Suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Aidez-nous à améliorer cette page en signalant une erreur Signaler une erreur Aidez-nous à améliorer cette page en signalant une erreur
Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur les suites numériques. Savoir calcul les premiers termes d’une suite. Calculer la sommes des termes et déterminer la limite en l’infini et sens de variation en première.

Exercice 1 :

Résoudre l’équation :

\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+...+\frac{1}{x^8}=0

Indication : calculer la somme puis remarquer que si x est solution alors x < 0.

Tout d’abord cette somme existe pour x\neq0 .

C’est la somme d’une suite géométrique de raison \frac{1}{x} .

S=\frac{\frac{1}{x^9}-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}-1}

S=\frac{\frac{1-x^8}{x^9} }{\frac{1-x}{x}}=0

\frac{1-x^8}{x^9}\times   \frac{x}{1-x}=0

\frac{x(1-x^8)}{x^9(1-x)}=0

\frac{1-x^8}{x^8(1-x)}=0

1-x^8=0  car un dénominateur est non nul.

x^8=1

{\color{DarkRed} S= \{ -1;1  \}}

Exercice 2 :
Calculer la somme suivante :

S = 1^2 - 2^2 + 3^2 -4^2 + 5^2 - 6^2 +.... + 2 005^2 - 2 006^2.

Indication : regrouper les termes par deux.

S=1^2+2^2+3^2+4^2+...+2005^2+2006^2-2(2^2+4^2+...+2006^2)

S=1^2+2^2+3^2+4^2+...+2005^2+2006^2-2[2^2(1^2+2^2+...+1003^2)]

Vous pouvez montrer par récurrence que  : 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
donc

S=\frac{2005\times   (2005+1)(2\times   2005+1)}{6}-8\times   \frac{1003\times   (1003+1)(2\times   1003+1)}{6}

S=2688727055-2692078747

{\color{DarkRed} S=3351692}

Exercice 3 :
Calculer les sommes suivantes :

I_n = 1 + 3 + 5 +...+(2n - 1) somme des   premiers entiers naturels impairs.

Notons U_n=2n+1 (c’est une suite arithmétique de raison r = 2 )

alors  I_n=U_0+U_1+U_2+....+U_{n-1}

I_n=\frac{n(U_0+U_{n-1})}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2

P_n = 2 + 4 + 6+... + 2n somme des   premiers entiers naturels pairs.

Notons V_n=2n (C’est une suite arithmétique de raison r = 2 )

alors P_n=V_1+V_2+V_3+...+V_n

P_n=\frac{n(V_1+V_n)}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)

Exercice 4 :
Soit (U_n) la suite définie par :

U_n = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 5n.

1.  Calculer U_0,U_1,U_2,U_3.

U_0=0^4-6\times   0^3 +11\times   0^2-5\times   0=02. La suite (U_n) est-elle arithmétique ?

Il semble que la suite soit arithmétique de raison 1.

Exercice 5  :
On considère la suite(U_n)  définie par U_n = 2^n -n.

1. Calculer U_0,U_1,U_2.

U_0=2^0-0=1

U_1=2^1-1=12. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?

calculons les termes suivants par curiosité :

U_3=2^3-3=5

U_4=2^4-4=12

U_5=2^5-5=27

On remarque que cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

Exercice 6 :

1. Soit (W_n) la suite définie par W_n=U_n+V_n .

Démontrer que (W_n) est une suite géométrique .

W_n=U_n+V_n\\=\frac{3\times   2^n-4n+3+3\times   2^n+4n-3}{2}\\=\frac{3\times   2^n+3\times   2^n}{2}\\=\frac{2\times   3\times   2^n }{2}=3\times   2^n

et

\frac{W_{n+1}}{W_n}=\frac{3\times   2^{n+1}}{3\times   2^n}=2

ainsi

W_{n+1} =2W_n

donc la suite  ( W_n  ) est une suite géométrique de raison q = 2 .

Exercice 7 :

1. Calculer U_2,U_3,U_4.

U_2=qU_1=-2\times   1=-2

U_3=qU_2=-2\times    (-2  )=4

U_4=qU_3=-2\times   4=-8

2. Calculer U_{20} .

U_{20}=U_1\times   q^{19}=(-2)^{19}=-524288

3. Calculer la somme S=U_1+U_2+U_3+...+U_{20} .

S=\frac{U_{21}-U_1}{q-1}=\frac{(-2)^{20} -1}{-2-1}=-349\,525.

Exercice 8 :

1. A l’aide de votre calculatrice, calculer U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_{100},U_{1000},U_{100000} .

Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite ? Pour une éventuelle limite ?

La suite  (U_n  ) est décroissante vers 0.

2. Démontrer que pour tout n non nul,

U_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} .

Nous avons :

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\times   \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

\\= \frac{ (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}  )\times   (\sqrt{n+1}+\sqrt{n}  )}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}  et utilisons l’identité remarquable a^2-b^2=\,(\,a-b)\,(a+b).

\\= \frac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2 }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

\\= \frac{n+1-n }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

{\color{DarkRed} \\= \frac{1 }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}

3. En déduire le sens de variation de la suite (U_n) .

\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{1 }{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}{\frac{1 }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<1

or U_n>0  donc en multipliant l’inégalité par U_n>0 , nous obtenons :

U_{n+1}<U_n

Conclusion : la suite  (U_n  ) est décroissante .

4. En utilisant le résultat de la question 2., montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

U_n\leq\, \frac{1}{2\sqrt{n}}.

Nous avons \sqrt{n}+\sqrt{n}\leq\, \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\Leftrightarrow 2\sqrt{n}\leq\, \sqrt{n}+\sqrt{n+1}

\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\leq\,\frac{1}{2\sqrt{n}}

\Rightarrow U_n\leq\,\frac{1}{2\sqrt{n}}

5. En déduire que la suite (U_n) est convergente et préciser sa limite.

Nous avons donc :

0\leq\, U_n\leq\,\frac{1}{2\sqrt{n}}  et  \lim_{n\mapsto   +\infty }\frac{1}{2\sqrt{n}}=0

donc d’après le théorème des gendarmes , on en conclue que {\color{DarkRed} \lim_{n\mapsto   +\infty }U_n=0}

Exercice 9 :

La suite (U_n) est arithmétique de raison r .

On sait que U_{50}=406 et U_{100}=806 .

1. Calculer la raison r et U_0.

U_{100}=U_{50}+(100-50)r

806=406+50r

r=\frac{806-406}{50}

{\color{Purple} r=8}

Pour le terme U_0\,:

U_{50}=U_0+50r

406=U_0+50\times   8

U_0=406-50\times   8=6

2. Calculer la somme S=U_{50}+U_{51}+U_{52}+.....+U_{100} .

D’après le cours :

\sum_{k=p}^{n}U_k=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}

donc :

\sum_{k=50}^{100}U_k=(100-50+1)\frac{U_{50}+U_{100}}{2}

\sum_{k=50}^{100}U_k=51\frac{406+806}{2}

\sum_{k=50}^{100}U_k=30906

Conclusion :  {\color{DarkRed} S=U_{50}+....+U_{100}=30906}

Exercice 10 :

S=1+2+3+4+5+....+998+999

On additionne deux fois cette somme :

1+2+3+4+5+……+998+999

999+998+……..+5+4+3+2+1

—————————————

1000+1000+1000+……….+1000  Il y a 999 fois 1000

donc

S=\frac{999\times   1000}{2}=\frac{999000}{2}=499500

Voir Corrigés 11 à 20...
Voir Corrigés 21 à 30...
Voir Corrigés 31 à 37...
Aidez-nous à améliorer cette page en signalant une erreur Signaler une erreur Aidez-nous à améliorer cette page en signalant une erreur

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.» au format PDF.


Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :


D'autres utilitaires pour progresser en autonomie :


Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 14 093 077 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

Mathovore

GRATUIT
VOIR