Contrôle de maths 2de : puissances, racines carrées et fractions

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Répondre donc directement, sans justification.

1. Écrire \(2^3 \times 2^4\) sous la forme d’une seule puissance de 2, puis donner sa valeur. (0,5 point)
2. Donner ensuite l’écriture décimale de \(10^{-2}\). (0,5 point)
3. Calculer \((-3)^2\), puis \(-3^2\). (0,5 point)
4. Calculer \(\sqrt{0{,}25}\). (0,5 point)
5. Calculer \(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}\), puis donner le résultat sous forme irréductible. (0,5 point)
6. Calculer \(5^0 + 5^{-1}\), puis donner le résultat sous forme décimale. (0,5 point)
7. Calculer \(\frac{7}{5} – \frac{1}{2}\). (0,5 point)
8. Calculer enfin \((\sqrt{7})^2\). (0,5 point)

Exercice 2 : Calculs avec des fractions (4 points)

Calculer chacune des expressions suivantes en détaillant les étapes, puis donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

1. \(A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{4}{5}\) (1 point)
2. \(B = (1 – \frac{3}{4}) : (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})\) (1,5 point)
3. \(C = \dfrac{\frac{5}{2} – \frac{1}{3}}{\frac{13}{9}}\) (1,5 point)

Exercice 3 : Puissances et écriture scientifique (4 points)

Les règles sur les puissances servent d’abord à simplifier deux quotients. L’écriture scientifique permet ensuite de résoudre deux problèmes concrets.

1. Écrire \(D = \dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4}\) et \(E = \dfrac{(3^2)^3 \times 3^{-4}}{3}\) sous la forme d’une puissance, puis donner leur valeur. (1 point)
2. Donner l’écriture scientifique de \(F = \dfrac{15 \times 10^{4} \times 4 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}}\). (1 point)
3. La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est d’environ 150 000 000 km. De plus, la lumière parcourt \(3 \times 10^8\) m par seconde.

   Écrire cette distance en mètres, en écriture scientifique, puis calculer le temps mis par la lumière du Soleil pour atteindre la Terre. Donner la réponse en secondes, puis en minutes et secondes. (1,5 point)

4. Une cellule de la peau mesure environ 0,000 02 m de diamètre. Donner son écriture scientifique, puis calculer combien de ces cellules il faudrait aligner pour former une ligne de 1 cm. (0,5 point)

Exercice 4 : Racines carrées (4 points)

Dans cet exercice, tous les résultats sont attendus en valeur exacte : la calculatrice reste donc inutile.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme \(a\sqrt{b}\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels et \(b\) est le plus petit possible : \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{12}\) et \(\sqrt{72}\). (1,5 point)
2. Écrire ensuite \(G = \sqrt{50} – 3\sqrt{8} + \sqrt{18}\) sous la forme \(a\sqrt{2}\), où \(a\) est un entier. (1 point)
3. Montrer alors que \(H = (2\sqrt{3})^2 – \sqrt{3} \times \sqrt{27}\) est un nombre entier. (1 point)
4. Écrire \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) sans racine carrée au dénominateur, puis le simplifier. (0,5 point)

Exercice 5 : Le jardin carré de Nour (4 points)

Le jardin de Nour est un carré \(ABCD\) de 6 m de côté. Le point \(M\) est le milieu du côté \([AB]\). Nour veut alors tracer une allée rectiligne le long de la diagonale \([AC]\) et une autre le long du segment \([DM]\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Montrer que \(AC = 6\sqrt{2}\) m. (1 point)
2. Nour veut de plus poser une bordure tout autour du jardin et le long de la diagonale \([AC]\). Donner la longueur exacte de bordure nécessaire, puis une valeur approchée au centimètre près, en utilisant \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). (1 point)
3. On construit ainsi un nouveau carré dont le côté est la diagonale \([AC]\). Calculer son aire et la comparer à celle du jardin. (1 point)
4. Enfin, calculer la longueur exacte \(DM\), sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible. (1 point)

Réviser avant le contrôle : puissances, racines carrées et fractions

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Ensembles de nombres et calculs » en 2de et « Rappels du collège sur les ensembles de nombres » en 2de et « Nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD » en 2de et « Racine carrée » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés calculs et problèmes, valeur absolue et intervalle, racine carrée.

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