Voici le corrigé complet des quinze exercices de statistiques proposés en 1ère. Chaque solution détaille la démarche : effet d’une transformation affine y = ax + b sur la moyenne et l’écart-type, comparaison du milieu et de la médiane, calculs de variance à partir d’un tri à plat, de quartiles, d’étendue et de mode.
Les dernières solutions montrent comment exploiter un diagramme en boîte, retrouver des effectifs grâce aux aires d’un histogramme, compléter un tableau croisé avec des pourcentages, lire des diagrammes en barres empilées ou circulaires et interpréter une évolution dans le temps. Des figures refaites accompagnent les constructions demandées (barres, polygone des fréquences cumulées, boîte, histogramme).
Pour progresser, traitez d’abord les énoncés de la fiche sur les séries statistiques sans aide, puis confrontez vos réponses à ces explications en repérant l’étape où votre raisonnement diverge. Puis les résultats importants sont mis en gras et les valeurs approchées sont signalées.
Exercice 1 (statistiques 1ère corrigé)
Au bout de 4 ans, chaque élève a exactement 4 ans de plus : si \(x_i\) désigne l’âge au CP, le nouvel âge est \(y_i=x_i+4\). Chaque taille a doublé : si \(t_i\) désigne la taille au CP, la nouvelle taille est \(u_i=2t_i\).
On utilise les propriétés d’une transformation affine \(y=ax+b\) : \(\overline{y}=a\,\overline{x}+b\), \(V(y)=a^2\,V(x)\) et \(\sigma_y=|a|\,\sigma_x\).
- Âges (\(a=1\), \(b=4\)) : la moyenne des âges augmente de 4 ans et la variance reste la même : \(\overline{y}=\overline{x}+4\) et \(V(y)=V(x)\).
- Tailles (\(a=2\), \(b=0\)) : la moyenne des tailles est multipliée par 2 et la variance par 4 : \(\overline{u}=2\,\overline{t}\) et \(V(u)=4\,V(t)\) (l’écart-type est multiplié par 2).
Elle n’a donc rien à recalculer à partir des données brutes. Quant au réalisme : un enfant qui double sa taille entre 6 et 10 ans (par exemple de 1,15 m à 2,30 m) est impossible.
Exercice 2 :
On cherche une transformation affine \(y=ax+b\) avec \(a\gt 0\), où \(x\) est l’ancien salaire et \(y\) le nouveau.
- Écart-type : \(\sigma_y=a\,\sigma_x\) donc \(60=90a\), soit \(a=\dfrac{60}{90}=\dfrac{2}{3}\).
- Moyenne : \(\overline{y}=a\,\overline{x}+b\) donc \(1700=\dfrac{2}{3}\times 1500+b=1000+b\), soit \(b=700\).
Transformation proposée : \(y=\dfrac{2}{3}x+700\).
Un salaire est augmenté lorsque \(\dfrac{2}{3}x+700\gt x\), c’est-à-dire \(700\gt \dfrac{x}{3}\), soit \(x\lt 2100\) euros.
Le salaire minimum devient \(\dfrac{2}{3}\times 1300+700\approx 1566{,}67\) euros (hausse), mais le salaire maximum devient \(\dfrac{2}{3}\times 5000+700\approx 4033{,}33\) euros (baisse).
Non, tous les salaires ne seront pas augmentés : ceux supérieurs à 2 100 euros diminuent.
Exercice 3 (statistiques 1ère corrigé)
1. Chaque série comporte 7 valeurs rangées dans l’ordre croissant : la médiane est la 4e valeur. De plus, le milieu est \(\dfrac{x_{min}+x_{max}}{2}\).
| Série | Médiane | Milieu |
| Série 01 | 12 | \(\dfrac{3+21}{2}=12\) |
| Série 02 | 12 | \(\dfrac{9+21}{2}=15\) |
| Série 03 | 12 | \(\dfrac{1+15}{2}=8\) |
| Série 04 | 18 | \(\dfrac{3+21}{2}=12\) |
2. Ensuite, les séries 01, 02 et 03 ont la même médiane (12) mais des milieux différents ; les séries 01 et 04 ont le même milieu (12) mais des médianes différentes. Le milieu et la médiane sont en général différents : le milieu ne dépend que des deux valeurs extrêmes, alors que la médiane partage la série en deux groupes de même effectif et n’est pas sensible aux valeurs extrêmes.
3. Par ailleurs, il suffit d’une série dont une valeur extrême est très éloignée des autres. Par exemple la série 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 11 : la médiane est 3 et le milieu est \(\dfrac{1+11}{2}=6\). Le milieu 6 est bien le double de la médiane 3.
Exercice 4 :
1. À la calculatrice : \(\overline{X}=\dfrac{512}{16}\) et \(\overline{Y}=\dfrac{560}{16}\), soit \(\overline{X}=32\) minutes et \(\overline{Y}=35\) minutes.
2. (a) Avec les effectifs : \(\overline{X}=\dfrac{1\times 28+1\times 29+2\times 30+1\times 31+3\times 32+5\times 33+2\times 34+1\times 35}{16}=\dfrac{512}{16}=32\). \(\overline{X}=32\).
(b) Avec les fréquences : \(\overline{X}=\sum f_i x_i=0{,}0625\times 28+0{,}0625\times 29+0{,}125\times 30+0{,}0625\times 31+0{,}1875\times 32+0{,}3125\times 33+0{,}125\times 34+0{,}0625\times 35=32\). Puis on retrouve \(\overline{X}=32\).
(c) \(V(X)=\dfrac{1}{16}\sum n_i x_i^2-\overline{X}^2=\dfrac{16\,440}{16}-32^2=1027{,}5-1024=3{,}5\). \(V(X)=3{,}5\) et \(\sigma_X=\sqrt{3{,}5}\approx 1{,}87\) minute.
(d) \(V(X)=\sum f_i x_i^2-\overline{X}^2=1027{,}5-1024=3{,}5\) : on obtient évidemment le même résultat, \(\sigma_X\approx 1{,}87\).
3. Tri à plat de Y :
| \(y_i\) | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | Total |
| \(n_i\) | 2 | 3 | 6 | 3 | 2 | 16 |
| \(f_i\) | 0,125 | 0,1875 | 0,375 | 0,1875 | 0,125 | 1 |
(a) \(\overline{Y}=\dfrac{2\times 33+3\times 34+6\times 35+3\times 36+2\times 37}{16}=\dfrac{560}{16}=35\).
(b) \(\overline{Y}=0{,}125\times 33+0{,}1875\times 34+0{,}375\times 35+0{,}1875\times 36+0{,}125\times 37=35\). \(\overline{Y}=35\).
(c) et (d) \(V(Y)=\dfrac{19\,622}{16}-35^2=1226{,}375-1225=1{,}375\) (même calcul avec les fréquences). \(V(Y)=1{,}375\) et \(\sigma_Y\approx 1{,}17\) minute.
Les spectateurs estiment les coupures plus longues sur la chaîne 2, mais leurs estimations y sont moins dispersées.
Exercice 5 (statistiques 1ère corrigé)
1. Tableaux statistiques (fréquences en %, arrondies au centième ; ECC = effectifs cumulés croissants).
| Série X | 35 | 75 | 85,5 | 99,9 | 100 | 104,5 | 124 | 138,5 | 185 | Total |
| Effectifs | 12 | 29 | 48 | 65 | 44 | 50 | 27 | 17 | 8 | 300 |
| Fréquences (%) | 4 | 9,67 | 16 | 21,67 | 14,67 | 16,67 | 9 | 5,67 | 2,67 | 100 |
| ECC | 12 | 41 | 89 | 154 | 198 | 248 | 275 | 292 | 300 | |
| Fréq. cumulées (%) | 4 | 13,67 | 29,67 | 51,33 | 66 | 82,67 | 91,67 | 97,33 | 100 |
| Série Y | 28,25 | 42,5 | 62,5 | 99,9 | 100 | 114 | 139,5 | 195,5 | 288,45 | Total |
| Effectifs | 18 | 48 | 52 | 55 | 40 | 32 | 35 | 24 | 10 | 314 |
| Fréquences (%) | 5,73 | 15,29 | 16,56 | 17,52 | 12,74 | 10,19 | 11,15 | 7,64 | 3,18 | 100 |
| ECC | 18 | 66 | 118 | 173 | 213 | 245 | 280 | 304 | 314 | |
| Fréq. cumulées (%) | 5,73 | 21,02 | 37,58 | 55,10 | 67,83 | 78,03 | 89,17 | 96,82 | 100 |
2. et 3. Diagrammes en barres (hauteur proportionnelle à l’effectif) et polygones des fréquences cumulées croissantes (on relie les points de coordonnées (valeur ; fréquence cumulée)) :
4. \(\overline{X}=\dfrac{12\times 35+29\times 75+\dots+8\times 185}{300}=\dfrac{30\,000}{300}=100\) et \(\overline{Y}=\dfrac{18\times 28{,}25+48\times 42{,}5+\dots+10\times 288{,}45}{314}=\dfrac{31\,400}{314}=100\). Les deux séries ont pour moyenne 100.
5. Ensuite, pour X, \(N=300\) : la médiane est la moyenne des 150e et 151e valeurs. Puis les ECC passent de 89 à 154 pour la valeur 99,9, donc ces deux valeurs valent 99,9. De plus, pour Y, \(N=314\) : la médiane est la moyenne des 157e et 158e valeurs ; les ECC passent de 118 à 173 pour 99,9. Les deux séries ont pour médiane 99,9.
Exercice 5 (statistiques 1ère corrigé) (suite)
6. Étendue de X : \(185-35=150\) ; étendue de Y : \(288{,}45-28{,}25=260{,}2\). Étendues : 150 pour X et 260,2 pour Y.
7. Ensuite, la valeur de plus grand effectif est 99,9 dans les deux cas (65 pour X, 55 pour Y). Les deux séries ont pour mode 99,9.
8. Moyenne, médiane et mode (paramètres de position) sont identiques : ils ne suffisent pas à différencier les deux séries. Par ailleurs, ce sont les paramètres de dispersion qui les distinguent : l’étendue (150 contre 260,2) et l’écart-type (environ 24,4 pour X contre environ 55,3 pour Y) montrent que la série Y est beaucoup plus dispersée. Puis pour décrire une série, il faut donc toujours associer un paramètre de position et un paramètre de dispersion.
Exercice 6 :
a) L’effectif total est \(N=2+1+3+2=8\).
\(\overline{x}=\dfrac{2\times 1+1\times 5+3\times 13+2\times 17}{8}=\dfrac{80}{8}=10\).
\(V=\dfrac{2\times 1^2+1\times 5^2+3\times 13^2+2\times 17^2}{8}-10^2=\dfrac{1112}{8}-100=139-100=39\).
Moyenne : 10 ; écart-type : \(\sigma=\sqrt{39}\approx 6{,}24\).
b) Série ordonnée : 1 ; 1 ; 5 ; 13 ; 13 ; 13 ; 17 ; 17.
- Médiane : moyenne des 4e et 5e valeurs, \(\dfrac{13+13}{2}=13\).
- \(Q_1\) : \(\dfrac{8}{4}=2\), c’est la 2e valeur, \(Q_1=1\).
- \(Q_3\) : \(\dfrac{3\times 8}{4}=6\), c’est la 6e valeur, \(Q_3=13\).
Médiane : 13 ; écart interquartile : \(Q_3-Q_1=13-1=12\).
c) On place min = 1, \(Q_1=1\), Me = 13, \(Q_3=13\) et max = 17. Ensuite, la boîte va de 1 à 13 (la médiane est confondue avec \(Q_3\)), la moustache de gauche est réduite à un point et celle de droite va de 13 à 17.
Exercice 7 (statistiques 1ère corrigé)
Puis, la somme des tailles de tous les élèves est \(35\times 1{,}7=59{,}5\text{ m}\).
La somme des tailles des garçons est \(15\times 1{,}8=27\text{ m}\).
La somme des tailles des filles est donc \(59{,}5-27=32{,}5\text{ m}\) et leur taille moyenne vaut \(\dfrac{32{,}5}{20}=1{,}625\).
La taille moyenne des filles est 1,625 m.
Exercice 8 :
a) Sur le diagramme, on lit : minimum 10, \(Q_1=40\), médiane 50, \(Q_3=70\), maximum 80.
Médiane : 50 ; intervalle interquartile : [40 ; 70], d’amplitude \(70-40=30\).
b) Entre la médiane et le troisième quartile se trouvent environ 25 % des individus (50 % en dessous de la médiane, 75 % en dessous de \(Q_3\)). \(0{,}25\times 72=18\).
Environ 18 individus ont une valeur comprise entre 50 et 70. (Il s’agit d’une valeur approchée : les quartiles ne partagent l’effectif qu’à peu près en quarts.)
Exercice 9 (statistiques 1ère corrigé)
Dans un histogramme, l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif. Puis le rectangle de [23 ; 25[ a pour largeur 2 et pour hauteur 2 : son aire vaut 4 unités d’aire, qui représentent 10 individus. De plus, une unité d’aire représente donc \(\dfrac{10}{4}=2{,}5\) individus.
| Classe | [11 ; 17[ | [17 ; 19[ | [19 ; 21[ | [21 ; 23[ | [23 ; 25[ | [25 ; 35[ |
| Aire (largeur × hauteur) | \(6\times 3=18\) | \(2\times 5=10\) | \(2\times 6=12\) | \(2\times 5=10\) | \(2\times 2=4\) | \(10\times 1=10\) |
| Effectif | 45 | 25 | 30 | 25 | 10 | 25 |
L’effectif total de la série est 160.
Exercice 10 :
a) On prend le centre de chaque classe : 5 ; 9 ; 11 et 16. Ensuite, L’effectif total est \(12+6+8+16=42\).
\(\overline{x}=\dfrac{12\times 5+6\times 9+8\times 11+16\times 16}{42}=\dfrac{458}{42}\approx 10{,}9\).
La moyenne est environ 10,9 (valeur approchée, car on remplace chaque classe par son centre).
b) Largeur de chaque rectangle (1 cm pour 2 unités) puis hauteur = effectif ÷ largeur (1 cm² pour un individu) :
| Classe | [2 ; 8[ | [8 ; 10[ | [10 ; 12[ | [12 ; 20[ |
| Largeur | 3 cm | 1 cm | 1 cm | 4 cm |
| Aire | 12 cm² | 6 cm² | 8 cm² | 16 cm² |
| Hauteur | 4 cm | 6 cm | 8 cm | 4 cm |
Exercice 11 (statistiques 1ère corrigé)
a. Taux de réussite : \(\dfrac{371\,705}{381\,132}\times 100\approx 97{,}53\). Le taux de réussite 2021 est environ 97,5 %.
b. Nombre de filles : \(381\,132\times 0{,}562\approx 214\,196{,}2\). Il y avait environ 214 196 filles.
c. Filles admises : \(214\,196\times 0{,}981\approx 210\,126{,}3\). Environ 210 126 filles ont été admises.
On complète ensuite par soustractions : filles refusées \(214\,196-210\,126=4\,070\) ; garçons \(381\,132-214\,196=166\,936\) ; garçons admis \(371\,705-210\,126=161\,579\) ; garçons refusés \(166\,936-161\,579=5\,357\) ; total des refusés \(381\,132-371\,705=9\,427\).
| Admis | Refusé | Total | |
| Fille | 210 126 | 4 070 | 214 196 |
| Garçon | 161 579 | 5 357 | 166 936 |
| Total | 371 705 | 9 427 | 381 132 |
Exercice 12 :
Lectures sur le diagramme (valeurs approchées) :
| Refusé | Sans mention | Assez bien | Bien | Très bien | |
| Bac général | 4 % | 27 % | 30 % | 25 % | 14 % |
| Bac technologique | 9 % | 46 % | 31 % | 12 % | 2 % |
| Bac professionnel | 17 % | 33 % | 30 % | 16 % | 4 % |
a. Vrai : environ 4 % de refusés au bac général, contre environ 9 % au bac technologique et 17 % au bac professionnel.
b. Vrai : la partie « sans mention » va d’environ 9 % à 55 % pour le bac technologique, soit environ 46 %, contre environ 27 % (général) et 33 % (professionnel).
c. Faux : la mention Très bien va d’environ 86 % à 100 % pour le bac général, soit environ 14 % des candidats, et non 20 %.
d. Vrai : la mention Assez bien représente environ 30 % des candidats pour chacun des trois bacs (de 31 % à 61 %, de 55 % à 86 % et de 50 % à 80 %).
Exercice 13 :
a. Similitudes : chez les hommes comme chez les femmes, la tranche 40-60 ans est largement majoritaire (57 % des femmes, 62 % des hommes). Différences : les femmes sont plus souvent âgées de 60 à 80 ans (24 % contre 14 %) et un peu moins souvent de 20 à 40 ans (19 % contre 24 %). Les répartitions sont proches, mais les femmes du Gouvernement sont en proportion plus âgées que les hommes.
b. Par ailleurs, on applique chaque pourcentage à l’effectif 21. Femmes : \(21\times 0{,}19=3{,}99\approx 4\) ; \(21\times 0{,}57=11{,}97\approx 12\) ; \(21\times 0{,}24=5{,}04\approx 5\). Hommes : \(21\times 0{,}24=5{,}04\approx 5\) ; \(21\times 0{,}62=13{,}02\approx 13\) ; \(21\times 0{,}14=2{,}94\approx 3\).
| [20 ; 40[ | [40 ; 60[ | [60 ; 80[ | Total | |
| Femme | 4 | 12 | 5 | 21 |
| Homme | 5 | 13 | 3 | 21 |
| Total | 9 | 25 | 8 | 42 |
On vérifie que chaque ligne a bien pour total 21.
Exercice 14 :
a. Puis une ligne horizontale du quadrillage correspond à 200 morts ; le point de 2010 est situé entre les lignes 3 900 et 4 100, à peu près à mi-hauteur. Il y a eu environ 4 000 morts sur les routes en 2010.
b. Ensuite, les seuls points situés sous le niveau 3 000 sont ceux de 2020 (environ 2 550) et de 2021 (environ 2 950). Le nombre de morts a été inférieur à 3 000 en 2020 et en 2021.
c. Puis en 2014 on lit environ 3 380 morts, en 2018 environ 3 250. Oui, il y a eu plus de morts sur les routes en 2014 qu’en 2018.
Exercice 15 :
a. De 2014 à 2017, la part de produits bio passe de 59 % à 57 % (59 %, 59 %, 58 %, 57 %). D’après le graphique, l’évolution est une légère baisse.
b. De plus, on ajoute les points (2018 ; 61) et (2019 ; 65) :
c. Non : à partir de 2017 la part repart nettement à la hausse (+4 points en 2018, +4 points en 2019) et elle atteint 65 % en 2019, au-dessus de son niveau de 2014 (59 %). Sur l’ensemble de la période 2014-2019, la part des produits bio a augmenté de 6 points ; la baisse observée en a n’était que temporaire.
Statistiques 1ère corrigé : méthode de travail
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur statistiques 1ère corrigé vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
