Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : intégrales et intégration par parties.
Ce sujet type bac fait le tour du calcul intégral de Terminale. Tu calcules d’abord des intégrales à l’aide de primitives, puis tu exploites la linéarité, la relation de Chasles et la positivité pour obtenir des résultats sans calcul. Le troisième exercice est consacré à l’intégration par parties, avec \(x e^x\), \(x\ln x\) et \(x\sin x\).
Le dernier exercice étudie une suite d’intégrales \(I_n\) : relation de récurrence, sens de variation, encadrement et limite. Travaille deux heures sans calculatrice : toutes les valeurs demandées sont exactes.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Calcul d’intégrales
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 5 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 6 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : évaluer une intégrale à l’aide d’une primitive
- Raisonner : utiliser la linéarité, la relation de Chasles, la positivité et la croissance de l’intégrale
- Chercher : choisir les fonctions u et v′ dans une intégration par parties
- Raisonner : étudier une suite d’intégrales par comparaison et encadrement
Exercice 1 : Calculer des intégrales (5 points)
Calculatrice interdite.
Calcule la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes.
- \(A = \int_0^2 (3x^2 – 2x + 1)\,dx\) (1 point)
- \(B = \int_1^e \frac{2}{x}\,dx\) (1 point)
- \(C = \int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx\) (1 point)
- \(D = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\,dx\) (1 point)
- \(E = \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx\) (1 point)
Exercice 2 : Propriétés de l’intégrale (4 points)
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0 \,;\, 3]\). On sait que :
\(\int_0^1 f(x)\,dx = 2\), \(\int_1^3 f(x)\,dx = -5\) et \(\int_0^3 g(x)\,dx = 4\).
- Calcule \(\int_0^3 f(x)\,dx\). (1 point)
- Calcule \(\int_0^3 (2f(x) – 3g(x))dx\). (1 point)
- Sans calculer l’intégrale, justifie que \(\int_1^2 \ln x\,dx \geq\, 0\). (1 point)
- Sans calculer les intégrales, compare \(\int_0^1 x^2 e^x\,dx\) et \(\int_0^1 x e^x\,dx\). (1 point)
Exercice 3 : Intégrations par parties (5 points)
À l’aide d’une intégration par parties, calcule la valeur exacte de :
- \(I = \int_0^1 x e^x\,dx\) (2 points)
- \(J = \int_1^e x\ln x\,dx\) (2 points)
- \(K = \int_0^{\pi} x\sin x\,dx\) (1 point)
Exercice 4 : Une suite d’intégrales (6 points)
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx\) (avec \(x^0 = 1\)). La figure représente, sur \([0 \,;\, 1]\), les courbes des fonctions \(x \mapsto x^n e^x\) pour \(n = 1\), \(2\), \(3\) et \(5\).
![Courbes de x e^x, x^2 e^x, x^3 e^x et x^5 e^x sur [0 ; 1], toutes passant par (0 ; 0) et (1 ; e)](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/controles-maths/controle-maths-terminale-integrales-integration-par-parties-ex4-courbes.png)
- Calcule \(I_0\). (0,5 point)
- À l’aide d’une intégration par parties, montre que pour tout entier naturel \(n\) : \(I_{n+1} = e – (n + 1)I_n\). (1,5 point)
- Déduis-en les valeurs exactes de \(I_1\) et de \(I_2\). (1 point)
- Justifie que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_n \geq\, 0\). (0,5 point)
- Quelle conjecture la figure suggère-t-elle sur le sens de variation de la suite \((I_n)\) ? Démontre-la. (1 point)
- Montre que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{1}{n + 1} \leq\, I_n \leq\, \dfrac{e}{n + 1}\), puis déduis-en la limite de la suite \((I_n)\). (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : intégrales et intégration par parties
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Calculs d’intégrales » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés intégrales et primitives.
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