Compacité et connexité par arcs : cours de maths spé en PDF.

Une partie \(A\) de \(E\) est dite compacte si toute suite d’éléments de \(A\) admet une valeur d’adhérence dans \(A\). Autrement dit, de toute suite \((a_n)\) de \(A\), on peut extraire une sous-suite \((a_{\varphi(n)})\) qui converge vers un élément de \(A\). C’est la propriété de Bolzano-Weierstrass. Par convention, la partie vide est compacte.

D’abord, tout segment \([a, b]\) de \(\mathbb{R}\) est compact : c’est le théorème de Bolzano-Weierstrass vu en première année, joint au fait qu’une limite de points de \([a, b]\) reste dans \([a, b]\). De même, un disque fermé de \(\mathbb{C}\) est compact. Ensuite, toute partie finie est compacte, car une suite y prend une même valeur une infinité de fois. Enfin, \(]0, 1]\) n’est pas compact : la suite \((1/n)\) converge vers \(0\), donc toutes ses sous-suites aussi, et \(0 \notin \, ]0, 1]\).

Une partie compacte de \(E\) est fermée et bornée.

Fermée. Soit \((a_n)\) une suite de \(A\) qui converge vers \(\ell \in E\). Par compacité, une sous-suite converge vers un point \(b \in A\). Or cette sous-suite converge aussi vers \(\ell\). Par unicité de la limite, \(\ell = b \in A\). Ainsi \(A\) est fermée par caractérisation séquentielle.

Bornée. Supposons \(A\) non bornée. Pour tout \(n\), il existe \(a_n \in A\) avec \(\|a_n\| \geq\, n\). Toute sous-suite de \((a_n)\) est alors non bornée, donc divergente. Cela contredit la compacité.

La réciproque est fausse en général. Par exemple, dans l’espace \(\ell^{\infty}\) des suites réelles bornées muni de la norme uniforme, notons \(e_k\) la suite dont seul le terme d’indice \(k\) vaut \(1\). Alors \(\|e_k – e_m\|_{\infty} = 1\) pour \(k \neq m\). Aucune sous-suite de \((e_k)\) n’est donc de Cauchy, ni convergente. Pourtant la boule unité fermée est fermée et bornée. Nous verrons qu’en dimension finie, au contraire, la réciproque est vraie.

Soit \(K\) une partie compacte et \(F\) une partie fermée de \(E\). Alors \(F \cap K\) est compacte. En particulier, une partie fermée d’un compact est compacte.

Soit \((x_n)\) une suite de \(F \cap K\). Comme \(K\) est compact, une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) converge vers \(\ell \in K\). De plus, cette sous-suite est à valeurs dans le fermé \(F\), donc \(\ell \in F\). Ainsi \(\ell \in F \cap K\).

Une suite d’éléments d’une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence.

Soient \(E_1, \ldots, E_p\) des espaces normés et \(K_i\) une partie compacte de \(E_i\). Alors \(K_1 \times \cdots \times K_p\) est une partie compacte de l’espace produit \(E_1 \times \cdots \times E_p\), muni de la norme \(\|(x_1, \ldots, x_p)\| = \max_i \|x_i\|_{E_i}\).

On traite \(p = 2\), puis on conclut par récurrence. Soit \((x_n, y_n)\) une suite de \(K_1 \times K_2\). D’abord, on extrait \((x_{\varphi(n)})\) convergeant vers \(x \in K_1\). Ensuite, la suite \((y_{\varphi(n)})\) est dans \(K_2\). On en extrait \((y_{\varphi(\psi(n))})\) convergeant vers \(y \in K_2\). Enfin, \((x_{\varphi(\psi(n))})\) converge encore vers \(x\), comme sous-suite d’une suite convergente. Donc \((x_{\varphi \circ \psi(n)}, y_{\varphi \circ \psi(n)})\) converge vers \((x, y)\).

Le pavé \([a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n]\) est compact dans \(\mathbb{R}^n\) muni de \(N_{\infty}(x) = \max_i |x_i|\). En particulier, la boule fermée \(\{x \in \mathbb{R}^n : N_{\infty}(x) \leq\, r\} = [-r, r]^n\) est compacte. De même, dans \(\mathbb{C}^n\), c’est un produit de disques fermés, donc elle est compacte.

Soient \(E, F\) deux espaces normés, \(K\) une partie compacte de \(E\) et \(f : K \to F\) continue. Alors \(f(K)\) est une partie compacte de \(F\).

Soit \((y_n)\) une suite de \(f(K)\). On écrit \(y_n = f(x_n)\) avec \(x_n \in K\). Par compacité, une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) converge vers \(x \in K\). Par continuité de \(f\) en \(x\), la suite \((y_{\varphi(n)})\) converge vers \(f(x) \in f(K)\).

Soit \(K\) une partie compacte non vide et \(f : K \to \mathbb{R}\) continue. Alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(a, b \in K\) tels que \(f(a) = \min_K f\) et \(f(b) = \max_K f\).

D’après le théorème précédent, \(f(K)\) est un compact non vide de \(\mathbb{R}\). Il est donc borné, et sa borne supérieure \(M\) existe. Or \(M\) est limite d’une suite d’éléments de \(f(K)\). Comme \(f(K)\) est fermé, \(M \in f(K)\). On raisonne de même pour la borne inférieure.

Prouver l’existence d’un extremum par compacité. Pour montrer qu’une fonction continue \(f\) atteint son minimum sur une partie \(A\) non compacte, on procède en trois temps.

1. On choisit un point \(x_0 \in A\) et un compact \(K \subset A\) contenant \(x_0\), souvent l’intersection de \(A\) avec une boule fermée.

2. On montre que \(f(x) > f(x_0)\) pour tout \(x \in A \setminus K\).

3. Le minimum de \(f\) sur \(K\) existe et vaut au plus \(f(x_0)\). Par conséquent, c’est le minimum de \(f\) sur \(A\) tout entier.

Soit \(K\) un compact non vide et \(x \in E\). L’application \(y \mapsto \|x – y\|\) est \(1\)-lipschitzienne, donc continue. Elle atteint donc son minimum sur \(K\). Autrement dit, il existe \(y_0 \in K\) tel que \(d(x, K) = \|x – y_0\|\). La distance à un compact est toujours atteinte.

Théorème de Heine. Toute application continue sur une partie compacte \(K\) est uniformément continue sur \(K\) : \[\forall \varepsilon > 0, \ \exists \eta > 0, \ \forall x, y \in K, \quad \|x – y\| \leq\, \eta \Rightarrow \|f(x) – f(y)\| \leq\, \varepsilon.\]

Supposons le contraire. Il existe alors \(\varepsilon > 0\) et, pour tout \(n \geq\, 1\), des points \(x_n, y_n \in K\) tels que \(\|x_n – y_n\| \leq\, 1/n\) et \(\|f(x_n) – f(y_n)\| > \varepsilon\). Par compacité, on extrait \(x_{\varphi(n)} \to \ell \in K\). Ensuite, \(y_{\varphi(n)} \to \ell\) aussi, car \(\|x_{\varphi(n)} – y_{\varphi(n)}\| \to 0\). Par continuité de \(f\) en \(\ell\), la différence \(f(x_{\varphi(n)}) – f(y_{\varphi(n)})\) tend vers \(0\). Cela contredit l’inégalité \(> \varepsilon\).

La fonction racine carrée est uniformément continue sur \([0, 1]\) par le théorème de Heine. Pourtant, elle n’y est pas lipschitzienne, car \(\sqrt{x}/x = 1/\sqrt{x}\) n’est pas borné près de \(0\). La continuité uniforme est donc une propriété strictement plus faible que le caractère lipschitzien.

Soit \(A \subset E\) et \(a, b \in A\). Un chemin de \(a\) à \(b\) dans \(A\) est une application continue \(\gamma : [0, 1] \to A\) telle que \(\gamma(0) = a\) et \(\gamma(1) = b\). La partie \(A\) est dite connexe par arcs si deux points quelconques de \(A\) peuvent être reliés par un chemin dans \(A\).

La relation « \(a\) et \(b\) sont reliés par un chemin dans \(A\) » est une relation d’équivalence sur \(A\). Ses classes s’appellent les composantes connexes par arcs de \(A\). Chacune est connexe par arcs, et \(A\) est connexe par arcs si et seulement s’il n’a qu’une composante.

D’abord, le chemin constant relie \(a\) à lui-même. Ensuite, si \(\gamma\) relie \(a\) à \(b\), alors \(t \mapsto \gamma(1 – t)\) relie \(b\) à \(a\). Enfin, si \(\gamma_1\) relie \(a\) à \(b\) et \(\gamma_2\) relie \(b\) à \(c\), la concaténation \[\gamma(t) = \begin{cases} \gamma_1(2t) & \text{si } t \in [0, 1/2], \\ \gamma_2(2t – 1) & \text{si } t \in [1/2, 1] \end{cases}\] est continue, car les deux formules donnent \(b\) en \(t = 1/2\). Elle relie \(a\) à \(c\).

Une partie \(A\) est étoilée par rapport à \(a \in A\) si, pour tout \(x \in A\), le segment \([a, x]\) est inclus dans \(A\). Elle est convexe si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.

Toute partie convexe est étoilée, et toute partie étoilée est connexe par arcs. En particulier, les boules d’un espace normé et les sous-espaces vectoriels sont connexes par arcs.

Les parties connexes par arcs de \(\mathbb{R}\) sont exactement les intervalles.

Un intervalle est convexe, donc connexe par arcs. Réciproquement, soit \(A\) connexe par arcs, \(a < c < b\) avec \(a, b \in A\). Soit \(\gamma\) un chemin de \(a\) à \(b\) dans \(A\). La fonction réelle \(\gamma\) est continue sur \([0, 1]\). Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(t\) tel que \(\gamma(t) = c\). Donc \(c \in A\), et \(A\) est un intervalle.

L’image d’une partie connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.

Théorème des valeurs intermédiaires généralisé. Si \(A\) est connexe par arcs et \(f : A \to \mathbb{R}\) est continue, alors \(f(A)\) est un intervalle. Ainsi, si \(f\) prend les valeurs \(f(a)\) et \(f(b)\), elle prend toute valeur comprise entre elles.

Soient \(f(a), f(b)\) deux points de \(f(A)\) et \(\gamma\) un chemin de \(a\) à \(b\) dans \(A\). Alors \(f \circ \gamma\) est continue, à valeurs dans \(f(A)\), et relie \(f(a)\) à \(f(b)\). Dans le cas réel, on applique ensuite le théorème précédent.

Utiliser la connexité par arcs.

1. Pour prouver qu’une fonction continue \(f\) sur une partie connexe par arcs est constante, on montre qu’elle prend ses valeurs dans un ensemble sans intervalle non trivial, comme \(\mathbb{Z}\) ou \(\{-1, 1\}\). L’image est alors un intervalle réduit à un point.

2. Pour prouver qu’une partie \(A\) n’est pas connexe par arcs, on exhibe une fonction continue sur \(A\) qui prend deux valeurs sans prendre une valeur intermédiaire.

L’ensemble \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe par arcs. En effet, le déterminant est continu, il prend les valeurs \(1\) en \(I_n\) et \(-1\) en \(\mathrm{diag}(-1, 1, \ldots, 1)\). Pourtant, il ne s’annule jamais sur \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\). Son image n’est donc pas un intervalle.

Sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : pour deux normes \(N\) et \(N^{\prime}\), il existe \(\alpha, \beta > 0\) tels que \[\forall x \in E, \quad \alpha N^{\prime}(x) \leq\, N(x) \leq\, \beta N^{\prime}(x).\]

Soit \((e_1, \ldots, e_n)\) une base de \(E\). On note \(N_{\infty}(x) = \max_i |x_i|\) si \(x = \sum x_i e_i\). Il suffit de comparer une norme \(N\) quelconque à \(N_{\infty}\), car l’équivalence est transitive.

Majoration. Par l’inégalité triangulaire, \(N(x) \leq\, \sum_i |x_i| N(e_i) \leq\, \beta N_{\infty}(x)\) avec \(\beta = \sum_i N(e_i)\). Ainsi, \(|N(x) – N(y)| \leq\, N(x – y) \leq\, \beta N_{\infty}(x – y)\). Donc \(N\) est continue sur \((E, N_{\infty})\).

Minoration. La sphère \(S = \{x : N_{\infty}(x) = 1\}\) est fermée et incluse dans le pavé \(\{N_{\infty} \leq\, 1\}\), compact d’après la partie I. Elle est donc compacte pour \(N_{\infty}\). Par le théorème des bornes atteintes, \(N\) atteint sur \(S\) un minimum \(\alpha = N(x_0)\). Comme \(x_0 \neq 0\), on a \(\alpha > 0\). Enfin, pour \(x \neq 0\), le vecteur \(x/N_{\infty}(x)\) est dans \(S\), donc \(N(x) \geq\, \alpha N_{\infty}(x)\).

Sur \(\mathbb{R}^n\), on a précisément \[N_{\infty} \leq\, N_2 \leq\, N_1 \leq\, n N_{\infty}.\] La première inégalité vient de \(x_i^2 \leq\, \sum_j x_j^2\). La deuxième vient de \((\sum |x_i|)^2 \geq\, \sum x_i^2\). La troisième est évidente. Pour \(n = 2\), cela se lit sur les boules unités.

Soit \(E\) de dimension finie. Alors :

1. les notions de suite convergente, de partie ouverte, fermée, bornée, compacte et d’application continue ne dépendent pas de la norme choisie ;

2. une suite converge si et seulement si ses coordonnées dans une base convergent ;

3. les parties compactes de \(E\) sont exactement les parties fermées et bornées ;

4. toute suite bornée de \(E\) admet une valeur d’adhérence.

Les points 1 et 2 découlent de l’équivalence avec \(N_{\infty}\). Pour le point 3, un compact est toujours fermé borné. Réciproquement, soit \(A\) fermée et bornée. Pour \(N_{\infty}\), elle est incluse dans un pavé \([-r, r]^n\) (ou un produit de disques), qui est compact. C’est donc un fermé d’un compact. Enfin, une suite bornée reste dans une boule fermée, qui est compacte : d’où le point 4.

Montrer qu’une partie est compacte en dimension finie. On montre séparément qu’elle est fermée et qu’elle est bornée.

1. Pour le caractère fermé, on l’écrit comme image réciproque d’un fermé par une application continue : \(A = \{x : \varphi(x) = 0\}\) ou \(A = \{x : \varphi(x) \leq\, c\}\).

2. Pour le caractère borné, on majore une norme bien choisie sur \(A\), n’importe laquelle.

Le groupe orthogonal \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R}) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : M^{\top} M = I_n\}\) est compact. D’une part, il est l’image réciproque de \(\{I_n\}\) par l’application continue \(M \mapsto M^{\top} M\), donc fermé. D’autre part, les colonnes d’une matrice orthogonale sont unitaires, donc \(\sum_{i, j} m_{ij}^2 = n\). Ainsi \(\mathrm{O}_n(\mathbb{R})\) est borné pour la norme euclidienne canonique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

En dimension infinie, deux normes peuvent ne pas être équivalentes. Par exemple, sur \(\mathbb{R}[X]\), notons \(N_1(P) = \sum |a_k|\) et \(N_{\infty}(P) = \max |a_k|\). Pour \(P_n = 1 + X + \cdots + X^n\), on obtient \(N_1(P_n) = n + 1\) et \(N_{\infty}(P_n) = 1\). Le quotient \(N_1/N_{\infty}\) n’est donc pas borné.

Soient \(E, F\) deux espaces normés, avec \(E\) de dimension finie. Toute application linéaire \(u : E \to F\) est continue. Plus précisément, il existe \(C \geq\, 0\) tel que \(\|u(x)\| \leq\, C \|x\|\) pour tout \(x \in E\).

Avec les notations précédentes, \(\|u(x)\| = \|\sum x_i u(e_i)\| \leq\, (\sum_i \|u(e_i)\|) N_{\infty}(x)\). Ensuite, \(N_{\infty}\) est équivalente à \(\|\cdot\|\), ce qui donne la constante \(C\). Enfin, \(u\) est \(C\)-lipschitzienne par linéarité, donc continue.

Soient \(E_1, \ldots, E_p\) de dimension finie et \(M : E_1 \times \cdots \times E_p \to F\) multilinéaire. Alors \(M\) est continue, et il existe \(C \geq\, 0\) tel que \[\|M(x_1, \ldots, x_p)\| \leq\, C \|x_1\| \cdots \|x_p\|.\]

Si \(E\) est de dimension finie, toute application dont les coordonnées sont des fonctions polynomiales des coordonnées de \(x\) dans une base est continue. C’est le cas du déterminant \(\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}\), de la trace, de \(A \mapsto A^k\) et de \(A \mapsto \mathrm{Com}(A)\).

L’ensemble \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) = \det^{-1}(\mathbb{K} \setminus \{0\})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). L’ensemble \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{K}) = \det^{-1}(\{1\})\) est un fermé. De plus, \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

Les deux premiers points résultent de la continuité de \(\det\), par image réciproque d’un ouvert et d’un fermé. Pour la densité, soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). La fonction \(x \mapsto \det(A – x I_n)\) est polynomiale de degré \(n\), donc elle a au plus \(n\) racines. Ainsi, pour \(p\) assez grand, \(A – \frac{1}{p} I_n\) est inversible. Or cette suite converge vers \(A\).

L’ensemble des matrices de rang au moins \(r\) est ouvert. En effet, \(\mathrm{rg}(A) \geq\, r\) si et seulement si l’un des mineurs de taille \(r\) de \(A\) est non nul. Chaque mineur est une fonction polynomiale des coefficients, donc continue. On obtient ainsi une réunion finie d’ouverts.

Le groupe \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcs.

Soient \(A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\). On pose \(P(z) = \det((1 – z)A + zB)\) pour \(z \in \mathbb{C}\). C’est un polynôme de degré au plus \(n\), non nul car \(P(0) = \det A \neq 0\). Il a donc un ensemble fini \(Z\) de racines, qui ne contient ni \(0\) ni \(1\).

Ensuite, pour \(s \in \mathbb{R}\), on considère l’arc \(\gamma_s(t) = t + i s t(1 – t)\). Deux arcs distincts ne se coupent qu’en \(0\) et \(1\). Chaque point de \(Z\) est donc sur un arc au plus, et il reste un réel \(s\) tel que \(\gamma_s\) évite \(Z\). Enfin, \(\Gamma(t) = (1 – \gamma_s(t))A + \gamma_s(t)B\) est continu, relie \(A\) à \(B\), et vérifie \(\det \Gamma(t) = P(\gamma_s(t)) \neq 0\).

Grâce à ce théorème, toute fonction continue sur \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) à valeurs dans \(\mathbb{Z}\) est constante. Par exemple, l’application \(Q \mapsto Q J Q^{-1}\) est continue, donc l’ensemble des matrices semblables à une matrice \(J\) donnée est connexe par arcs.