Brevet de maths 2025 en Amérique du Sud : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au brevet maths 2027.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2025
Amérique du Sud — 27 novembre 2025
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (24 points)

Les 5 situations suivantes sont indépendantes. On rappelle que, sauf indications contraires, les réponses doivent être justifiées.

Situation 1

Décomposer 390 en produit de facteurs premiers.

Situation 2

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 10 cm et BC = 20 cm. Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\) ?

Situation 3

Une urne contient 12 jetons numérotés de 1 à 12 indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 ?

Situation 4

On considère la fonction \(f\) dont on donne un tableau de valeurs et la représentation graphique ci-dessous :

Tableau de valeurs de la fonction \(f\) :

Représentation graphique de la fonction \(f\) :

1. Quelle est l’image de 2 par la fonction \(f\) ? (sans justifier)

2. Quelle est l’image de \(-1\) par la fonction \(f\) ? (sans justifier)

3. La fonction \(f\) est-elle une fonction linéaire ?

Situation 5

On considère l’égalité suivante : \((2x – 3)(4x + 5) = 8x^2 – 2x – 15\).

1. Montrer que cette égalité est vraie pour \(x = 2\).

2. Cette égalité est-elle vraie quelle que soit la valeur de \(x\) ?

Exercice 2 (20 points)

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

Des élèves de 3^e réalisent une enquête au sein de leur collège pour connaître le temps quotidien passé par leurs camarades sur les réseaux sociaux.

Partie 1

Voici la liste des durées (en minutes) recueillies auprès d’un groupe d’élèves :

135 ; 82 ; 104 ; 200 ; 102 ; 17 ; 143 ; 118 ; 62

1. Combien y a-t-il d’élèves dans ce groupe ? (sans justifier)

2. Calculer le temps moyen passé sur les réseaux sociaux par les élèves de ce groupe.

3. Calculer l’étendue de cette série.

4. L’affirmation suivante est-elle vraie ? « Plus de 50 % des élèves de ce groupe passent au moins 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux. »

Partie 2

Le collège dans lequel l’enquête a été menée compte 640 élèves au total. 400 élèves ont répondu à l’enquête.

1. Vérifier que le nombre d’élèves ayant répondu représente plus de 60 % de l’effectif total du collège.

Les résultats obtenus auprès des 400 élèves interrogés sont organisés par niveaux (6^e, 5^e, 4^e et 3^e) dans un fichier tableur dont voici une copie d’écran :

2. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule F2 afin de la recopier vers le bas jusqu’à la cellule F5 ? (sans justifier)

3. Combien d’élèves ayant répondu, passent moins de 1 h par jour sur les réseaux sociaux ?

4. Calculer le pourcentage d’élèves, ayant répondu, qui passent moins de 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux.

Exercice 3 (15 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

Une élève utilise un logiciel de programmation pour réaliser des dessins à partir d’un triangle équilatéral. Elle crée le bloc « triangle » ci-contre.

1. Sur la copie, recopier et compléter les lignes 3 et 5 du bloc « triangle » afin qu’il dessine un triangle équilatéral.

Elle utilise maintenant le bloc « triangle » pour l’intégrer dans différents programmes.

2. Associer chaque programme au dessin qu’il permet de réaliser.

On indiquera sur la copie, le numéro du dessin et la lettre du programme associé.

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 degrés » permet de s’orienter vers la droite.

3. On s’intéresse maintenant au programme ci-dessous. En prenant 1 cm pour 10 pas, construire sur la copie le dessin obtenu lorsque le programme s’exécute.

Exercice 4 (20 points)

On considère la figure ci-dessous qui n’est pas représentée en vraie grandeur.

On donne les informations suivantes :

• (BD) et (AC) sont perpendiculaires.
• (AD) et (AB) sont perpendiculaires.
• (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
• AE = 9,6 cm ; CE = 5,4 cm ; BC = 9 cm.

1. Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

2. Calculer la longueur AD.

3. Montrer que la longueur BE est de 7,2 cm.

4. Est-il vrai que l’aire du triangle ABE représente le tiers de l’aire du triangle ABD ?

Exercice 5 (21 points)

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes

Rappels

• Volume du cylindre = Aire de la base \(\times \) Hauteur du cylindre
• Aire du disque = \(\pi \times (\text{rayon})^2\)
• \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}\)

Pour un anniversaire, on veut préparer des cocktails de jus de fruits.

Partie 1 : Étude des glaçons

Document : photo du moule à glaçons utilisé et caractéristiques des glaçons :

Chaque glaçon a la forme d’un pavé droit :

• de longueur 5 cm ;
• de largeur 2,5 cm ;
• de hauteur 1,5 cm.

1. On possède 12 moules à glaçons de ce type. Combien peut-on faire de glaçons en même temps ?

2. Montrer que le volume d’un glaçon est d’environ 19 mL.

3. 5 litres d’eau sont-ils suffisants pour remplir ces 12 moules à glaçons ?

Partie 2 : Le service

On souhaite servir le cocktail dans des verres cylindriques.

Caractéristiques d’un verre :

4. Montrer que le verre a un volume total d’environ 295 mL.

5. Pour verser précisément 25 cL de cocktail, on utilise des verres avec un repère indiquant une contenance de 25 cL.

a. On a préparé 30 litres de cocktail. Combien peut-on remplir de verres contenant 25 cL de cocktail ?

b. En versant 25 cL de cocktail dans le verre, à quelle hauteur \(h\) du verre, le liquide arrive-t-il ? Arrondir au dixième.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Situation 1

On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles : \(390 = 2 \times 195\), puis \(195 = 3 \times 65\), puis \(65 = 5 \times 13\), et 13 est premier. Donc \(390 = 2 \times 3 \times 5 \times 13\).

Situation 2

Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC] et, pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté adjacent est [AB]. On utilise donc le cosinus :

\[\cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{ABC} = 60^\circ\).

Situation 3

Les 12 jetons ont la même probabilité d’être tirés (situation d’équiprobabilité). Les issues favorables sont les jetons 1, 2, 3, 4 et 5, soit 5 jetons. La probabilité cherchée vaut donc \(\dfrac{5}{12}\).

Situation 4

1. Dans le tableau de valeurs, sous \(x = 2\) on lit \(f(2) = -3\) : l’image de 2 est \(-3\).

2. Sur le graphique, on part de l’abscisse \(-1\) sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la droite puis on lit l’ordonnée : l’image de \(-1\) est \(3\).

3. Une fonction linéaire vérifie toujours \(f(0) = 0\) : sa représentation graphique passe par l’origine du repère. Ici \(f(0) = 1\), donc \(f\) n’est pas une fonction linéaire. (Comme sa représentation est une droite, c’est une fonction affine : \(f(x) = -2x + 1\).)

Situation 5

1. On remplace \(x\) par 2 dans chaque membre, séparément.

Membre de gauche : \((2 \times 2 – 3)(4 \times 2 + 5) = 1 \times 13 = 13\).

Membre de droite : \(8 \times 2^2 – 2 \times 2 – 15 = 32 – 4 – 15 = 13\).

Les deux membres valent 13 : l’égalité est vraie pour \(x = 2\).

2. On développe le membre de gauche avec la double distributivité :

\[(2x – 3)(4x + 5) = 8x^2 + 10x – 12x – 15 = 8x^2 – 2x – 15\]

On retrouve exactement le membre de droite, quel que soit \(x\) : l’égalité est vraie pour toute valeur de \(x\).

Exercice 2 :

Partie 1

1. La liste contient 9 durées : il y a 9 élèves dans ce groupe.

2. On additionne les 9 durées puis on divise par 9 :

\[\dfrac{135 + 82 + 104 + 200 + 102 + 17 + 143 + 118 + 62}{9} = \dfrac{963}{9} = 107\]

Le temps moyen passé sur les réseaux sociaux est de 107 minutes par jour (soit 1 h 47 min).

3. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(200 – 17 = 183\). L’étendue est de 183 minutes.

4. 1 h 30 min = 90 min. Les durées supérieures ou égales à 90 min sont 135, 104, 200, 102, 143 et 118 : il y en a 6 sur 9. Or \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %, ce qui dépasse 50 %. L’affirmation est vraie.

Partie 2

1. La part des élèves ayant répondu est \(\dfrac{400}{640} = 0{,}625\), soit 62,5 %. Comme \(62{,}5\ \% \gt 60\ \%\), plus de 60 % des élèves du collège ont répondu.

2. La cellule F2 doit additionner les nombres de réponses des cellules B2 à E2. On peut saisir =SOMME(B2:E2) (ou =B2+C2+D2+E2), qui devient automatiquement =SOMME(B3:E3), etc. quand on la recopie vers le bas.

3. On additionne la colonne B (« Moins d’une heure ») : \(30 + 12 + 1 + 7 = 50\). 50 élèves ayant répondu passent moins de 1 h par jour sur les réseaux sociaux.

4. « Moins de 1 h 30 min » regroupe les colonnes B et C : \(50 + 101 = 151\) élèves. Le pourcentage correspondant est :

\[\dfrac{151}{400} \times 100 = 37{,}75\]

Environ 37,75 % des élèves ayant répondu passent moins de 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux.

Exercice 3 :

1. Pour tracer un triangle, on trace 3 côtés, donc on répète 3 fois. Après chaque côté, le lutin doit tourner de l’angle extérieur du triangle : les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°, donc il faut tourner de \(180 – 60 = 120\) degrés (au total, le lutin fait un tour complet : \(3 \times 120 = 360\)). Le bloc complété est :

définir triangle
stylo en position d'écriture
répéter 3 fois
    avancer de côté pas
    tourner ↺ de 120 degrés

2. À la fin du bloc « triangle », le lutin est revenu à son point de départ, avec la même orientation qu’au début.

• Dans le programme A, entre deux triangles, le lutin tourne de 90° sur place : les quatre triangles ont le même sommet et sont tournés d’un quart de tour les uns par rapport aux autres. C’est le dessin 2.
• Dans le programme B, entre deux triangles, le lutin avance de la longueur d’un côté : chaque nouveau triangle commence au sommet où se termine la base du précédent. Les triangles se touchent donc par un sommet : c’est le dessin 3.

Le dessin 1 (triangles séparés par un espace) ne correspond à aucun des deux programmes.

3. Le lutin est orienté vers la droite et la variable côté vaut d’abord 20 pas. À chaque passage dans la boucle, il trace un triangle équilatéral à partir du même point de départ, puis la longueur du côté double. Les côtés successifs mesurent donc 20, 40, 80 et 160 pas, soit, avec 1 cm pour 10 pas, 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm.

Construction : on marque un point de départ O. Chaque triangle a pour base un segment horizontal partant de O vers la droite ; comme le lutin tourne vers la gauche, le troisième sommet est au-dessus de cette base. On obtient quatre triangles équilatéraux emboîtés ayant le sommet O en commun, leurs bases posées sur la même demi-droite horizontale issue de O et leurs côtés gauches sur une même demi-droite qui fait un angle de 60° avec l’horizontale. Les côtés mesurent 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm : chaque triangle est un agrandissement de coefficient 2 du précédent.

Exercice 4 :

1. On sait que (AD) \(\perp\) (AB) et que (BC) \(\perp\) (AB). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Donc (AD) et (BC) sont parallèles.

2. Les points A, E, C sont alignés, ainsi que les points D, E, B, et les droites (AD) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») dans les triangles EAD et ECB :

\[\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{ED}{EB} = \dfrac{AD}{CB}\]

Avec les longueurs connues : \(\dfrac{9{,}6}{5{,}4} = \dfrac{AD}{9}\), donc \(AD = \dfrac{9 \times 9{,}6}{5{,}4} = \dfrac{86{,}4}{5{,}4} = 16\). Ainsi AD = 16 cm.

3. Les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires en E, donc le triangle BEC est rectangle en E, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore :

\[BC^2 = BE^2 + EC^2 \quad \text{donc} \quad BE^2 = 9^2 – 5{,}4^2 = 81 – 29{,}16 = 51{,}84\]

Comme BE est une longueur positive, \(BE = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2\). On a bien BE = 7,2 cm.

4. Aire du triangle ABE. Il est rectangle en E, avec des côtés de l’angle droit AE et BE :

\[\mathcal{A}_{ABE} = \dfrac{AE \times BE}{2} = \dfrac{9{,}6 \times 7{,}2}{2} = 34{,}56\ \text{cm}^2\]

Aire du triangle ABD. Il est rectangle en A ; il faut d’abord la longueur AB. Dans le triangle ABE rectangle en E, le théorème de Pythagore donne \(AB^2 = AE^2 + BE^2 = 92{,}16 + 51{,}84 = 144\), donc \(AB = 12\) cm. Alors :

\[\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{AB \times AD}{2} = \dfrac{12 \times 16}{2} = 96\ \text{cm}^2\]

Le tiers de l’aire de ABD vaut \(\dfrac{96}{3} = 32\ \text{cm}^2\), et \(34{,}56 \neq 32\). (En proportion : \(\dfrac{34{,}56}{96} = 0{,}36\), alors qu’un tiers vaut environ 0,333.) Ce n’est pas vrai : l’aire de ABE ne représente pas le tiers de l’aire de ABD, elle en représente 36 %.

Exercice 5 :

Partie 1 : Étude des glaçons

1. Sur la photo, un moule comporte 4 rangées de 5 alvéoles, soit \(4 \times 5 = 20\) glaçons. Avec 12 moules : \(12 \times 20 = 240\). On peut faire 240 glaçons en même temps.

2. Le volume d’un pavé droit est longueur \(\times \) largeur \(\times \) hauteur : \(5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75\ \text{cm}^3\). Comme \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}\), un glaçon a un volume de 18,75 mL, soit environ 19 mL.

3. Pour remplir les 12 moules, il faut \(240 \times 18{,}75 = 4\,500\ \text{mL}\), c’est-à-dire 4,5 L. Comme \(4{,}5 \lt 5\), 5 litres d’eau suffisent (il en reste même 0,5 L).

Partie 2 : Le service

4. Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon 2,5 cm, et de hauteur 15 cm :

\[V = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = 93{,}75\pi \approx 294{,}5\ \text{cm}^3\]

Le verre a donc un volume total d’environ 294,5 mL, soit environ 295 mL.

5. a. 30 L = 3 000 cL. On cherche combien de fois 25 cL « rentrent » dans 3 000 cL : \(\dfrac{3\,000}{25} = 120\). On peut remplir 120 verres.

b. 25 cL = 250 mL = 250 cm³. Le liquide forme un cylindre de rayon 2,5 cm et de hauteur \(h\), donc \(\pi \times 2{,}5^2 \times h = 250\), soit \(6{,}25\pi \times h = 250\). D’où :

\[h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} \approx 12{,}73\]

Le liquide arrive à une hauteur d’environ 12,7 cm (c’est la hauteur du repère).

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