Contrôle de maths Terminale : limites de suites et convergence

Exercice 1 : Limites par opérations (5 points)

Calculatrice autorisée.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier naturel \(n\). Justifier.

1. \(u_n = 3n^2 – 5n + 1\) (1 point)
2. \(v_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}\) (1 point)
3. \(w_n = 5 – 2 \times 0{,}8^n\) (1 point)
4. \(t_n = 2^n – 5^n\) (1 point)
5. \(S_n\) est la somme des termes \((\frac{1}{2})^k\) pour \(k\) allant de 0 à \(n\) : \(S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\) + etc. + \((\frac{1}{2})^n\). (1 point)

Exercice 2 : Comparaison et gendarmes (4 points)

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, en utilisant un théorème de comparaison ou le théorème des gendarmes.

1. Pour tout entier naturel \(n\), \(a_n = \dfrac{2n + \cos(n)}{n + 1}\). (1,5 point)
2. Pour tout entier naturel \(n\), \(b_n = n^2 + 3 \times (-1)^n\). (1 point)
3. Pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(c_n = \dfrac{n + \sin(n)}{n^2}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Convergence monotone (4 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 + 4}{5}\) et la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure ci-dessous montre la courbe de \(f\), la droite d’équation \(y = x\) et la construction des premiers termes.

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). À l’aide de la figure, conjecturer le sens de variation et la limite de \((u_n)\). (1 point)
2. On admet que \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\). Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 2\). (1,5 point)
3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. (0,5 point)
4. On admet que sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\). Déterminer \(\ell\). (1 point)

Exercice 4 : Les abonnés d’une lettre d’information (7 points)

Une association envoie chaque mois une lettre d’information par courriel. En janvier 2026, elle compte 2 000 abonnés. Chaque mois, 10 % des abonnés se désinscrivent et 300 nouvelles personnes s’abonnent. On note \(u_n\) le nombre d’abonnés \(n\) mois après janvier 2026, donc \(u_0 = 2\,000\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 point)
2. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}9u_n + 300\). (0,5 point)
3. On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = u_n – 3\,000\). Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme. (1,5 point)
4. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 3\,000 – 1\,000 \times 0{,}9^n\). (1 point)
5. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) et interpréter ce résultat. (1 point)
6. L’association veut savoir à partir de quel mois elle dépassera 2 900 abonnés. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous pour qu’elle renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \geq\, 2\,900\). (1,5 point)

   def seuil():
       u = 2000
       n = 0
       while ..........:
           u = ..........
           n = ..........
       return n

7. Déterminer la valeur renvoyée par cette fonction, en expliquant la démarche, et donner le mois correspondant. (1 point)

Réviser avant le contrôle : limites de suites et convergence

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Le raisonnement par récurrence » en Terminale et « Les suites numériques » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés la récurrence, suites numériques.

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