Brevet de maths 2025 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2025
Polynésie française — 8 septembre 2025
Mathématiques — Durée : 2 heures

Indications portant sur l’ensemble du sujet

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (22 points)

On veut poser du carrelage sur le sol intérieur d’une maison.

Le carreleur A fait payer 80 € par m².

Le carreleur B fait payer 60 € par m² auxquels il faut ajouter 970 € pour la mise en place du chantier.

1. Montrer que pour une surface dont l’aire est de 20 m², le prix est de 1 600 € avec le carreleur A et de 2 170 € avec le carreleur B.

2. Calculer le prix à payer pour une surface dont l’aire est 60 m² avec le carreleur A, puis avec le carreleur B.

3. On désigne par \(x\) l’aire de la surface à carreler exprimée en m².

• On appelle \(f\) la fonction qui à l’aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur A. On admet que \(f\) est définie par \(f(x) = 80x\).
• On appelle \(g\) la fonction qui à l’aire à carreler en m² associe le prix en euros à payer avec le carreleur B. On admet que \(g\) est définie par \(g(x) = 60x + 970\).

a. Quelle est l’image de 70 par la fonction \(f\) ?

b. Quel est l’antécédent de 2 400 par la fonction \(f\) ?

c. Sur le graphique fourni en ANNEXE, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique de la fonction \(g\).

Tracer la représentation graphique de la fonction \(f\) sur ce même graphique.

Graphique de l’exercice 1, question 3. c. (annexe à rendre avec la copie)

4. En utilisant le graphique fourni en ANNEXE, à rendre avec la copie, estimer l’aire maximale en m² que l’on peut carreler avec un budget de 2 800 € si l’on choisit le carreleur B.

5. Calculer l’aire en m² pour laquelle on paie exactement le même prix avec le carreleur A et le carreleur B.

Exercice 2 (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule réponse est exacte.

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

La formule qui permet d’obtenir la pointure de chaussure \(p\) à partir de la longueur \(L\) du pied, exprimée en centimètres, est \(p = 1{,}5(L + 1)\).

Quelle est la pointure d’un pied de longueur 25 cm ?

Question 2

Le triangle MUR, rectangle en U, qui est représenté ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{\text{RMU}}\) arrondie au degré ?

Question 3

Un coureur a remporté la course du 100 m en 10 secondes exactement.

À quelle vitesse moyenne en km/h a-t-il parcouru cette distance ?

Question 4

Roxane a acheté le modèle réduit d’un tableau célèbre à l’échelle \(\dfrac{1}{20}\).

La largeur du modèle réduit est 7 cm. Quelle est la largeur réelle du tableau ?

Question 5

Trois points nommés A, B, et C sont positionnés sur la sphère ci-contre.

Quel point a pour coordonnées (65° N ; 30° O) ?

Exercice 3 (16 points)

On s’intéresse au motif dessiné ci-dessous que l’on retrouve dans un pavage recouvrant un mur du palais de l’Alhambra en Espagne.

Ce motif est partagé en douze losanges superposables numérotés de 1 à 12. Dans chaque losange, les côtés ont pour longueur 5 cm, les angles aigus mesurent 60° et les angles obtus mesurent 120°.

Le motif

Partie 1

Dans cette partie, aucune justification n’est demandée.

1. Quelle est l’image du losange ① par la symétrie centrale de centre A ?

2. Quelle est l’image du losange ③ par la symétrie axiale d’axe (AF) ?

3. Quelle est l’image du losange ⑦ par la rotation de centre A qui transforme le losange ③ en le losange ⑪ ?

4. Quelle est l’image du losange ⑧ par la translation qui transforme A en E.

Partie 2

Louis a remarqué que le motif donné dans l’énoncé s’obtient à partir de l’hexagone ABCDE en appliquant plusieurs fois la même rotation de centre A.

Il souhaite tracer le motif avec le logiciel Scratch en prenant 10 pas pour 1 cm.

Le bloc dont le script est proposé ci-contre permet de tracer la figure représentée ci-dessous sur laquelle la flèche indique l’orientation du lutin au début du programme :

1. Sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie, compléter les lignes 3, 4 et 5 afin que le bloc « hexagone ABCDEF » trace l’hexagone ABCDEF de côté 5 cm en partant du point A. (Le bloc ci-dessus est celui de l’annexe à rendre avec la copie.)

Aucune justification n’est attendue.

2. Parmi les trois scripts proposés ci-dessous, lequel permet de tracer le motif en utilisant le bloc hexagone ABCDEF précédent ?

Aucune justification n’est attendue.

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 degrés » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Exercice 4 (23 points)

Lorsque la neige vient à manquer en montagne, certaines stations de ski utilisent des canons à neige pour enneiger les pistes.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes

Partie 1

On cherche à estimer le coût de l’eau nécessaire pour l’utilisation de canons à neige sur les pistes françaises pour produire une hauteur de 30 cm de neige.

Information 1

Pour produire 2,5 m³ de neige, il faut 1 m³ d’eau.

Information 2

Le prix de l’eau pour 1 m³ est 4,30 €.

Source : www.technoalpin.com/fr

On rappelle que 1 hectare = 10 000 m².

On donne la formule \(V = S \times h\) pour calculer le volume de neige à produire en fonction de l’aire de la piste et de la hauteur de neige souhaitée.

• \(V\) représente le volume de neige à produire exprimé en m³ ;
• \(S\) représente l’aire de la piste exprimée en m² ;
• \(h\) représente la hauteur de neige exprimée en m.

1. On s’intéresse à une piste dont l’aire est 1 hectare.

a. Vérifier que pour enneiger cette piste sur une hauteur de 30 cm, il faut prévoir 3 000 m³ de neige.

b. En déduire qu’il faut prévoir 1 200 m³ d’eau pour enneiger cette piste sur une hauteur de 30 cm.

c. Montrer que le coût de 1 200 m³ d’eau est 5 160 €.

2. a. L’ensemble des pistes de ski françaises occupent une surface de 25 000 hectares.

Quel serait le coût de l’eau si on utilisait les canons à neige sur l’ensemble des pistes françaises ?

b. En réalité, les canons à neige ne sont utilisés que sur 9 250 hectares de pistes.

Calculer le pourcentage de la surface totale des pistes de ski sur laquelle sont utilisés des canons à neige.

Partie 2

Un skieur qui pratique le ski de fond dispose d’un plan représenté par la figure ci-dessous.

La figure n’est pas représentée à l’échelle

Sur cette figure :

• le triangle ACF est rectangle en C tel que AC = 400 m et la mesure de l’angle \(\widehat{\text{CAF}}\) est égale à 30° ;
• le triangle BED est rectangle en D tel que ED = 300 m et BD = 400 m ;
• FE = ED = DH ;
• les points C, F, E, D et H sont alignés ;
• le point K appartient au segment [BH] ;
• les droites (EB) et (KD) sont parallèles.

1. Quelle est la longueur du segment [FD] ?

2. Calculer la longueur du segment [AF] arrondie au m.

3. a. Montrer que la longueur du segment [EB] est égale à 500 m.

b. Calculer la longueur du segment [DK].

4. En déduire la longueur du parcours qui passe par les points A, F, E, D et K.

Exercice 5 (19 points)

Une étude montre qu’un nombre important de nos vêtements reste dans les placards et n’est pas utilisé. Six amis décident de donner chacun une partie de leurs vêtements à une association lors d’une journée de collecte organisée dans leur village.

1. Inès compte 20 tee-shirts dans son placard et souhaite en donner 70 % à l’association. Montrer qu’elle va en donner 14.

2. La feuille de calcul ci-dessous indique le nombre de tee-shirts que chacun des amis souhaite donner à cette association.

a. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule H2 pour obtenir le nombre total de tee-shirts à donner ?

b. Les amis réunissent tous les tee-shirts qu’ils vont donner.

Calculer la probabilité qu’un tee-shirt pris au hasard appartienne à Yuna.

c. Calculer le nombre moyen de tee-shirts donnés par chacun des amis.

d. Quelle est la médiane du nombre de tee-shirts donnés ?

3. A la fin de la journée de collecte des vêtements, l’association a récolté un total de 168 tee-shirts et 63 pantalons. Cette association souhaite réaliser des lots identiques contenant chacun le même nombre de pantalons et le même nombre de tee-shirts en utilisant tous les vêtements donnés.

a. Peut-elle réaliser 4 lots ? Peut-elle réaliser 3 lots ?

b. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 168 et de 63.

c. Quel nombre maximum de lots pourra-t-elle réaliser ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Pour 20 m² :

• avec le carreleur A, on paie 80 € par m² : \(20 \times 80 = 1\,600\) € ;
• avec le carreleur B, on paie 60 € par m² plus 970 € fixes : \(20 \times 60 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170\) €.

On retrouve bien 1 600 € avec A et 2 170 € avec B.

2. Pour 60 m² :

• carreleur A : \(60 \times 80 = 4\,800\) € ;
• carreleur B : \(60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570\) €.

Pour 60 m², on paie 4 800 € avec A et 4 570 € avec B : cette fois, B est moins cher.

3. a. On remplace \(x\) par 70 : \(f(70) = 80 \times 70 = 5\,600\). L’image de 70 par \(f\) est 5 600 (carreler 70 m² avec A coûte 5 600 €).

b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 2\,400\), c’est-à-dire \(80x = 2\,400\), donc \(x = \dfrac{2\,400}{80} = 30\). L’antécédent de 2 400 par \(f\) est 30.

c. \(f(x) = 80x\) : \(f\) est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère. Il suffit d’un second point, par exemple \((30 \,;\, 2\,400)\) trouvé à la question précédente, ou \((70 \,;\, 5\,600)\). On trace la droite qui passe par \((0 \,;\, 0)\) et \((70 \,;\, 5\,600)\) : c’est la droite bleue \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous.

4. On part de 2 800 € sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite \(\mathcal{C}_g\), puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses. On lit un peu plus de 30 m². Avec 2 800 € et le carreleur B, on peut carreler environ 30 m².

Par le calcul, on vérifie : \(60x + 970 = 2\,800\) donne \(60x = 1\,830\), soit \(x = 30{,}5\) m².

5. Le prix est le même lorsque \(f(x) = g(x)\) :

\[80x = 60x + 970\]

\[80x – 60x = 970\]

\[20x = 970\]

\[x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5\]

Vérification : \(80 \times 48{,}5 = 3\,880\) et \(60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880\). Pour une aire de 48,5 m², on paie le même prix (3 880 €) avec les deux carreleurs. C’est l’abscisse du point d’intersection des deux droites.

Exercice 2 :

Question 1 : réponse D (39). On remplace \(L\) par 25 dans la formule : \(p = 1{,}5 \times (25 + 1) = 1{,}5 \times 26 = 39\).

Question 2 : réponse C (48°). Dans le triangle MUR rectangle en U, l’hypoténuse est [MR] et le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{RMU}}\) est [UR]. Donc \(\sin(\widehat{\text{RMU}}) = \dfrac{\text{UR}}{\text{MR}} = \dfrac{7{,}2}{9{,}7} \approx 0{,}742\). La calculatrice (touche \(\sin^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{RMU}} \approx 47{,}9^\circ\), soit 48° au degré près.

Question 3 : réponse B (36 km/h). Le coureur parcourt 100 m en 10 s, soit 10 m par seconde. En une heure (3 600 s), il parcourrait \(10 \times 3\,600 = 36\,000\) m, c’est-à-dire 36 km. Sa vitesse moyenne est donc 36 km/h.

Question 4 : réponse D (140 cm). À l’échelle \(\dfrac{1}{20}\), les longueurs réelles sont 20 fois plus grandes que sur le modèle : \(7 \times 20 = 140\) cm.

Question 5 : réponse A. Le point A est sur le parallèle 65° de l’hémisphère Nord (au-dessus de l’équateur) et sur le méridien 30° situé du côté Ouest (à gauche du méridien 0°) : ses coordonnées sont (65° N ; 30° O). Le point C est à 30° E et le point B dans l’hémisphère Sud.

Exercice 3 :

Partie 1

1. Losange ⑦. La symétrie de centre A envoie chaque point de l’autre côté de A, à la même distance : le losange ①, en haut à droite de A, a pour image le losange diamétralement opposé, en bas à gauche, qui est le losange ⑦.

2. Losange ⑤. La droite (AF) est un côté commun aux losanges ③ et ⑤ ; ces deux losanges sont placés de part et d’autre de cet axe, comme dans un miroir.

3. Losange ③. Les six losanges intérieurs ①, ③, ⑤, ⑦, ⑨, ⑪ sont séparés de 60° autour de A. Passer de ③ à ⑪, c’est tourner de 120° dans le sens des aiguilles d’une montre (③ → ① → ⑪). En appliquant la même rotation à ⑦ : ⑦ → ⑤ → ③.

4. Losange ⑤. Le vecteur de A vers E monte verticalement de la longueur AE. Le losange ⑧ a son sommet du bas au point situé sous A à la même distance AE ; la translation l’amène donc en A, et le losange ⑧ vient se placer entre A, F et le côté gauche du motif : c’est le losange ⑤.

Partie 2

1. L’hexagone ABCDEF est régulier : 6 côtés de 5 cm, soit \(5 \times 10 = 50\) pas. Le lutin part de A vers B ; à chaque sommet, il doit tourner vers la gauche de l’angle extérieur de l’hexagone, qui vaut \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) (on vérifie : \(6 \times 60^\circ = 360^\circ\), un tour complet). Le bloc complété est :

1  définir [hexagone ABCDEF]
2  stylo en position d'écriture
3  répéter (6) fois
4      avancer de (50) pas
5      tourner à gauche de (60) degrés
6  relever le stylo

2. Script C. Le motif contient six hexagones identiques à ABCDEF qui tournent autour de A : l’hexagone ABCDEF contient les losanges ①, ② et ③, et chaque rotation de 60° autour de A le décale d’un losange intérieur (①, ② et ③ ; puis ③, ④ et ⑤ ; etc.). Il faut donc tracer l’hexagone 6 fois en tournant de 60° entre deux tracés (\(6 \times 60° = 360°\)). Le script A n’en trace que deux (il manquerait les losanges ⑦ à ⑫), et le script B tourne de 90°, angle qui ne correspond pas aux angles du motif.

Exercice 4 :

Partie 1

1. a. On convertit les données dans les unités de la formule : \(S = 1\) ha \(= 10\,000\) m² et \(h = 30\) cm \(= 0{,}3\) m.

\[V = S \times h = 10\,000 \times 0{,}3 = 3\,000\ \text{m}^3\]

Il faut bien prévoir 3 000 m³ de neige.

b. D’après l’information 1, le volume d’eau est 2,5 fois plus petit que le volume de neige :

\[\dfrac{3\,000}{2{,}5} = 1\,200\ \text{m}^3\]

Il faut donc 1 200 m³ d’eau.

c. D’après l’information 2, chaque m³ d’eau coûte 4,30 € : \(1\,200 \times 4{,}30 = 5\,160\). Le coût de l’eau est bien 5 160 €.

2. a. Chaque hectare coûte 5 160 € d’eau ; pour 25 000 hectares :

\[25\,000 \times 5\,160 = 129\,000\,000\]

Le coût serait de 129 000 000 €, soit 129 millions d’euros.

b. On divise la surface enneigée artificiellement par la surface totale :

\[\dfrac{9\,250}{25\,000} = 0{,}37 = \dfrac{37}{100}\]

Les canons à neige sont utilisés sur 37 % de la surface totale des pistes.

Partie 2

1. F, E et D sont alignés dans cet ordre et FE = ED = 300 m, donc \(\text{FD} = \text{FE} + \text{ED} = 300 + 300 = 600\). Le segment [FD] mesure 600 m.

2. Dans le triangle ACF rectangle en C, pour l’angle \(\widehat{\text{CAF}}\), le côté [AC] est adjacent et [AF] est l’hypoténuse. On utilise le cosinus :

\[\cos(\widehat{\text{CAF}}) = \dfrac{\text{AC}}{\text{AF}} \quad \text{donc} \quad \cos(30^\circ) = \dfrac{400}{\text{AF}}\]

\[\text{AF} = \dfrac{400}{\cos(30^\circ)} \approx 461{,}88\]

Arrondie au mètre, AF ≈ 462 m.

3. a. Le triangle BED est rectangle en D, d’hypoténuse [EB]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{EB}^2 = \text{ED}^2 + \text{BD}^2 = 300^2 + 400^2 = 90\,000 + 160\,000 = 250\,000\]

\[\text{EB} = \sqrt{250\,000} = 500\]

Le segment [EB] mesure bien 500 m.

b. Dans le triangle HEB : D est sur [HE], K est sur [HB] et les droites (DK) et (EB) sont parallèles. Le théorème de Thalès donne :

\[\dfrac{\text{HD}}{\text{HE}} = \dfrac{\text{HK}}{\text{HB}} = \dfrac{\text{DK}}{\text{EB}}\]

Avec HD = 300 m et HE = HD + DE = 300 + 300 = 600 m :

\[\dfrac{300}{600} = \dfrac{\text{DK}}{500} \quad \text{donc} \quad \text{DK} = \dfrac{300 \times 500}{600} = 250\]

Le segment [DK] mesure 250 m.

4. Le parcours A → F → E → D → K mesure :

\[\text{AF} + \text{FE} + \text{ED} + \text{DK} \approx 462 + 300 + 300 + 250 = 1\,312\]

Le parcours mesure environ 1 312 m.

Exercice 5 :

1. Prendre 70 %, c’est multiplier par \(\dfrac{70}{100} = 0{,}7\) : \(20 \times 0{,}7 = 14\). Inès va donner 14 tee-shirts.

2. a. On additionne les cellules B2 à G2 : =SOMME(B2:G2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2).

b. Le nombre total de tee-shirts est \(14 + 6 + 9 + 11 + 12 + 8 = 60\). Chaque tee-shirt a la même chance d’être choisi, et 12 d’entre eux appartiennent à Yuna :

\[P = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\]

La probabilité que le tee-shirt appartienne à Yuna est \(\dfrac{1}{5}\).

c. On partage les 60 tee-shirts entre les 6 amis : \(\dfrac{60}{6} = 10\). En moyenne, chaque ami donne 10 tee-shirts.

d. On range les six valeurs dans l’ordre croissant : 6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14. L’effectif est pair, la médiane se situe entre la 3e et la 4e valeur, 9 et 11 : on prend leur moyenne \(\dfrac{9 + 11}{2} = 10\). La médiane vaut 10 : la moitié des amis donnent 10 tee-shirts ou moins, l’autre moitié 10 ou plus.

3. a. Pour faire des lots identiques avec tous les vêtements, le nombre de lots doit diviser à la fois 168 et 63.

• 4 lots : 63 est impair, il n’est pas divisible par 4. 4 lots sont impossibles.
• 3 lots : \(168 = 3 \times 56\) et \(63 = 3 \times 21\). 3 lots sont possibles, chacun avec 56 tee-shirts et 21 pantalons.

b. On divise par les nombres premiers successifs :

\[168 = 2 \times 84 = 2 \times 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 2 \times 21 = 2^3 \times 3 \times 7\]

\[63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7 = 3^2 \times 7\]

\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\) et \(63 = 3^2 \times 7\).

c. Le nombre de lots est un diviseur commun à 168 et 63 ; le plus grand s’obtient en prenant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec la plus petite puissance : \(3 \times 7 = 21\). Chaque lot contiendra alors \(168 : 21 = 8\) tee-shirts et \(63 : 21 = 3\) pantalons. L’association pourra réaliser au maximum 21 lots.

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