Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : intégrales et intégration par parties.
Cette correction détaille chaque calcul d’intégrale en trois temps : la primitive, les crochets, puis la valeur exacte. Pour chaque intégration par parties, le choix de \(u\) et \(v^{\prime}\) est justifié : on dérive la partie qui se simplifie (\(x\) ou \(\ln x\)).
Les questions sans calcul s’appuient sur les propriétés de l’intégrale, en citant la positivité ou la croissance avec leurs hypothèses. Pour la suite \(I_n\), la relation de récurrence, la décroissance et l’encadrement sont rédigés comme sur une copie de bac, jusqu’à la limite obtenue par le théorème des gendarmes.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : intégrales et intégration par parties.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Calculer des intégrales | 5 points |
| Exercice 2 : Propriétés de l’intégrale | 4 points |
| Exercice 3 : Intégrations par parties | 5 points |
| Exercice 4 : Une suite d’intégrales | 6 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Calculer des intégrales (5 points)
Si \(F\) est une primitive de \(f\) continue sur \([a \,;\, b]\), alors \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) – F(a)\).
- D’abord, une primitive de \(3x^2 – 2x + 1\) est \(x^3 – x^2 + x\).
Donc \(A = [x^3 – x^2 + x]_0^2 = (8 – 4 + 2) – 0\). \(A = 6\). - Sur \([1 \,;\, e]\), une primitive de \(\dfrac{2}{x}\) est \(2\ln x\).
Ainsi, \(B = [2\ln x]_1^e = 2\ln e – 2\ln 1 = 2 – 0\). \(B = 2\). - Une primitive de \(e^{2x}\) est \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\).
Alors \(C = [\dfrac{1}{2}e^{2x}]_0^{\ln 2} = \dfrac{1}{2}e^{2\ln 2} – \dfrac{1}{2}e^0 = \dfrac{1}{2} \times 4 – \dfrac{1}{2}\), car \(e^{2\ln 2} = (e^{\ln 2})^2 = 2^2 = 4\). \(C = \dfrac{3}{2}\). - Une primitive de \(\cos(2x)\) est \(\dfrac{1}{2}\sin(2x)\).
Donc \(D = [\dfrac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{2} – \dfrac{1}{2}\sin 0 = \dfrac{1}{2} – 0\). \(D = \dfrac{1}{2}\). - Avec \(u(x) = x^2 + 1 > 0\), \(u^{\prime}(x) = 2x\) : \(\dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)}\), de primitive \(\dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\).
Enfin, \(E = [\dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1)]_0^1 = \dfrac{1}{2}\ln 2 – \dfrac{1}{2}\ln 1\). \(E = \dfrac{\ln 2}{2}\).
Barème : 1 point par intégrale (0,5 pour une primitive correcte, 0,5 pour la valeur exacte).
Exercice 2 : Propriétés de l’intégrale (4 points)
- D’après la relation de Chasles :
\(\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^3 f(x)\,dx = 2 + (-5)\). \(\int_0^3 f(x)\,dx = -3\). - Par linéarité de l’intégrale :
\(\int_0^3 (2f(x) – 3g(x))dx = 2\int_0^3 f(x)\,dx – 3\int_0^3 g(x)\,dx = 2 \times (-3) – 3 \times 4\). Le résultat est donc \(-18\). - La fonction \(\ln\) est continue sur \([1 \,;\, 2]\) et, pour \(x \geq\, 1\), \(\ln x \geq\, 0\). De plus, les bornes sont dans le bon ordre (\(1 \leq\, 2\)).
Ainsi, par positivité de l’intégrale, \(\int_1^2 \ln x\,dx \geq\, 0\). - Pour \(x \in [0 \,;\, 1]\), \(x^2 \leq\, x\) (car \(x^2 – x = x(x – 1) \leq\, 0\)). Or \(e^x > 0\), donc \(x^2 e^x \leq\, x e^x\). De plus, les deux fonctions sont continues sur \([0 \,;\, 1]\) et \(0 \leq\, 1\).
Par croissance de l’intégrale, \(\int_0^1 x^2 e^x\,dx \leq\, \int_0^1 x e^x\,dx\).
Erreur fréquente : dans b), écrire \(2 \times (-3) + 3 \times 4 = 6\). En effet, le signe moins porte sur tout le terme \(3g(x)\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour la relation de Chasles citée, 0,5 pour le résultat) ; b) 1 point (0,5 pour la linéarité, 0,5 pour le résultat) ; c) 1 point (0,5 pour le signe de \(\ln x\), 0,5 pour la propriété citée) ; d) 1 point (0,5 pour l’inégalité entre les fonctions, 0,5 pour la conclusion).
Exercice 3 : Intégrations par parties (5 points)
Formule : si \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([a \,;\, b]\), alors \(\int_a^b u(x)v^{\prime}(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u^{\prime}(x)v(x)\,dx\).
- D’abord, on pose \(u(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = e^x\) ; alors \(u^{\prime}(x) = 1\), \(v(x) = e^x\).
Donc \(I = [x e^x]_0^1 – \int_0^1 e^x\,dx = (1 \times e – 0) – [e^x]_0^1 = e – (e – 1)\).
\(I = 1\). - Ici, on pose \(u(x) = \ln x\), \(v^{\prime}(x) = x\) ; alors \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\), \(v(x) = \dfrac{x^2}{2}\).
\(J = [\dfrac{x^2}{2}\ln x]_1^e – \int_1^e \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{2}\,dx = \dfrac{e^2}{2} \times 1 – \dfrac{1}{2} \times 0 – \int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx\).
Ensuite, \(\int_1^e \dfrac{x}{2}\,dx = [\dfrac{x^2}{4}]_1^e = \dfrac{e^2 – 1}{4}\).
Ainsi, \(J = \dfrac{e^2}{2} – \dfrac{e^2 – 1}{4} = \dfrac{2e^2 – e^2 + 1}{4}\). \(J = \dfrac{e^2 + 1}{4}\). - Enfin, on pose \(u(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = \sin x\) ; alors \(u^{\prime}(x) = 1\), \(v(x) = -\cos x\).
\(K = [-x\cos x]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} (-\cos x)\,dx = (-\pi\cos\pi) – 0 + [\sin x]_0^{\pi} = \pi + 0\).
\(K = \pi\).
Erreur fréquente : pour \(J\), choisir \(v^{\prime}(x) = \ln x\). En effet, il faudrait connaître une primitive de \(\ln\), et l’intégrale obtenue serait plus compliquée. On dérive donc \(\ln x\), qui devient \(\dfrac{1}{x}\).
Barème : a) 2 points (0,5 pour le choix de \(u\) et \(v^{\prime}\), 1 pour la formule appliquée, 0,5 pour le résultat) ; b) 2 points (0,5 pour le choix, 1 pour les calculs, 0,5 pour le résultat simplifié) ; c) 1 point (0,5 pour la formule appliquée, 0,5 pour le résultat).
Exercice 4 : Une suite d’intégrales (6 points)
- \(I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = [e^x]_0^1\). \(I_0 = e – 1\).
- On pose \(u(x) = x^{n+1}\), \(v^{\prime}(x) = e^x\) ; alors \(u^{\prime}(x) = (n + 1)x^n\), \(v(x) = e^x\). Ce sont des fonctions dérivables à dérivées continues sur \([0 \,;\, 1]\).
\(I_{n+1} = [x^{n+1}e^x]_0^1 – \int_0^1 (n + 1)x^n e^x\,dx = (1 \times e – 0) – (n + 1)\int_0^1 x^n e^x\,dx\).
Donc \(I_{n+1} = e – (n + 1)I_n\). - Avec \(n = 0\) : \(I_1 = e – 1 \times I_0 = e – (e – 1)\), donc \(I_1 = 1\) (on retrouve ainsi \(I\) de l’exercice 3).
Puis, avec \(n = 1\) : \(I_2 = e – 2I_1 = e – 2\). \(I_2 = e – 2\). - Pour \(x \in [0 \,;\, 1]\), \(x^n \geq\, 0\) et \(e^x > 0\), donc \(x^n e^x \geq\, 0\). La fonction est continue et \(0 \leq\, 1\) : par positivité de l’intégrale, \(I_n \geq\, 0\).
Questions e et f : sens de variation et limite
- Sur \([0 \,;\, 1]\), les courbes sont de plus en plus basses quand \(n\) augmente. On conjecture donc que la suite \((I_n)\) est décroissante.
Par linéarité : \(I_{n+1} – I_n = \int_0^1 (x^{n+1} – x^n)e^x\,dx = \int_0^1 x^n(x – 1)e^x\,dx\).
Or, pour \(x \in [0 \,;\, 1]\) : \(x^n \geq\, 0\), \(x – 1 \leq\, 0\) et \(e^x > 0\), donc \(x^n(x – 1)e^x \leq\, 0\). Par positivité, \(I_{n+1} – I_n \leq\, 0\).
Ainsi, la suite \((I_n)\) est décroissante. - Pour \(x \in [0 \,;\, 1]\), la fonction exponentielle étant croissante, \(e^0 \leq\, e^x \leq\, e^1\), soit \(1 \leq\, e^x \leq\, e\). Puis, en multipliant par \(x^n \geq\, 0\) : \(x^n \leq\, x^n e^x \leq\, e\,x^n\).
Par croissance de l’intégrale : \(\int_0^1 x^n\,dx \leq\, I_n \leq\, e\int_0^1 x^n\,dx\). De plus, \(\int_0^1 x^n\,dx = [\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}]_0^1 = \dfrac{1}{n + 1}\).
Donc \(\dfrac{1}{n + 1} \leq\, I_n \leq\, \dfrac{e}{n + 1}\).
Or \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n + 1} = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e}{n + 1} = 0\). Alors, d’après le théorème des gendarmes, \(\lim_{n \to +\infty} I_n = 0\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 1,5 point (0,5 pour le choix de \(u\) et \(v^{\prime}\), 0,5 pour le crochet, 0,5 pour la conclusion) ; c) 1 point (0,5 par valeur) ; d) 0,5 point ; e) 1 point (0,5 pour la conjecture et l’écriture de \(I_{n+1} – I_n\), 0,5 pour le signe justifié) ; f) 1,5 point (1 pour l’encadrement, 0,5 pour la limite par les gendarmes).
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Après le corrigé du contrôle : intégrales et intégration par parties
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