Contrôle de maths 2de : fonctions carré, inverse et valeur absolue

Exercice 1 : Trois courbes de référence (4 points)

Calculatrice autorisée.

On a tracé dans un même repère les courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\) de la fonction carré \(f : x \mapsto x^2\), de la fonction inverse \(g : x \mapsto \frac{1}{x}\) et de la fonction valeur absolue \(h : x \mapsto |x|\), dans le désordre.

1. Associer chaque courbe à sa fonction, en justifiant à l’aide d’une image ou d’une propriété. (1,5 point)
2. Quelles courbes sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées ? Laquelle est symétrique par rapport à l’origine du repère ? Préciser dans chaque cas si la fonction est paire ou impaire. (1,5 point)
3. Démontrer par le calcul que la fonction carré est paire et que la fonction inverse est impaire. (1 point)

Exercice 2 : Variations et comparaisons (4 points)

1. Dresser le tableau de variations de la fonction carré sur \(\mathbb{R}\), puis celui de la fonction inverse sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\). (1,5 point)
2. Sans calculer les carrés, comparer \((-3{,}7)^2\) et \((-2{,}9)^2\). Justifier à l’aide du sens de variation. (1 point)
3. Sans calculer les inverses, comparer \(\dfrac{1}{0{,}7}\) et \(\dfrac{1}{0{,}71}\). (0,75 point)
4. On sait que \(-5 \leq\, x \leq\, -2\). Donner le meilleur encadrement possible de \(x^2\). (0,75 point)

Exercice 3 : Inéquations avec le carré et l’inverse (5 points)

Pour chaque inéquation, on pourra s’aider du graphique de l’exercice 1, mais la réponse doit être justifiée par le calcul.

1. Résoudre \(x^2 < 9\) dans \(\mathbb{R}\) (on pourra factoriser \(x^2 – 9\)). (1,5 point)
2. Résoudre \(x^2 \geq\, 5\) dans \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. Résoudre \(\dfrac{1}{x} \geq\, 2\) pour \(x \neq 0\). (1,5 point)
4. Résoudre \(\dfrac{1}{x} > -1\) pour \(x \neq 0\). (1 point)

Exercice 4 : Valeur absolue et distance (4 points)

1. Écrire sans barres de valeur absolue : \(|-7|\), \(|3 – \pi|\) et \(|\sqrt{2} – 1{,}5|\). (1,5 point)
2. En interprétant \(|x – 3|\) comme une distance, résoudre \(|x – 3| \leq\, 1\). Donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle. (1 point)
3. Résoudre \(|x + 2| > 3\). (1 point)
4. Résoudre l’équation \(|x – 1| = |x + 3|\). (0,5 point)

Exercice 5 : Une tolérance de fabrication (3 points)

Une usine fabrique des plaques carrées. Le côté \(c\) d’une plaque, en millimètres, est jugé conforme lorsque \(|c – 25| \leq\, 0{,}2\).

1. Traduire cette condition par un intervalle. (1 point)
2. Parmi les plaques de côtés 24,85 mm ; 25,21 mm ; 24,79 mm et 25,2 mm, lesquelles sont conformes ? (1 point)
3. En utilisant le sens de variation de la fonction carré, donner un encadrement de l’aire d’une plaque conforme, en mm². (1 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions carré, inverse et valeur absolue

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles » en 2de et « Fonctions polynômes du second degré » en 2de.

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