Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : épreuves indépendantes et loi binomiale.
Ce sujet type bac porte sur les épreuves indépendantes et la loi binomiale. Il commence par un rappel de première : un arbre pondéré et des probabilités conditionnelles. Tu devras ensuite reconnaître un schéma de Bernoulli, justifier les paramètres n et p, puis calculer des probabilités comme P(X = 2) ou P(X ≥ 1).
La calculatrice est autorisée : sers-t’en pour les sommes de probabilités, mais écris toujours la formule utilisée. Les deux derniers exercices demandent de chercher un seuil et d’exploiter l’espérance dans un problème. Compte une heure trente et vise une rédaction complète.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Loi binomiale, sommes de variables aléatoires et concentration
- Durée conseillée : 1 heure 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 3 points ; exercice 3 : 6 points ; exercice 4 : 3 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Représenter : traduire une situation par un arbre pondéré et des probabilités conditionnelles
- Modéliser : reconnaître un schéma de Bernoulli et justifier une loi binomiale
- Calculer : obtenir P(X = k), P(X ≥ 1), P(X ≤ k), l’espérance et la variance
- Chercher : déterminer le plus petit nombre d’épreuves pour atteindre un seuil
- Communiquer : interpréter les résultats dans le contexte
Exercice 1 : Commandes en retard (4 points)
Calculatrice autorisée.
Une boutique en ligne reçoit ses commandes par son application mobile ou par son site internet. \(60\,\%\) des commandes passent par l’application. Parmi les commandes passées par l’application, \(5\,\%\) sont livrées en retard ; parmi celles passées par le site, \(10\,\%\) sont livrées en retard.
On choisit une commande au hasard. On note A l’événement « la commande est passée par l’application » et R l’événement « la commande est livrée en retard ».
- Recopie l’arbre pondéré ci-dessus et remplace chaque point d’interrogation par la probabilité qui convient. (1 point)
- Calcule \(P(A \cap R)\). (0,5 point)
- Montre que \(P(R) = 0{,}07\). (1 point)
- Une commande est livrée en retard. Quelle est la probabilité qu’elle ait été passée par l’application ? Donne la valeur exacte puis l’arrondi au millième. (1 point)
- Les événements A et R sont-ils indépendants ? Justifie. (0,5 point)
Exercice 2 : Reconnaître une loi binomiale (3 points)
- Nadia lance un dé équilibré à six faces, puis une pièce équilibrée. Les deux lancers sont indépendants. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 avec le dé et pile avec la pièce ? (1 point)
- Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires, indiscernables au toucher. Dans chacune des situations suivantes, dis si la variable aléatoire suit une loi binomiale. Si oui, donne ses paramètres ; sinon, explique pourquoi. (2 points)
Situation 1 : on tire successivement 4 boules avec remise ; X est le nombre de boules rouges obtenues.
Situation 2 : on tire successivement 4 boules sans remise ; Y est le nombre de boules rouges obtenues.
Situation 3 : on lance 10 fois un dé équilibré ; S est la somme des 10 résultats obtenus.
Exercice 3 : Ampoules défectueuses (6 points)
Une usine fabrique des ampoules LED. \(4\,\%\) des ampoules produites sont défectueuses. Un contrôleur prélève au hasard un lot de 50 ampoules. La production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à 50 tirages successifs avec remise. On note X le nombre d’ampoules défectueuses du lot.
Les probabilités seront arrondies au millième.
- Justifie que X suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres. (1 point)
- Calcule la probabilité que le lot ne contienne aucune ampoule défectueuse. (1 point)
- Calcule \(P(X = 2)\) en écrivant la formule utilisée. (1 point)
- Calcule la probabilité que le lot contienne au moins une ampoule défectueuse. (1 point)
- Le lot est accepté s’il contient au plus 3 ampoules défectueuses. Calcule la probabilité que le lot soit accepté. (1 point)
- Calcule l’espérance et l’écart type de X, puis interprète l’espérance dans le contexte. (1 point)
Exercice 4 : Au moins un bonus (3 points)
Dans un jeu pour téléphone, chaque ouverture d’un coffre donne un bonus avec la probabilité \(0{,}08\), indépendamment des ouvertures précédentes. Tom ouvre n coffres, où n est un entier naturel non nul.
- Tom ouvre 10 coffres. Calcule la probabilité qu’il obtienne au moins un bonus, arrondie au millième. (1 point)
- Montre que la probabilité d’obtenir au moins un bonus en n ouvertures est \(1 – 0{,}92^n\). Détermine ensuite le plus petit entier n pour lequel cette probabilité est supérieure ou égale à \(0{,}99\). (2 points)
Exercice 5 : Le concours de tir à l’arc (4 points)
Lors d’un concours, Inès tire 20 flèches. À chaque tir, elle atteint le centre de la cible avec la probabilité \(0{,}7\), et les tirs sont indépendants. Une flèche au centre rapporte 10 points, une flèche hors du centre rapporte 2 points. On note Y le nombre de flèches au centre et S le score total d’Inès.
- Donne la loi de Y et calcule son espérance. (1 point)
- Montre que \(S = 8Y + 40\), puis calcule l’espérance de S et interprète-la. (1,5 point)
- Le club offre une médaille à tout tireur qui obtient au moins 180 points. Calcule la probabilité qu’Inès obtienne la médaille, arrondie au millième. (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : épreuves indépendantes et loi binomiale
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les probabilités conditionnelles » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.
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