Corrigé du contrôle de maths 2de : puissances, racines carrées et fractions

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\). \(2^7 = 128\).
2. \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
3. \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) et \(-3^2 = -(3 \times 3) = -9\). \((-3)^2 = 9\) et \(-3^2 = -9\).
4. \(0{,}5^2 = 0{,}25\) et \(0{,}5 \geq\, 0\). \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\).
5. \(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). Résultat : \(\frac{2}{3}\).
6. \(5^0 + 5^{-1} = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0{,}2\). Résultat : \(1{,}2\).
7. \(\frac{7}{5} – \frac{1}{2} = \frac{14}{10} – \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\). Résultat : \(\frac{9}{10}\).
8. \((\sqrt{7})^2 = 7\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte ; en c), les deux valeurs sont exigées.

Erreur fréquente : écrire \(-3^2 = 9\). L’exposant ne porte que sur 3, pas sur le signe moins : il faut des parenthèses pour élever \(-3\) au carré.

Exercice 2 : Calculs avec des fractions (4 points)

1. La multiplication est prioritaire :

   \(A = \frac{2}{3} + \frac{5 \times 4}{6 \times 5} = \frac{2}{3} + \frac{4}{6} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\).

   \(A = \frac{4}{3}\).

2. On calcule d’abord chaque parenthèse :

   \(1 – \frac{3}{4} = \frac{4}{4} – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).

   Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

   \(B = \frac{1}{4} : \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).

   \(B = \frac{3}{10}\).

3. Numérateur : \(\frac{5}{2} – \frac{1}{3} = \frac{15}{6} – \frac{2}{6} = \frac{13}{6}\).

   \(C = \frac{13}{6} : \frac{13}{9} = \frac{13}{6} \times \frac{9}{13} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).

   \(C = \frac{3}{2}\).

Barème : a) 0,5 point pour la priorité de la multiplication, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point par parenthèse, 0,5 point pour la division et la simplification ; c) 0,5 point pour le numérateur, 0,5 point pour la division, 0,5 point pour le résultat irréductible.

Erreur fréquente : en a), additionner d’abord \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}\) avant de multiplier : la multiplication est prioritaire sur l’addition.

Exercice 3 : Puissances et écriture scientifique (4 points)

1. \(D = \frac{2^{5 + (-3)}}{2^4} = \frac{2^2}{2^4} = 2^{2 – 4} = 2^{-2}\), donc \(D = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

   \((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6\), donc \(E = \frac{3^6 \times 3^{-4}}{3^1} = \frac{3^2}{3^1} = 3^{1}\), soit \(E = 3\).

2. On regroupe les nombres et les puissances de 10 :

   \(F = \frac{15 \times 4}{3} \times \frac{10^4 \times 10^{-7}}{10^{-5}} = 20 \times 10^{4 – 7 + 5} = 20 \times 10^2\).

   Or \(20 = 2 \times 10^1\), donc \(F = 2 \times 10^1 \times 10^2 = 2 \times 10^3\).

   \(F = 2 \times 10^3\).

3. \(150\,000\,000 \text{ km} = 1{,}5 \times 10^8 \text{ km}\) et \(1 \text{ km} = 10^3 \text{ m}\), donc la distance vaut \(1{,}5 \times 10^8 \times 10^3 = 1{,}5 \times 10^{11}\) m.

   Temps \(= \frac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500\) s.

   \(500 = 8 \times 60 + 20\), donc 500 s = 8 min 20 s.

   La lumière du Soleil met 500 secondes, soit 8 min 20 s, pour atteindre la Terre.

4. \(0{,}000\,02 = 2 \times 10^{-5}\) m. Une ligne de 1 cm mesure \(10^{-2}\) m, et \(\frac{10^{-2}}{2 \times 10^{-5}} = 0{,}5 \times 10^{3} = 500\). Il faudrait aligner 500 cellules.

Barème : a) 0,5 point par expression ; b) 0,5 point pour le regroupement, 0,5 point pour l’écriture scientifique ; c) 0,5 point pour la distance en mètres, 0,5 point pour le quotient, 0,5 point pour la conversion en minutes et secondes ; d) 0,25 point pour l’écriture scientifique, 0,25 point pour le nombre de cellules.

Erreur fréquente : laisser \(F = 20 \times 10^2\) : ce n’est pas une écriture scientifique, car le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu).

Exercice 4 : Racines carrées (4 points)

1. On fait apparaître le plus grand carré parfait possible et on utilise \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) pour \(a\) et \(b\) positifs :

   \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\) ;

   \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\) ;

   \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\).

   \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

2. \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\) et \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\).

   \(G = 5\sqrt{2} – 3 \times 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} – 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).

   \(G = 2\sqrt{2}\).

3. \((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12\) et \(\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9\).

   \(H = 12 – 9 = 3\). \(H = 3\), c’est bien un entier.

4. On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{3}\) :

   \(\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\). \(\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\).

Barème : a) 0,5 point par racine ; b) 0,5 point pour la simplification de \(\sqrt{8}\) et \(\sqrt{18}\), 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point par terme, résultat compris ; d) 0,25 point pour la méthode, 0,25 point pour le résultat.

Erreur fréquente : écrire \(\sqrt{50} – \sqrt{8} = \sqrt{42}\) : la racine carrée d’une différence n’est pas la différence des racines ; il faut d’abord simplifier chaque racine.

Exercice 5 : Le jardin carré de Nour (4 points)

1. \(ABCD\) est un carré, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) avec \(AB = BC = 6\) m. D’après le théorème de Pythagore :

   \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 36 + 36 = 72\).

   \(AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\). \(AC = 6\sqrt{2}\) m.

2. Le périmètre du jardin vaut \(4 \times 6 = 24\) m. La longueur de bordure est donc \(24 + 6\sqrt{2}\) m.

   \(6\sqrt{2} \approx 6 \times 1{,}414 = 8{,}484\), donc \(24 + 6\sqrt{2} \approx 32{,}484\).

   Il faut \(24 + 6\sqrt{2}\) m de bordure, soit environ \(32{,}48\) m.

3. L’aire du nouveau carré vaut \(AC^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72\) m². L’aire du jardin vaut \(6^2 = 36\) m², et \(72 = 2 \times 36\).

   Le carré construit sur la diagonale a une aire de \(72\text{ m}^2\), le double de celle du jardin.

4. \(M\) est le milieu de \([AB]\), donc \(AM = 3\) m. Le triangle \(ADM\) est rectangle en \(A\). D’après le théorème de Pythagore :

   \(DM^2 = AD^2 + AM^2 = 36 + 9 = 45\).

   \(DM = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\). \(DM = 3\sqrt{5}\) m.

Barème : a) 0,25 point pour le triangle rectangle cité, 0,5 point pour l’égalité de Pythagore, 0,25 point pour la simplification ; b) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour la valeur approchée ; c) 0,5 point pour l’aire, 0,5 point pour la comparaison ; d) 0,25 point pour \(AM = 3\), 0,5 point pour Pythagore, 0,25 point pour \(3\sqrt{5}\).

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Après le corrigé du contrôle : puissances, racines carrées et fractions

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