Corrigé du contrôle de maths Terminale : limites par croissances comparées

Exercice 1 : Croissances comparées (5 points)

1. D’après les croissances comparées, pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\). Ainsi, avec \(n = 3\) : \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3} = +\infty\).
2. D’abord, \(x^2 e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^x}\), inverse de \(\dfrac{e^x}{x^2}\) qui tend vers \(+\infty\) par croissances comparées. Donc \(\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = 0\).
3. C’est en effet un résultat de croissances comparées du cours : \(\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0\) (l’exponentielle l’emporte sur \(x\), bien qu’on ait la forme « \(-\infty \times 0\) »).
4. Forme indéterminée « \(+\infty – \infty\) ». Alors, pour \(x\) réel, \(e^x – x^2 = e^x(1 – \dfrac{x^2}{e^x})\). D’après b), \(\dfrac{x^2}{e^x}\) tend vers 0, donc la parenthèse tend vers 1. Puis, comme \(e^x \to +\infty\), par produit, \(\lim_{x \to +\infty} (e^x – x^2) = +\infty\).
5. On factorise d’abord le numérateur et le dénominateur par \(e^x\) :

   \(\dfrac{3e^x + x}{e^x + x^2} = \dfrac{e^x(3 + \frac{x}{e^x})}{e^x(1 + \frac{x^2}{e^x})} = \dfrac{3 + \frac{x}{e^x}}{1 + \frac{x^2}{e^x}}\).

   Par croissances comparées, \(\dfrac{x}{e^x}\) et \(\dfrac{x^2}{e^x}\) tendent vers 0 en \(+\infty\). Donc, par quotient, la limite vaut \(\dfrac{3 + 0}{1 + 0} = 3\).

Erreur fréquente : en e), factoriser par \(x^2\) comme pour une fonction rationnelle. Au contraire, il faut factoriser par le terme qui l’emporte, ici \(e^x\).

Barème : 1 point par limite, dont 0,5 point pour la justification (propriété de croissances comparées citée ou factorisation) et 0,5 point pour le résultat.

Exercice 2 : Limites de fonctions composées (3 points)

1. \(\lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 1) = -\infty\) et \(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\). Ainsi, par composition, \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 1} = 0\).
2. Pour \(x > 0\), \(\dfrac{4x + 1}{x + 2} = \dfrac{4 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}\), qui tend vers 4 en \(+\infty\). Ensuite, \(\lim_{X \to 4} \sqrt{X} = \sqrt{4} = 2\). Donc, par composition, \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{4x + 1}{x + 2}} = 2\).
3. Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs supérieures, \(\frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\), et \(\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty\) : \(e^{\frac{1}{x}}\) tend vers \(+\infty\).

   Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs inférieures, \(\frac{1}{x}\) tend vers \(-\infty\), et \(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\) : \(e^{\frac{1}{x}}\) tend vers 0.

Barème : a) 0,5 point pour la limite intérieure, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour la limite du quotient, 0,5 point pour la composition par la racine ; c) 0,5 point par côté.

Exercice 3 : Comparaison et encadrement (4 points)

1. Pour tout réel \(x\), \(-1 \leq\, \sin(x) \leq\, 1\). Puis, en ajoutant \(x\) : \(x – 1 \leq\, f(x) \leq\, x + 1\).

   En \(+\infty\) : \(f(x) \geq\, x – 1\) et \(\lim_{x \to +\infty} (x – 1) = +\infty\). Alors, d’après le théorème de comparaison, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

   En \(-\infty\) : \(f(x) \leq\, x + 1\) et \(\lim_{x \to -\infty} (x + 1) = -\infty\). De même, d’après le théorème de comparaison, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2. Pour \(x > 0\), \(g(x) = 1 + \dfrac{\sin(x)}{x}\). Comme \(-1 \leq\, \sin(x) \leq\, 1\) et \(x > 0\) : \(1 – \dfrac{1}{x} \leq\, g(x) \leq\, 1 + \dfrac{1}{x}\).

   Les fonctions \(x \mapsto 1 – \frac{1}{x}\) et \(x \mapsto 1 + \frac{1}{x}\) tendent toutes deux vers 1 en \(+\infty\). Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1\).

3. Pour tout réel \(x\), \(e^{-x} > 0\) et \(-1 \leq\, \cos(x) \leq\, 1\), donc \(-e^{-x} \leq\, h(x) \leq\, e^{-x}\). Or les deux fonctions qui encadrent tendent vers 0 en \(+\infty\). Donc, d’après le théorème des gendarmes, \(\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0\).

Erreur fréquente : dire que \(\sin(x)\) « tend vers une valeur entre \(-1\) et 1 » : en effet, la fonction sinus n’a pas de limite en \(+\infty\), d’où la nécessité d’un encadrement.

Barème : a) 0,5 point pour l’encadrement, 0,75 point par limite avec le théorème cité ; b) 0,75 point pour l’encadrement, 0,75 point pour la conclusion avec les gendarmes ; c) 0,5 point.

Exercice 4 : Étude d’une fonction exponentielle (8 points)

1. \(\lim_{x \to -\infty} (2x – 1) = -\infty\) et \(\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty\), donc par composition \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty\). Ainsi, par produit, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
2. En \(+\infty\), on a la forme indéterminée « \(+\infty \times 0\) ». On développe alors : \(f(x) = 2xe^{-x} – e^{-x} = 2 \times \dfrac{x}{e^x} – e^{-x}\).

   Par croissances comparées, \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0\), et \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0\). Donc, par somme, \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

   Ainsi, l’axe des abscisses (droite d’équation \(y = 0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

3. \(x f(x) = (2x^2 – x)e^{-x} = 2 \times \dfrac{x^2}{e^x} – \dfrac{x}{e^x}\). Par croissances comparées, les deux quotients tendent vers 0 en \(+\infty\), donc \(\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0\).

4. Question d : dérivée et variations de f

   \(f = uv\) avec \(u(x) = 2x – 1\), \(u^{\prime}(x) = 2\), \(v(x) = e^{-x}\), \(v^{\prime}(x) = -e^{-x}\). Donc :

   \(f^{\prime}(x) = 2e^{-x} + (2x – 1)(-e^{-x}) = (2 – 2x + 1)e^{-x} = (3 – 2x)e^{-x}\).

   Or \(e^{-x} > 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(3 – 2x\) : positif si \(x < \frac{3}{2}\), nul en \(\frac{3}{2}\), négatif si \(x > \frac{3}{2}\).

   Enfin, \(f(\frac{3}{2}) = (3 – 1)e^{-\frac{3}{2}} = 2e^{-\frac{3}{2}}\).

   \(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{3}{2}\)		\(+\infty\)
   signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	0	\(-\)
   variations de \(f\)	\(-\infty\)	↗	\(2e^{-\frac{3}{2}}\)	↘	0

   Le maximum de \(f\) vaut \(2e^{-\frac{3}{2}} \approx 0{,}45\), atteint en \(x = \frac{3}{2}\).

5. De plus, \(e^{-x} > 0\), donc \(f(x)\) a le signe de \(2x – 1\) : \(f(x) < 0\) si \(x < \frac{1}{2}\), \(f(\frac{1}{2}) = 0\) et \(f(x) > 0\) si \(x > \frac{1}{2}\).

   \(\mathcal{C}_f\) est au-dessous de l’axe des abscisses sur \(]-\infty\,;\frac{1}{2}[\), le coupe au point \((\frac{1}{2}\,;0)\) et est au-dessus sur \(]\frac{1}{2}\,;+\infty[\). C’est donc cohérent avec la figure : la courbe coupe l’axe en \(0{,}5\), culmine vers \(0{,}45\) en \(1{,}5\) puis se rapproche de l’axe par au-dessus.

Erreur fréquente : en b), conclure « \(+\infty \times 0 = 0\) » sans transformation. En effet, c’est une forme indéterminée, levée ici grâce aux croissances comparées.

Barème : a) 0,5 point pour les limites des facteurs, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour la transformation, 1 point pour la limite justifiée, 0,5 point pour l’asymptote ; c) 1 point ; d) 1 point pour la dérivée, 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau avec les limites, 0,5 point pour le maximum exact et approché ; e) 0,75 point pour le signe, 0,75 point pour la position et la cohérence avec la figure.

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Après le corrigé du contrôle : limites par croissances comparées

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