupe.

Soit \(A\) une partie de \(G\). Le sous-groupe engendré par \(A\), noté \(\langle A \rangle\), est l’intersection de tous les sous-groupes de \(G\) qui contiennent \(A\). C’est le plus petit sous-groupe de \(G\) contenant \(A\). On dit que \(A\) est une partie génératrice de \(G\) si \(\langle A \rangle = G\).

Si \(A\) est non vide, \(\langle A \rangle\) est l’ensemble des produits finis \(a_{1}^{\varepsilon_{1}} a_{2}^{\varepsilon_{2}} \cdots a_{r}^{\varepsilon_{r}}\) avec \(r \geq\, 1\), \(a_{j} \in A\) et \(\varepsilon_{j} \in \{-1, 1\}\). Si \(G\) est commutatif et noté additivement, et si \(A = \{a_{1}, \ldots, a_{p}\}\), alors \[\langle A \rangle = \{k_{1} a_{1} + \cdots + k_{p} a_{p},\ (k_{1}, \ldots, k_{p}) \in \mathbb{Z}^{p}\}.\] En particulier, \(\langle x \rangle = \{x^{k},\ k \in \mathbb{Z}\}\).

Notons \(P\) l’ensemble de ces produits. D’abord, \(P\) est un sous-groupe. En effet, il contient \(a a^{-1} = e\) pour \(a \in A\). De plus, le produit de deux éléments de \(P\) est encore dans \(P\), et l’inverse de \(a_{1}^{\varepsilon_{1}} \cdots a_{r}^{\varepsilon_{r}}\) vaut \(a_{r}^{-\varepsilon_{r}} \cdots a_{1}^{-\varepsilon_{1}}\), qui est dans \(P\). Comme \(P\) contient \(A\), on a \(\langle A \rangle \subset P\). Inversement, tout sous-groupe contenant \(A\) contient les inverses des éléments de \(A\) et leurs produits. Il contient donc \(P\). Ainsi, \(P \subset \langle A \rangle\). Dans le cas commutatif, on regroupe les facteurs égaux, ce qui donne la seconde forme.

Dans \((\mathbb{Z}, +)\), on a \(\langle 4, 6 \rangle = \{4u + 6v,\ (u, v) \in \mathbb{Z}^{2}\}\). Tout élément est pair. Inversement, \(2 = 6 – 4\) appartient à \(\langle 4, 6 \rangle\), donc tous les multiples de \(2\) aussi. Finalement, \(\langle 4, 6 \rangle = 2\mathbb{Z}\).

Pour déterminer \(\langle A \rangle\), on devine un sous-groupe candidat \(H\), puis on raisonne par double inclusion. D’une part, on vérifie que \(H\) est un sous-groupe qui contient \(A\) : alors \(\langle A \rangle \subset H\). D’autre part, on montre que chaque générateur « naturel » de \(H\) s’écrit à l’aide des éléments de \(A\) : alors \(H \subset \langle A \rangle\).

Les sous-groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}\). De plus, l’entier \(n\) est unique.

Soit \(H\) un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\). Si \(H = \{0\}\), alors \(H = 0\mathbb{Z}\). Sinon, \(H\) contient un entier non nul \(a\), donc aussi \(-a\). Ainsi, \(H \cap \mathbb{N}^{*}\) est non vide et admet un plus petit élément \(n\). Comme \(n \in H\), tous ses multiples sont dans \(H\) : \(n\mathbb{Z} \subset H\). Réciproquement, soit \(h \in H\). La division euclidienne donne \(h = qn + r\) avec \(0 \leq\, r < n\). Or \(r = h – qn\) appartient à \(H\). Par minimalité de \(n\), on obtient \(r = 0\). Donc \(h \in n\mathbb{Z}\). Enfin, \(n\) est le plus petit élément strictement positif de \(n\mathbb{Z}\), d’où l’unicité.

Pour \(a, b \in \mathbb{N}^{*}\), on a \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \langle a, b \rangle = d\mathbb{Z}\) où \(d = a \wedge b\), et \(a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}\) où \(m = a \vee b\).

On pose \(\overline{k} + \overline{l} = \overline{k + l}\). Cette addition est bien définie : si \(k \equiv k^{\prime}\) et \(l \equiv l^{\prime}\) modulo \(n\), alors \(k + l \equiv k^{\prime} + l^{\prime}\) modulo \(n\). Muni de cette loi, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\}\) est un groupe commutatif de cardinal \(n\), de neutre \(\overline{0}\).

Soit \(k \in \mathbb{Z}\). La classe \(\overline{k}\) engendre \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(k \wedge n = 1\).

Supposons que \(\overline{k}\) engendre \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Alors \(\overline{1}\) est un multiple de \(\overline{k}\) : il existe \(u \in \mathbb{Z}\) tel que \(u\overline{k} = \overline{1}\). Autrement dit, \(n\) divise \(uk – 1\), donc il existe \(v\) tel que \(uk + vn = 1\). Le théorème de Bézout donne \(k \wedge n = 1\). Réciproquement, si \(k \wedge n = 1\), on écrit \(uk + vn = 1\). Alors \(u\overline{k} = \overline{1}\). Par conséquent, \(\overline{1}\) appartient à \(\langle \overline{k} \rangle\), et donc tout \(\overline{j} = j\overline{1}\) aussi.

Pour lister les générateurs de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), on décompose \(n\) en facteurs premiers. On garde ensuite les entiers \(k \in [\![1, n]\!]\) divisibles par aucun de ces facteurs. Pour \(n = 12 = 2^{2} \times 3\), on garde \(1, 5, 7, 11\). Pour exprimer \(\overline{1}\) comme multiple d’un générateur \(\overline{k}\), on utilise une relation de Bézout \(uk + vn = 1\).

Un élément \(x \in G\) est dit d’ordre fini s’il existe \(k \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(x^{k} = e\). Le plus petit tel entier s’appelle l’ordre de \(x\). Sinon, on dit que \(x\) est d’ordre infini.

Soit \(x \in G\) d’ordre fini \(d\). Alors, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), \[x^{k} = e \Leftrightarrow d \mid k.\] De plus, \(\langle x \rangle = \{e, x, x^{2}, \ldots, x^{d-1}\}\) et ces \(d\) éléments sont distincts. Ainsi, l’ordre de \(x\) est égal au cardinal de \(\langle x \rangle\).

L’ensemble \(K = \{k \in \mathbb{Z},\ x^{k} = e\}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\). En effet, \(0 \in K\) et \(x^{k-l} = x^{k}(x^{l})^{-1}\). D’après la partie II, \(K = d^{\prime}\mathbb{Z}\) où \(d^{\prime}\) est le plus petit élément strictement positif de \(K\). Or ce plus petit élément est précisément \(d\). D’où l’équivalence. Ensuite, soit \(k \in \mathbb{Z}\) et \(k = qd + r\) sa division euclidienne. Alors \(x^{k} = (x^{d})^{q} x^{r} = x^{r}\) avec \(0 \leq\, r \leq\, d – 1\). Enfin, si \(x^{r} = x^{s}\) avec \(0 \leq\, r, s \leq\, d-1\), alors \(d \mid r – s\), donc \(r = s\).

Dans \(\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R})\), la matrice \(R = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\) vérifie \(R^{2} = -I_{2}\), \(R^{3} = -R\) et \(R^{4} = I_{2}\). Elle est donc d’ordre 4. En revanche, \(2I_{2}\) est d’ordre infini, car \((2I_{2})^{k} = 2^{k} I_{2} \neq I_{2}\) pour \(k \geq\, 1\).

Soit \(x\) d’ordre fini \(d\) et \(k \in \mathbb{Z}\). Alors \(x^{k}\) est d’ordre \(\dfrac{d}{d \wedge k}\). En particulier, dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), la classe \(\overline{k}\) est d’ordre \(\dfrac{n}{n \wedge k}\).

Posons \(\delta = d \wedge k\), \(d = \delta d^{\prime}\) et \(k = \delta k^{\prime}\), avec \(d^{\prime} \wedge k^{\prime} = 1\). Pour \(m \in \mathbb{Z}\), on a \((x^{k})^{m} = e\) si et seulement si \(d \mid km\), c’est-à-dire \(d^{\prime} \mid k^{\prime} m\). D’après le lemme de Gauss, cela équivaut à \(d^{\prime} \mid m\). Donc l’ordre de \(x^{k}\) est \(d^{\prime} = d / \delta\).

Pour calculer l’ordre d’un élément \(x\), on cherche un entier \(N\) tel que \(x^{N} = e\). L’ordre est alors un diviseur de \(N\). Ensuite, on teste les diviseurs \(N/p\) pour chaque facteur premier \(p\) de \(N\). Si aucun ne convient, l’ordre vaut \(N\). Par exemple, si \(x^{12} = e\), \(x^{6} \neq e\) et \(x^{4} \neq e\), alors \(x\) est d’ordre 12.

Un groupe \(G\) est monogène s’il existe \(x \in G\) tel que \(G = \langle x \rangle\). Un tel \(x\) est un générateur de \(G\). Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.

Soit \(G = \langle x \rangle\) un groupe monogène.

• Si \(G\) est infini, l’application \(k \mapsto x^{k}\) est un isomorphisme de \((\mathbb{Z}, +)\) sur \(G\).
• Si \(G\) est fini de cardinal \(n\), l’application \(\overline{k} \mapsto x^{k}\) est un isomorphisme de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) sur \(G\).

L’application \(\varphi : k \mapsto x^{k}\) est un morphisme de \(\mathbb{Z}\) dans \(G\), surjectif par définition de \(\langle x \rangle\). Son noyau est \(\{k,\ x^{k} = e\}\). Si \(G\) est infini, \(x\) est d’ordre infini, donc ce noyau vaut \(\{0\}\) et \(\varphi\) est injectif. Si \(G\) est fini de cardinal \(n\), alors \(x\) est d’ordre \(n\) d’après la partie III. Le noyau vaut donc \(n\mathbb{Z}\). Posons alors \(\psi(\overline{k}) = x^{k}\). Cette définition ne dépend pas du représentant : si \(k \equiv l\) modulo \(n\), alors \(x^{k – l} = e\). Ensuite, \(\psi\) est un morphisme surjectif. Enfin, \(\psi(\overline{k}) = e\) impose \(n \mid k\), soit \(\overline{k} = \overline{0}\). Donc \(\psi\) est injectif.

Un isomorphisme envoie un générateur sur un générateur. Ainsi, un groupe cyclique d’ordre \(n\) possède exactement autant de générateurs que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), c’est-à-dire autant d’entiers de \([\![1, n]\!]\) premiers avec \(n\). Ce nombre sera noté \(\varphi(n)\) dans le chapitre d’arithmétique.

Pour montrer qu’un groupe fini \(G\) de cardinal \(n\) est cyclique, il suffit d’exhiber un élément d’ordre \(n\). En effet, \(\langle x \rangle\) a alors \(n\) éléments et coïncide avec \(G\). Pour l’identifier à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), on utilise l’isomorphisme \(\overline{k} \mapsto x^{k}\) du théorème.

Soit \(G = \langle x \rangle\) cyclique d’ordre \(n\). Tout sous-groupe de \(G\) est cyclique. De plus, pour chaque diviseur \(d\) de \(n\), il existe un unique sous-groupe d’ordre \(d\) : c’est \(\langle x^{n/d} \rangle\).

Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\). L’ensemble \(K = \{k \in \mathbb{Z},\ x^{k} \in H\}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) contenant \(n\). Donc \(K = a\mathbb{Z}\) avec \(a \geq\, 1\) et \(a \mid n\). Par suite, \(H = \{x^{k},\ k \in a\mathbb{Z}\} = \langle x^{a} \rangle\). D’après la partie III, \(x^{a}\) est d’ordre \(n / a\). Ainsi, \(H\) est d’ordre \(d\) si et seulement si \(a = n/d\).

Posons \(\omega = e^{2i\pi/n}\). Alors \(\mathbb{U}_{n} = \{\omega^{k},\ 0 \leq\, k \leq\, n-1\}\) est cyclique d’ordre \(n\), engendré par \(\omega\). L’élément \(\omega^{k}\) est d’ordre \(\dfrac{n}{n \wedge k}\). Les générateurs de \(\mathbb{U}_{n}\), appelés racines primitives \(n\)-ièmes de l’unité, sont les \(\omega^{k}\) avec \(k \wedge n = 1\).

Le cours de sup donne \(\mathbb{U}_{n} = \{\omega^{k},\ 0 \leq\, k \leq\, n – 1\}\), avec \(n\) éléments distincts. Ainsi, \(\omega\) est d’ordre \(n\) et engendre \(\mathbb{U}_{n}\). Les autres points découlent de la proposition sur l’ordre d’une puissance et de la classification.

Dans \(\mathbb{U}_{8}\), les racines primitives sont \(\omega, \omega^{3}, \omega^{5}, \omega^{7}\). Ensuite, \(\omega^{2} = i\) et \(\omega^{6} = -i\) sont d’ordre 4, tandis que \(\omega^{4} = -1\) est d’ordre 2. La figure ci-dessous colore chaque racine huitième selon son ordre.

Le groupe \((\mathbb{U}, \times )\) tout entier n’est pas monogène. En effet, un groupe monogène est l’image de \(\mathbb{Z}\), donc il est fini ou dénombrable. Or \(\mathbb{U}\) est en bijection avec \([0, 2\pi[\), qui n’est pas dénombrable.

Soit \(G\) un groupe commutatif fini de cardinal \(n\). Pour tout \(x \in G\), on a \(x^{n} = e\). Par conséquent, l’ordre de tout élément de \(G\) divise \(n\).

Soit \(x \in G\). L’application \(\tau : y \mapsto xy\) est une bijection de \(G\) sur \(G\), de réciproque \(y \mapsto x^{-1}y\). Notons \(P = \prod_{y \in G} y\), produit bien défini car \(G\) est commutatif. Comme \(\tau\) permute les éléments de \(G\), on a \[P = \prod_{y \in G} (xy) = x^{n} \prod_{y \in G} y = x^{n} P.\] En simplifiant par \(P\), on obtient \(x^{n} = e\). Enfin, d’après la partie III, l’ordre de \(x\) divise \(n\).

Le résultat reste vrai dans un groupe fini quelconque. Cependant, sa démonstration générale n’est pas exigible en MP. Pour un groupe non commutatif, on admettra donc le résultat s’il est rappelé par l’énoncé.

Tout groupe commutatif de cardinal premier \(p\) est cyclique, donc isomorphe à \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\). De plus, chacun de ses éléments distincts de \(e\) l’engendre.

Soit \(x \neq e\). Son ordre divise \(p\) et ne vaut pas 1. Il vaut donc \(p\). Ainsi, \(\langle x \rangle\) a \(p\) éléments et égale \(G\).

Pour trouver l’ordre d’un élément d’un groupe commutatif fini de cardinal \(n\), on ne teste que les diviseurs de \(n\). Par exemple, dans un groupe commutatif de cardinal 35, les ordres possibles sont 1, 5, 7 et 35. Ainsi, un élément \(x\) tel que \(x^{5} \neq e\) et \(x^{7} \neq e\) engendre le groupe.