Corrigé du brevet de maths 2022 en Nouvelle-Calédonie

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Affirmation n° 1

Pour comparer, on exprime les deux vitesses dans la même unité. Une heure compte 3 600 secondes et un kilomètre 1 000 mètres, donc :

\[ 340{,}29\ \text{m/s} = 340{,}29 \times 3600\ \text{m/h} = 1\,225\,044\ \text{m/h} \approx 1\,225\ \text{km/h} \]

(on peut aussi convertir la vitesse de l’avion : \(\dfrac{1\,200\,000}{3600} \approx 333{,}3\) m/s.)

Comme \(1\,200 \lt 1\,225\), l’avion vole moins vite que le son : l’affirmation n° 1 est fausse.

Affirmation n° 2

On développe le membre de gauche avec la distributivité : \(4(4x – 4) + 16 = 16x – 16 + 16 = 16x\).

On obtient \(16x\) et non \(16x^2\). Par exemple pour \(x = 2\) : le membre de gauche vaut \(4 \times 4 + 16 = 32\) alors que \(16 \times 2^2 = 64\). L’affirmation n° 2 est fausse.

Affirmation n° 3

Le produit \(33 \times 13\) vaut bien 429, mais 33 n’est pas un nombre premier puisque \(33 = 3 \times 11\). Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers ; celle de 429 est \(429 = 3 \times 11 \times 13\).

L’affirmation n° 3 est fausse.

Exercice 2 :

Question 1 : réponse A

Une formule de tableur commence par le signe « = » et la fonction SOMME appliquée à la plage A1:C1 additionne les cellules A1, B1 et C1 (ici \(3 + 5 + 4 = 12\)). La réponse B n’utilise aucune fonction et la réponse C ne commence pas par « = » et multiplie au lieu d’additionner. Réponse A : =somme(A1 : C1).

Question 2 : réponse A

La série compte 6 nombres. Pour que la moyenne soit 11, leur somme doit valoir \(6 \times 11 = 66\). Or \(15 + 10 + 13 + 9 + 10 = 57\), donc \(x = 66 – 57 = 9\). Réponse A : 9.

Question 3 : réponse C

Les méridiens sont des demi-cercles qui relient les deux pôles ; les parallèles sont des cercles perpendiculaires à l’axe des pôles. L’équateur est le parallèle de latitude \(0^\circ\), un cercle complet. Réponse C : un parallèle.

Question 4 : réponse A

Le diamètre vaut 6 cm, donc le rayon vaut \(R = 3\) cm.

\[ V = \dfrac{4 \times \pi \times 3^3}{3} = \dfrac{4 \times 27 \times \pi}{3} = 36\pi\ \text{cm}^3 \]

La réponse B est une valeur approchée (\(36\pi \approx 113{,}097\)), pas la valeur exacte demandée. Réponse A : \(36\pi\).

Exercice 3 :

1. Tableau de l’annexe

On compte les jours pour chaque vitesse : 10 nœuds les jours 1, 6 et 7 (3 jours) ; 15 nœuds les jours 2, 5, 9, 14 et 15 (5 jours) ; 20 nœuds les jours 3, 4, 8 et 13 (4 jours) ; 25 nœuds les jours 10, 11 et 12 (3 jours). On vérifie que \(3 + 5 + 4 + 3 = 15\).

La fréquence en pourcentage est \(\dfrac{\text{nombre de jours}}{15} \times 100\) : \(\dfrac{3}{15} \times 100 = 20\) ; \(\dfrac{5}{15} \times 100 \approx 33{,}3\) ; \(\dfrac{4}{15} \times 100 \approx 26{,}7\).

2. Jours à 15 nœuds ou plus

Seuls les 3 jours à 10 nœuds sont en dessous de 15 nœuds, donc \(15 – 3 = 12\) jours (5 + 4 + 3) atteignent au moins 15 nœuds.

\[ \dfrac{12}{15} \times 100 = 80 \]

Le vent a soufflé à 15 nœuds ou plus 80 % des jours. Attention : additionner les fréquences arrondies du tableau (33 + 27 + 20) donne ici aussi 80, mais ce n’est qu’une coïncidence ; le calcul fiable part des effectifs.

3. Vitesse médiane

On range les 15 vitesses dans l’ordre croissant : 10 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 25 ; 25 ; 25.

L’effectif 15 est impair : la médiane est la 8e valeur (7 valeurs avant, 7 après). Les valeurs de rang 4 à 8 valent 15, donc la 8e valeur est 15.

La vitesse médiane du vent est de 15 nœuds. Au moins la moitié des jours, le vent a soufflé à 15 nœuds ou moins, et au moins la moitié des jours à 15 nœuds ou plus.

Exercice 4 :

1. Construction du triangle MWB

On trace le segment [MB] de 7,5 cm. Au compas, on trace un arc de centre M et de rayon 6 cm, puis un arc de centre B et de rayon 4,5 cm. Le point W est l’intersection de ces deux arcs. La figure ci-dessous montre aussi les constructions des questions 4 et 5 (elle n’est pas en vraie grandeur).

2. Le triangle MWB est rectangle en W

Le plus long côté est [MB]. On calcule séparément :

\(MB^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\) et \(MW^2 + WB^2 = 6^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25\).

On constate que \(MB^2 = MW^2 + WB^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MWB est rectangle en W (le sommet opposé au plus grand côté).

3. Mesure de l’angle \(\widehat{BMW}\)

Dans le triangle MWB rectangle en W, pour l’angle \(\widehat{BMW}\) : [MW] est le côté adjacent et [MB] l’hypoténuse.

\[ \cos \widehat{BMW} = \dfrac{MW}{MB} = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8 \]

À la calculatrice : \(\widehat{BMW} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\).

Au degré près, \(\widehat{BMW} \approx 37^\circ\).

4. a. et b. Placement de F et de E

On place F sur [WB] à 3 cm de W (voir la figure). Pour tracer la parallèle à (MB) passant par F, on pose un côté de l’équerre le long de (MB), on appuie une règle contre l’autre côté, puis on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à F. Cette parallèle coupe [MW] en E.

4. c. Calcul de WE

Les points W, E, M sont alignés, ainsi que W, F, B, et les droites (EF) et (MB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles WEF et WMB :

\[ \dfrac{WE}{WM} = \dfrac{WF}{WB} = \dfrac{EF}{MB} \]

Avec les longueurs connues : \(\dfrac{WE}{6} = \dfrac{3}{4{,}5}\), donc \(WE = \dfrac{6 \times 3}{4{,}5} = \dfrac{18}{4{,}5} = 4\).

WE = 4 cm.

5. Placement de T et tracé de [TB]

La demi-droite [MW) part de M et passe par W ; comme MT = 10 cm est plus grand que MW = 6 cm, le point T se trouve au-delà de W. On le place à 10 cm de M (à 4 cm de W), puis on trace le segment [TB] (voir la figure).

6. Longueur TE

Les points M, E, W, T sont alignés dans cet ordre sur la demi-droite [MW).

W est entre M et T, donc \(WT = MT – MW = 10 – 6 = 4\) cm.

E est entre M et W, de l’autre côté de W par rapport à T, donc \(TE = TW + WE = 4 + 4 = 8\) cm.

TE = 8 cm.

Exercice 5 :

1. Tarif découverte pour 4 heures

\(4 \times 1\,600 = 6\,400\). 4 heures au tarif découverte coûtent 6 400 F.

2. a. Tarif personnalisé pour 4 heures

On paie la carte d’adhérent puis 600 F par heure : \(4\,800 + 4 \times 600 = 4\,800 + 2\,400 = 7\,200\). On retrouve bien 7 200 F.

2. b. Tarif personnalisé pour 10 heures

\(4\,800 + 10 \times 600 = 4\,800 + 6\,000 = 10\,800\). 10 heures au tarif personnalisé coûtent 10 800 F.

2. c. Expression de \(P(x)\)

Pour \(x\) heures, on paie 4 800 F de carte et \(600x\) F de cours : \(P(x) = 600x + 4\,800\). C’est une fonction affine.

3. a. Égalité des tarifs découverte et renforcé

Sur l’annexe, la droite du tarif découverte coupe la droite horizontale du tarif renforcé au point d’abscisse 6.

On le confirme par le calcul : \(1\,600x = 9\,600\) donne \(x = \dfrac{9\,600}{1\,600} = 6\).

Les tarifs découverte et renforcé sont égaux pour 6 heures de cours (ils coûtent alors 9 600 F).

3. b. Tracé de la droite de \(P\)

\(P\) est une fonction affine : sa représentation est une droite. On la trace à partir de deux points déjà calculés, par exemple \((4\ ;\ 7\,200)\) et \((10\ ;\ 10\,800)\) ; on peut contrôler avec \((0\ ;\ 4\,800)\) et \((8\ ;\ 9\,600)\).

3. c. Tarif le plus économique pour 7 heures

On calcule les trois prix :

• tarif découverte : \(7 \times 1\,600 = 11\,200\) F ;
• tarif personnalisé : \(P(7) = 600 \times 7 + 4\,800 = 9\,000\) F ;
• tarif renforcé : 9 600 F.

Graphiquement, sur la verticale d’abscisse 7, la droite la plus basse est celle du tarif personnalisé. Pour 7 heures, le tarif personnalisé est le plus économique (9 000 F).

4. Égalité des tarifs personnalisé et renforcé

On résout \(600x + 4\,800 = 9\,600\), soit \(600x = 4\,800\), d’où \(x = \dfrac{4\,800}{600} = 8\).

Graphiquement, c’est l’abscisse du point où la droite de \(P\) coupe la droite du tarif renforcé. Pour 8 heures de cours, Juliette paie le même prix (9 600 F) avec ces deux tarifs.

Exercice 6 :

1. Lecture de la notation (3 ; 2)

Le premier nombre du couple correspond au premier lancer et le second au second lancer. a. Gabriel a obtenu 3 au premier lancer ; b. il a obtenu 2 au second lancer.

2. Les 16 issues

Chaque lancer offre 4 possibilités, soit \(4 \times 4 = 16\) couples :

3. L’évènement \(A\)

Chaque numéro vaut au moins 1, donc la somme des deux numéros vaut au moins \(1 + 1 = 2\). Aucune issue ne donne une somme égale à 1 : l’évènement \(A\) est impossible, sa probabilité est 0.

4. Les issues de l’évènement \(C\)

On cherche les couples dont la somme vaut 5 : (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2) et (4 ; 1).

5. Probabilité de \(C\)

Le dé est équilibré, donc les 16 issues sont équiprobables. L’évènement \(C\) est réalisé par 4 issues :

\[ P(C) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \]

La probabilité de l’évènement \(C\) est \(\dfrac{1}{4}\).

Exercice 7 :

1. Motif de base

Avec l’échelle 1 cm pour 10 pas, 60 pas font 6 cm et 40 pas font 4 cm. Supposons le lutin orienté vers la droite au départ.

• « avancer de 60 » : on trace un segment horizontal de 6 cm vers la droite.
• Premier tour de boucle : on prolonge ce segment de 4 cm (il mesure alors 10 cm en tout), puis on tourne de 90° vers la droite : le lutin regarde vers le bas.
• Deuxième tour : on descend de 4 cm, puis on tourne vers la gauche de la feuille.
• Troisième tour : on revient de 4 cm vers la gauche, puis on remonte.
• Quatrième tour : on remonte de 4 cm et on retombe sur le point situé à 6 cm du départ ; le dernier quart de tour remet le lutin dans sa direction initiale.

Le motif est un drapeau : une hampe horizontale de 10 cm dont les 4 derniers centimètres forment le côté supérieur d’un carré de 4 cm de côté, situé sous la hampe (à droite du sens de déplacement, puisque le lutin tourne vers la droite).

2. Script n° 2 complété

La figure comporte 8 drapeaux régulièrement répartis autour du centre : il faut répéter le motif 8 fois et tourner à chaque fois de \(\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ\). Après un motif, le lutin s’est arrêté au pied du carré, à 6 cm du centre : il faut le ramener au centre \((0\ ;\ 0)\) avant de tourner.

quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
aller à x: 0  y: 0
répéter 8 fois
    motif de base
    aller à x: 0  y: 0
    tourner ↻ de 45 degrés
    attendre 0,5 seconde

Valeurs à compléter : répéter 8 fois ; aller à x: 0 y: 0 ; tourner de 45 degrés.

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