Contrôle de maths Terminale : fonctions sinus et cosinus

Exercice 1 : Le cercle trigonométrique (4 points)

Calculatrice autorisée, mais les valeurs exactes doivent être justifiées sans elle.

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O\,;I,J)\). Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, on a placé quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) avec les projections sur les axes.

1. Associer à chacun des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) un réel de l’intervalle \([0\,;2\pi[\). (1 point)
2. Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus de chacun de ces quatre réels. (2 points)
3. Quel point de la figure est associé au réel \(\frac{25\pi}{6}\) ? au réel \(-\frac{5\pi}{6}\) ? au réel \(-\frac{\pi}{3}\) ? (1 point)

Exercice 2 : Parité et périodicité (3 points)

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos(3x) – 2\cos x\) et \(g(x) = x^2\sin x\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est paire. (1 point)
2. Montrer que la fonction \(f\) est périodique de période \(2\pi\). (0,5 point)
3. La fonction \(g\) est-elle paire, impaire, ou ni l’un ni l’autre ? (0,5 point)
4. Expliquer pourquoi il suffit d’étudier \(f\) sur l’intervalle \([0\,;\pi]\) pour tracer sa courbe sur \(\mathbb{R}\), en précisant les transformations géométriques utilisées. (1 point)

Exercice 3 : Dériver avec sin et cos (3 points)

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).

1. \(f(x) = 3\sin x – 2\cos x\) (1 point)
2. \(g(x) = \cos(2x – \frac{\pi}{3})\) (1 point)
3. \(h(x) = x\cos x\) (1 point)

Exercice 4 : Limites et nombre dérivé (3 points)

1. En utilisant le nombre dérivé de la fonction sinus en 0, démontrer que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). (1 point)
2. En déduire \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). (1 point)
3. Déterminer de même \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x – 1}{x}\). (1 point)

Exercice 5 : Équations trigonométriques (3 points)

Résoudre dans l’intervalle \([0\,;2\pi[\) les équations suivantes.

1. \(\cos x = \frac{1}{2}\) (1 point)
2. \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) (1 point)
3. \(2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0\) (on pourra poser \(X = \sin x\)) (1 point)

Exercice 6 : Étude d’une fonction trigonométrique (4 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\,;\pi]\) par \(f(x) = \cos(2x) + 2\cos x\). On rappelle que pour tout réel \(x\), \(\sin(2x) = 2\sin x\cos x\).

1. Montrer que pour tout \(x\) de \([0\,;\pi]\), \(f^{\prime}(x) = -2\sin x(2\cos x + 1)\). (1 point)
2. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \([0\,;\pi]\) et dresser le tableau de variations de \(f\) avec les valeurs exactes aux bornes et à l’extremum. (1,5 point)
3. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0\,;\pi]\) et donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions sinus et cosinus

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Fonctions sinus et cosinus » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les fonctions sinus et cosinus.

Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en Terminale sur ce thème

• Contrôle de maths Terminale : étude d’une fonction trigonométrique

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques TerminalePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de Terminale à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗