Contrôle de maths 1ère : angles associés et fonctions cosinus et sinus

Exercice 1 : Lire les angles associés sur le cercle (4 points)

Calculatrice interdite.

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point \(M\) est associé à un réel \(x\) de l’intervalle \(]0 ; \frac{\pi}{2}[\). Les points \(N\), \(P\), \(Q\) et \(R\) sont les symétriques de \(M\) respectivement par rapport à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées, au point \(O\) et à la droite d’équation \(y = x\).

1. Associe à chacun des points \(N\), \(P\), \(Q\) et \(R\) l’un des réels \(-x\), \(\pi – x\), \(\pi + x\) et \(\frac{\pi}{2} – x\). (2 points)
2. En lisant les coordonnées des points sur la figure, exprime en fonction de \(\cos x\) ou de \(\sin x\) : \(\cos(-x)\) ; \(\cos(\pi – x)\) ; \(\sin(\pi + x)\) ; \(\sin(\frac{\pi}{2} – x)\). (2 points)

Exercice 2 : Valeurs exactes autour de π/5 (4 points)

On admet que \(\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\).

1. À l’aide des angles associés, donne la valeur exacte de \(\cos(\frac{4\pi}{5})\), de \(\cos(\frac{6\pi}{5})\) et de \(\sin(\frac{3\pi}{10})\). (1,5 point)
2. Montre que \(\sin(\frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{10 – 2\sqrt{5}}}{4}\). (1,5 point)
3. Sans calculer aucun cosinus, montre que \(A = \cos(\frac{\pi}{7}) + \cos(\frac{2\pi}{7}) + \cos(\frac{5\pi}{7}) + \cos(\frac{6\pi}{7})\) est égal à 0. (1 point)

Exercice 3 : Équations trigonométriques (5 points)

Résous chaque équation sur l’intervalle indiqué, en t’aidant du cercle trigonométrique.

1. \(\cos x = \frac{1}{2}\) sur \([0 ; 2\pi]\). (1 point)
2. \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(]-\pi ; \pi]\). (1,5 point)
3. \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur \(]-\pi ; \pi]\). (1,5 point)
4. \(2\cos x + \sqrt{2} = 0\) sur \([0 ; 2\pi]\). (1 point)

Exercice 4 : Parité et périodicité (3 points)

Les fonctions suivantes sont définies sur \(\mathbb{R}\).

1. Montre que la fonction \(f : x \mapsto x\sin x\) est paire. (1 point)
2. Montre que la fonction \(g : x \mapsto \sin x \cos x\) est impaire. (1 point)
3. Montre que la fonction \(h : x \mapsto \cos(2x)\) est périodique de période \(\pi\). (1 point)

Exercice 5 : Les courbes du cosinus et du sinus (4 points)

On a tracé ci-dessous, sur l’intervalle \([-2\pi ; 2\pi]\), les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) des fonctions cosinus et sinus, ainsi que la droite d’équation \(y = 0{,}5\).

1. Laquelle des deux courbes représente la fonction cosinus ? Justifie. (1 point)
2. Combien l’équation \(\cos x = 0{,}5\) a-t-elle de solutions dans \([-2\pi ; 2\pi]\) ? Donne-les en valeurs exactes. (1 point)
3. Résous graphiquement l’inéquation \(\sin x > 0\) sur \([-2\pi ; 2\pi]\). (1 point)
4. Quelle propriété de la courbe de la fonction cosinus traduit sa parité ? Et pour la fonction sinus, qui est impaire ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : angles associés et fonctions cosinus et sinus

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Angles orientés et repérage polaire » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés trigonométrie, angles orientés et repérage polaire.

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