Equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de

cours maths 2de

Les mathématiques sont considérées comme la matière où les élèves rencontrent le plus de difficultés. Mathovore vous permet de travailler sur equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de et réviser en ligne par le biais de milliers de ressources rédigées par une équipe d'enseignants volontaires de l'éducation nationale. Vous développerez vos connaissances autant dans le domaine de l'algébre qu'en géométrie. Les mêmes ressources que vous trouverez dans votre manuel scolaire avec des cours complets conformes aux programmes officiels de l'éducation nationale et des exercices corrigés poortant sur chaque chapitre du programme de votre niveau. Chaque document dispose, en bas de page, d'un lien vous permettant de l'exporter au format PDF. Oubliez les cours particuliers qui peuvent être très cher sur une année scolaire. Nos resssources, cours et exercices corrigés sur equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de vous permettent de vous exercer en ligne afin de combler vos lacunes en maths et d'envisager une constante progression tout au long de l'année scolaire en développant de nouvelles compétences et en comblant les différentes lacunes que vous rencontrez sur les cours de maths en 2de . De nombreuses ressources en ligne pour les élèves de primaire (CE2, CM1 et CM1), du collège (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) et du lycée (2de, 1ère et terminale) ainsi que de nombreux sujets du brevet des collèges et du baccalauréat afin de vous préparer dans les meileurs conditions pour ces diplômes. Les membres du site ont accès gratuitement aux différents corrigés afin de pouvoir relever les différents erreurs commises sur equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de et d'assimiler les différentes notions comme les définitions, les propriétés et les théorèmes.

La résolution d’équations et d’inéquations dans un cours de maths en 2de où nous résolvons des équations  par le calcul puis par la méthode graphique.

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre

  • Vérifier qu’un nombre est solution d’une équation;
  • Vérifier qu’un nombre est solution d’une inéquation;
  • Résoudre des équations simples;
  • Résoudre des inéquations simples.

0. Introduction

Quelle est la différence entre une égalité et une équation ?

Une égalité est une affirmation qui utilise le symbole = et qui peut être que vraie ou fausse.Par exemple, 3\times  \,4=12 est une égalité qui est vraie, et \pi=3,14 est une égalité qui est fausse.

Une équation est une égalité dans laquelle se trouve un nombre inconnu, généralement noté x.

I. Résolution exacte d’ équations et d’inéquations

La résolution algébrique d’une équation ou d’une inéquation permet de trouver la valeur exacte de chacune des solutions.

1. Equation et inéquation du 1er degré

Propriété : opérations sur les équations.

Les opérations suivantes ne changent pas l’ensemble des solutions d’une équation :

  •  additionner un même nombre aux deux membres d’une équation ;
  • multiplier par un même nombre non nul les deux membres d’une équation.
Propriété : opérations sur les inéquations.

Les opérations suivantes ne changent pas l’ensemble des solutions d’une inéquation :

  •  additionner un même nombre aux deux membres d’une inéquation ;
  •  multiplier par un même nombre positif non nul les deux membres d’une inéquation ;
  •  multiplier par un même nombre négatif non nul les deux membres d’une inéquation
    à condition d’inverser le sens de l’inégalité.

Méthode : résoudre un problème algébriquement.

    1.  On détermine et dénomme l’inconnue.
    2.  On interprète les informations sous forme d’une (in)équation.
    3.  On résout l’(in)équation en utilisant les règles précédentes :
      •  on regroupe les termes contenant l’inconnue dans le même membre de l’(in)équation ;
      •  si nécessaire, on réduit les expressions des deux membres ;
      •  on isole l’inconnue dans l’ordre inverse des priorités de calcul.
  1.  On répond au problème posé par une phrase. La résolution de l’(in)équation peut faire apparaître des solutions correctes mathématiquement,mais incohérentes avec le problème.

Exemple :
Le cinéma d’art et d’essai de Mathyville propose une carte d’abonnement annuelle à 15 € et la
séance coûte alors 6,40 € au lieu de 9 €.

Rania hésite à s’abonner.
À combien de séances dans l’année doit-elle assister au minimum pour que l’abonnement devienne intéressant ?

Correction
1) On désigne par x le nombre de séances de cinéma auxquelles Rania ira cette année.
2) Avec l’abonnement cela coûterait : 15 + 6,4x.
Sans l’abonnement cela coûterait : 9x. Pour que l’abonnement soit intéressant, il suffit que
15 + 6, 4x < 9x.

3) Lors de la résolution qui suit, chaque étape est équivalente à la précédente.
15\,+\,6,\,4x\,-\,6,\,4x\,<9x-\,6,\,4x
15\,<\,2,\,6x

\frac{15}{2,\,6}\,<\,\frac{2,\,6x}{2,\,6}

\frac{15}{2,6}<x

Les solutions de cette inéquation sont les nombres de l’intervalle ]\frac{15}{2,6};+\infty[.
4) Or,\frac{15}{2,6}\simeq\,5,8. Les solutions du problème sont les nombres entiers supérieurs ou égaux à 6.
Donc il suffit que Rania aille au cinéma au moins 6 fois dans l’année pour que l’abonnement
soit intéressant.

2. Les équations-produits :

Propriété :
Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

Méthode : obtenir et résoudre une équation-produit.
Pour résoudre une équation plus complexe, on obtient puis résout une équation-produit.
1) On se ramène à une équation ayant un membre nul.
2) On factorise l’expression littérale.
3) On résout l’équation produit obtenue.

Exemple :
Dans un repère, on représente f définie par f\,(x)\,=\,3(x\,-7)^2\,-\,12 pour x\,\in\,[-6;\,6].
Combien de fois la courbe coupera-t-elle l’axe des abscisses ?
S’il(s) existe(nt), préciser les coordonnées de ce(s) point(s).

Correction
Les points d’intersection d’une courbe avec l’axe des abscisses sont les points de la courbe
d’ordonnée nulle.

On note x l’abscisse des points d’intersection. Ce sont donc les antécédents
de 0 et il suffit de résoudre l’équation 3(x\,-\,7)^2\,-\,12\,=\,0 dans [−6; 6] pour les trouver.
Lors de la résolution, chaque étape est équivalente à la précédente.
1) On obtient et on simplifie une équation ayant un membre nul.
3(x\,-\,7)^2\,-\,12\,=\,0
(x\,-\,7)^2\,-\,4\,=\,0

2) On factorise en reconnaissant l’identité remarquable : a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,+\,b)(a\,-\,b).
(x-\,7)^2\,-\,22\,=\,0
(x − 7 + 2)(x − 7 − 2) = 0
(x − 5)(x − 9) = 0

3) On résout l’équation produit obtenu.
x − 5 = 0 ou x − 9 = 0
x = 5 ou x = 9

4) On répond au problème posé.
Cette équation a deux solutions : 5 et 9.
Or, 9 \notin [−6; 6]. La courbe représentative de la fonction f dans un repère pour x\,\in\,[-6;\,6],
coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (5; 0).

Remarques :
Certaines équations ne se factorisent pas dans \mathbb{R}.
Par exemple x^2\,+\,3\,=\,0 n’admet pas de solution réelle.
Des logiciels de calculs formels peuvent aider à la résolution d’équation.

II. Résolution approchée d’équations et d’inéquations

Quand la résolution algébrique d’une (in)équation n’est pas possible, on peut cependant
localiser et estimer des valeurs approchées.

Méthode : estimer graphiquement une solution.
1) On trouve deux fonctions f et g telles que l’équation ou l’inéquation puisse s’écrire sous la forme
f (x) = g(x) ou f (x) < g(x).
2) On trace les courbes représentatives de f et g dans un même repère.
3) On cherche les abscisses
• des points d’intersection des deux courbes pour résoudre f (x) = g(x) ;
• des points de Cf au-dessous (au-dessus) de Cg pour f (x) < g(x) ( f (x) > g(x)).

Exemple :
Jacques a dit que le périmètre d’un carré est toujours inférieur à son aire. A-t-il raison ?

Correction
1) On note x le côté d’un carré. Le périmètre est définie par P(x) = 4x et l’aire par A(x) = x^2.
Répondre à la question revient à étudier l’inéquation P(x)\,\leq\,\,A(x).
2) On trace leur courbe représentative C_P et C_A dans un même repère.
3) Le graphique indique deux zones disjointes pour lesquelles P(x)\,\leq\,\,A(x) : ]\,-\infty;\,0] et
[4;+\infty[. Donc, pour des valeurs entre 0 et 4 unités, le périmètre d’un carré est supérieur à son
aire. Jacques a tort !

Résolution graphique d'équations et d'inéquations.

Notation:

Les solutions de l’inéquation P(x)\,\leq\,\,A(x)sont dans ]\,-\infty;\,0][4;+\infty[.

Le symbole ∪ désigne la réunion des deux intervalles ; il indique qu’un nombre dans l’un ou
l’autre des deux intervalles est solution de cette inéquation.

Méthode : affiner une solution.

Voici le graphique obtenu lors de la résolution de x^2\,+\,(9\,-\,x)^2\,+\,32\,=\,81.
Donner des valeurs approchées à 10^{-2} près des solutions.

graphique

Correction
Le graphique met en évidence deux solutions
proches l’une de 2,5 et l’autre de 6,5.

On pose f\,(x)\,=\,x^2\,+\,(9\,-\,x)^2\,+\,32.

tableau

Les deux solutions sont environ 2,44 cm et 6,56 cm.

Vous avez assimilé ce cours sur les équations, les inéquations et la résolution graphique en 2de?

Effectuez ce QCM sur les équations, les inéquations et la résolution graphique en classe de seconde.

Equations, inéquations et résolution graphique

Un QCM sur les équations, inéquations et résolution graphique.

4.2/5 - (30 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de» au format PDF.




Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

D'autres fiches similaires à equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème equations, inéquations et résolution graphique : cours de maths en 2de, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.
  • 68
    Les inéquations : cours de maths en 3ème en PDF. Les inéquations du premier degré à une inconnue dans un cours de maths en 3ème où nous verrons la définition d'une inéquation ainsi que les règle de résolution des inéquations mais également, la représentation de l'ensemble solution sur une droite graduée et l'étude de problèmes amenant à une inéquation. I.…
  • 62
    Calcul littéral : correction des exercices en troisième Développer avec les identités remarquables, exercices corrigés de mathématiques en troisième (3ème) sur les identités remarquables. Exercice: Développer en utilisant les identités remarquable : Exercice : On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .…
  • 60
    Les équations et inéquations : correction des exercices en troisième Résoudre des équations du premier degré à une inconnue.Exercices corrigés de mathématiques en troisième (3ème). Exercice : Exercice : Déterminer trois nombres entier positifs consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1 325.     Pour la facilité des calculs on choisira les nombres consécutifs suivants : n-1…
  • 60
    France 2017 : sujet du brevet de maths avec son corrigé DIPLÔME NATIONAL DU BREVET SESSION 2017 PREMIÈRE ÉPREUVE 1ère partie MATHÉMATIQUES Série générale Durée de l’épreuve : 2 heures – 50 points THÉMATIQUE COMMUNE DE L’ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES-SCIENCES : L’ÉNERGIE Exercice 1 (4 points) Dans une urne contenant des boules vertes et des boules bleues, on tire au hasard une…
  • 58
    Problèmes de maths et calculs à résoudre à imprimer en PDF.La série des problèmes ouverts de maths afin de réfléchir sur des exercices complexes avec un travail individuel ou en groupe.Ces exercices développe l'esprit d'initiative et le raisonnement scientifique pour les élèves du collège et du lycée. Une série de problèmes ouverts afin de développer la prise d'initiative et le…


Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 493 871 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 184 557 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.