Contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et calculs de longueurs

Exercice 1 : Triangles emboîtés (4 points)

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Dans le triangle \(ABC\), le point \(M\) appartient au segment \([AB]\) et le point \(N\) au segment \([AC]\). Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
On donne : \(AM = 6\text{ cm}\), \(AB = 10\text{ cm}\), \(AC = 8\text{ cm}\) et \(MN = 4{,}5\text{ cm}\).

1. Justifie que l’on peut appliquer le théorème de Thalès et écris l’égalité des rapports. (1,5 point)
2. Calcule la longueur \(AN\). (1 point)
3. Calcule la longueur \(BC\). (1 point)
4. Déduis-en la longueur \(NC\). (0,5 point)

Exercice 2 : Configuration papillon (4 points)

Les points \(D\), \(O\), \(F\) sont alignés, ainsi que les points \(E\), \(O\), \(G\). Les droites \((DE)\) et \((FG)\) sont parallèles.
On donne : \(OD = 3\text{ cm}\), \(OF = 7{,}5\text{ cm}\), \(OE = 4\text{ cm}\) et \(FG = 9\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Écris l’égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès. (1 point)
2. Calcule la longueur \(OG\). (1,5 point)
3. Calcule la longueur \(DE\). (1,5 point)

Exercice 3 : Thalès et Pythagore (4 points)

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Le point \(E\) appartient au segment \([AB]\) et le point \(F\) au segment \([BC]\), de sorte que la droite \((EF)\) est perpendiculaire à la droite \((AB)\).
On donne : \(BE = 4{,}5\text{ cm}\), \(EA = 1{,}5\text{ cm}\) et \(AC = 8\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Démontre que les droites \((EF)\) et \((AC)\) sont parallèles. (1 point)
2. Calcule la longueur \(BC\). (1,5 point)
3. Calcule les longueurs \(BF\) et \(EF\). (1,5 point)

Exercice 4 : L’ombre de l’arbre (4 points)

Lina mesure \(1{,}60\text{ m}\). Elle se place de façon que l’extrémité de son ombre coïncide avec celle de l’ombre d’un arbre, au point \(S\). Lina et l’arbre sont verticaux, le sol est horizontal.
Les points \(S\), \(L\), \(T\) sont alignés, ainsi que les points \(S\), \(H\), \(A\). On a \(SL = 2\text{ m}\) et \(LT = 9\text{ m}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule \(ST\) et explique pourquoi les droites \((LH)\) et \((TA)\) sont parallèles. (1 point)
2. Calcule la hauteur \(TA\) de l’arbre. (2 points)
3. Calcule la longueur \(SA\), arrondie au dixième de mètre. (1 point)

Exercice 5 : La rampe d’accès (4 points)

Pour rendre l’entrée d’une médiathèque accessible en fauteuil roulant, on construit une rampe \([AC]\) qui monte de \(0{,}30\text{ m}\) sur une distance horizontale de \(6\text{ m}\). La rampe est soutenue par un poteau vertical \([DE]\) placé à \(4\text{ m}\) du point \(A\). Le sol \((AB)\) est horizontal et \([BC]\) est vertical.

(La figure n’est pas à l’échelle : les hauteurs sont agrandies.)

1. Calcule la hauteur \(DE\) du poteau, en centimètres. (2 points)
2. La pente d’une rampe est le quotient \(\frac{BC}{AB}\) exprimé en pourcentage. La réglementation impose une pente inférieure ou égale à \(5\,\%\). Cette rampe est-elle conforme ? (1 point)
3. Calcule la longueur de la rampe \(AC\), arrondie au centimètre. (1 point)

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