Brevet maths 2024 Polynésie sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet de mathématiques du brevet 2024 de Polynésie, épreuve de la session de septembre donnée le 9 septembre 2024. Le premier exercice enchaîne cinq questions rapides (divisibilité par 21, écriture scientifique, conversion de la vitesse d’une comète, équation produit, image par une fonction) et un calcul avec le théorème de Thalès. On étudie ensuite les températures relevées à Strasbourg chaque 25 juin avec un tableur et des probabilités, une figure de triangles rectangles emboîtés (tangente, Pythagore, agrandissement), un pentagone régulier tracé en Scratch avec translation, rotation, symétrie et homothétie, puis la vidange d’une piscine cylindrique modélisée par une fonction affine. Le corrigé détaillé de chaque question suit l’énoncé complet.

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2024
Polynésie — 9 septembre 2024
Mathématiques — Durée : 2 heures

L’annexe est à rendre avec la copie.

Indications portant sur l’ensemble du sujet

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (21 points)

Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes.

1. On a décomposé ci-dessous cinq nombres en produits de facteurs premiers.

Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par 21 ?

Nombre 1	Nombre 2	Nombre 3	Nombre 4	Nombre 5
\(2^2 \times 11 \times 23\)	\(2^4 \times 3^4 \times 11\)	\(7^3 \times 13 \times 17\)	\(2 \times 3 \times 5 \times 7\)	\(2^3 \times 3^2 \times 7\)

2. Donner, sans justification, l’écriture scientifique du nombre \(0{,}000\,002\,76\).

3. La comète Hale-Bopp a atteint la vitesse de 2 640 km/min. Quelle est sa vitesse en m/s ?

4. Quelles sont les solutions de l’équation

\[(2x – 7)(3x + 1) = 0\ ?\]

5. On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 5x^2 + 2\).

Quelle est l’image de \(-3\) par la fonction \(f\) ?

6. Sur la figure ci-contre (qui n’est pas à l’échelle) :

les points A, E et C sont alignés ;
les points B, D et C sont alignés ;
les droites (AB) et (ED) sont parallèles ;
AB = 5 cm, BD = 1 cm, CD = 3 cm.

Calculer DE.

Exercice 2 (20 points)

On a relevé dans une feuille de calcul les températures maximales Tmax (en °C) atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018 (source : meteociel.fr).

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	Année	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
2	Tmax	29	23,1	22,6	17,4	23,4	25,7	25,2	26	24
3
4	Moyenne
5	Médiane	24
6	Étendue	11,6

1. On a oublié de calculer la moyenne de cette série.

Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B4 pour que ce calcul soit effectué ?

2. Donner, sans détailler les calculs, une valeur approchée au degré Celsius près de la moyenne de la série.

3. Donner une interprétation de la médiane de cette série.

4. Pour cette question seulement, on considère la série des températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2019.

On sait que l’étendue des températures de cette nouvelle série est égale à 18,5 °C.

Déterminer la température maximale atteinte à Strasbourg le 25 juin 2019.

Les questions suivantes portent sur la série des températures maximales atteintes à Strasbourg le 25 juin de chaque année de 2010 à 2018.

5. On crée 9 fiches, une par année, sur lesquelles figure la température maximale atteinte le 25 juin de l’année. On prend une fiche au hasard. Chacune des fiches a la même probabilité d’être tirée.

a. Quelle est la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit égale à 26 °C ?

b. Quelle est la probabilité que la température écrite sur cette fiche soit inférieure ou égale à 24 °C ?

c. A-t-on raison de dire que l’on a plus de 40 % de chance de prendre une fiche sur laquelle la température est supérieure à 25 °C ?

Exercice 3 (17 points)

Sur la figure ci-contre, qui n’est pas à l’échelle,

le triangle ONM est rectangle en N,
le triangle OPQ est rectangle en P,
le triangle ORS est rectangle en R,
ON = 6 cm et \(\widehat{\text{MON}} = 32^{\circ}\).
P est un point du segment [OM] et R est un point du segment [OQ].

1. Calculer la mesure de la longueur MN. On donnera une valeur approchée au millimètre près.

2. On donne PQ = 2,5 cm et OQ = 6,5 cm. Montrer que OP = 6 cm.

3. Montrer que les triangles ONM et OPQ ne sont pas des triangles égaux.

4. Sachant que le triangle OPQ est un agrandissement du triangle ORS et que OS = 3,25 cm, calculer l’aire du triangle ORS.

Exercice 4 (19 points)

1. Sur la figure ci-dessous, DEFGH est un pentagone régulier et le point E appartient à la demi-droite [D\(y\)). On admet que tous les angles du pentagone régulier mesurent 108 degrés.

Justifier que l’angle \(\widehat{\text{FE}y}\) mesure 72 degrés.

2. Dans la suite de cet exercice, aucune justification n’est attendue.

a. Compléter le bloc « pentagone » en ANNEXE, à rendre avec la copie, pour obtenir un pentagone régulier. La variable « longueur » permet de modifier la longueur des côtés du pentagone.

(annexe à rendre avec la copie)

b. Camille, Lou et Zoé ont chacun codé un programme qui trace un pentagone et son image par l’une des transformations suivantes : translation, symétrie centrale, rotation.

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 » signifie que l’on s’oriente vers la droite.

Les trois élèves ont effectué une copie d’écran de ce qu’ils ont obtenu sans indiquer ni leur prénom ni le nom de la transformation choisie.

Compléter le tableau en ANNEXE, à rendre avec la copie, en associant le prénom de l’élève au numéro de sa copie d’écran ainsi qu’au nom de la transformation qu’il a choisie.

Nom de l’élève	Numéro de la copie d’écran	Nom de la transformation
Camille
Lou
Zoé

(annexe à rendre avec la copie)

c. Sofia souhaite illustrer à l’aide d’un programme l’effet d’une homothétie sur un pentagone.

Le tableau en ANNEXE donne, dans le désordre, toutes les instructions utiles pour écrire ce programme. L’ordre d’apparition dans le programme de deux instructions est précisé.

Compléter ce tableau sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie, en indiquant l’ordre d’apparition de chacune des instructions dans le programme de Sofia.

(annexe à rendre avec la copie)

Exercice 5 (23 points)

La piscine du camping « le Rocher » dispose d’un bassin circulaire de forme cylindrique de rayon 3,60 m et de hauteur 1,50 m. En fin de saison, on utilise une pompe dont le débit est de \(14{,}1\ \text{m}^3/\text{h}\) pour vider l’eau de la piscine.

1. Montrer que le volume du bassin, arrondi au dixième de m³, est 61,1 m³.

2. Le bassin est plein. On met en route la pompe. Au bout de 2 heures, quel volume d’eau en m³ reste-t-il à vider ?

On considère la fonction \(V : t \longmapsto 61{,}1 – 0{,}235t\).

3. a. Montrer que l’expression \(V(t)\) permet de déterminer le volume d’eau en m³ qu’il reste à vider dans le bassin en fonction de la durée \(t\), exprimée en minute, d’utilisation de la pompe.

b. Calculer le temps nécessaire pour que le volume d’eau restant à vider soit égal à 30 m³.

On donnera une valeur approchée à la minute près.

4. On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction \(V\).

Répondre aux questions suivantes par une lecture graphique.

a. Déterminer l’antécédent de 40 par la fonction \(V\). Interpréter le résultat.

b. Déterminer le temps nécessaire pour que la pompe vide complètement le bassin.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Comme \(21 = 3 \times 7\) avec 3 et 7 premiers, un nombre est divisible par 21 lorsque sa décomposition contient à la fois le facteur 3 et le facteur 7.

Nombre 1 : ni 3 ni 7 dans la décomposition, il n’est pas divisible par 21.
Nombre 2 : il contient 3 mais pas 7, il n’est pas divisible par 21.
Nombre 3 : il contient 7 mais pas 3, il n’est pas divisible par 21.
Nombre 4 : \(2 \times 3 \times 5 \times 7 = (2 \times 5) \times 21 = 10 \times 21\), il est divisible par 21 (il vaut 210).
Nombre 5 : \(2^3 \times 3^2 \times 7 = (2^3 \times 3) \times 21 = 24 \times 21\), il est divisible par 21 (il vaut 504).

Seuls les nombres 4 et 5 sont divisibles par 21.

2. On déplace la virgule de 6 rangs vers la droite pour obtenir un nombre entre 1 et 10 : \(0{,}000\,002\,76 = 2{,}76 \times 10^{-6}\).

3. En une minute, la comète parcourt 2 640 km, c’est-à-dire \(2\,640 \times 1\,000 = 2\,640\,000\) m. Une minute dure 60 secondes, donc en une seconde elle parcourt :

\[\dfrac{2\,640\,000}{60} = 44\,000\ \text{m}.\]

La vitesse de la comète est de 44 000 m/s.

4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc \((2x – 7)(3x + 1) = 0\) équivaut à \(2x – 7 = 0\) ou \(3x + 1 = 0\).

\(2x – 7 = 0\) donne \(2x = 7\), soit \(x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\).
\(3x + 1 = 0\) donne \(3x = -1\), soit \(x = -\dfrac{1}{3}\).

L’équation a deux solutions : \(\dfrac{7}{2}\) et \(-\dfrac{1}{3}\).

5. On remplace \(x\) par \(-3\), en n’oubliant pas que le carré s’applique à tout le nombre \(-3\) :

\[f(-3) = 5 \times (-3)^2 + 2 = 5 \times 9 + 2 = 45 + 2 = 47.\]

L’image de \(-3\) par \(f\) est 47.

6. Les points C, E, A d’une part et C, D, B d’autre part sont alignés, et les droites (ED) et (AB) sont parallèles. Le théorème de Thalès s’applique donc aux triangles CED et CAB :

\[\dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}}.\]

Comme D est sur le segment [BC], on a CB = CD + DB = 3 + 1 = 4 cm. On utilise alors l’égalité \(\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}}\) :

\[\dfrac{3}{4} = \dfrac{\text{DE}}{5} \quad \text{donc} \quad \text{DE} = \dfrac{3 \times 5}{4} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75.\]

Le segment [DE] mesure 3,75 cm.

Exercice 2 :

1. La moyenne s’obtient en additionnant les 9 températures des cellules B2 à J2, puis en divisant par 9. On peut saisir dans la cellule B4 : =SOMME(B2:J2)/9 (la formule =MOYENNE(B2:J2) convient aussi).

2. La somme des températures vaut 216,4 et \(\dfrac{216{,}4}{9} \approx 24{,}04\). La moyenne est donc d’environ 24 °C.

3. En rangeant les températures dans l’ordre croissant : 17,4 ; 22,6 ; 23,1 ; 23,4 ; 24 ; 25,2 ; 25,7 ; 26 ; 29, la valeur 24 est la 5^e des 9 valeurs. Interprétation : au moins la moitié des années étudiées, le 25 juin, la température maximale à Strasbourg a été inférieure ou égale à 24 °C, et au moins la moitié des années elle a été supérieure ou égale à 24 °C.

4. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. De 2010 à 2018, l’étendue vaut 11,6 °C ; en ajoutant l’année 2019, elle passe à 18,5 °C. L’étendue a augmenté, donc la température de 2019 est une nouvelle valeur extrême.

Si c’est la nouvelle plus grande valeur, la plus petite reste 17,4 °C et la température de 2019 vaut \(17{,}4 + 18{,}5 = 35{,}9\) °C.

(Mathématiquement, on pourrait aussi imaginer une nouvelle plus petite valeur : la plus grande restant 29 °C, on aurait \(29 – 18{,}5 = 10{,}5\) °C, ce qui n’est pas crédible pour un maximum de fin juin ; c’est bien la valeur de 35,9 °C qui a été relevée, pendant la canicule de juin 2019.)

La température maximale atteinte à Strasbourg le 25 juin 2019 est 35,9 °C.

5. Il y a 9 fiches équiprobables : chaque probabilité se calcule en divisant le nombre de fiches favorables par 9.

a. Une seule fiche porte 26 °C (l’année 2017). La probabilité est \(\dfrac{1}{9}\).

b. Les températures inférieures ou égales à 24 °C sont 17,4 ; 22,6 ; 23,1 ; 23,4 et 24, soit 5 fiches. La probabilité est \(\dfrac{5}{9}\).

c. Les températures strictement supérieures à 25 °C sont 25,2 ; 25,7 ; 26 et 29, soit 4 fiches. La probabilité vaut \(\dfrac{4}{9} \approx 0{,}444\), c’est-à-dire environ 44,4 %. Comme \(44{,}4\,\% \gt 40\,\%\), on a raison : on a plus de 40 % de chance de tirer une telle fiche.

Exercice 3 :

1. Dans le triangle ONM rectangle en N, on connaît l’angle \(\widehat{\text{MON}}\) et son côté adjacent ON ; on cherche le côté opposé MN. On utilise donc la tangente :

\[\tan(\widehat{\text{MON}}) = \dfrac{\text{MN}}{\text{ON}} \quad \text{donc} \quad \text{MN} = 6 \times \tan(32^{\circ}) \approx 3{,}749.\]

Au millimètre près, MN ≈ 3,7 cm.

2. Le triangle OPQ est rectangle en P, d’hypoténuse [OQ]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{OQ}^2 = \text{OP}^2 + \text{PQ}^2 \quad \text{donc} \quad \text{OP}^2 = 6{,}5^2 – 2{,}5^2 = 42{,}25 – 6{,}25 = 36.\]

Une longueur étant positive, \(\text{OP} = \sqrt{36} = 6\). On a bien OP = 6 cm.

3. Les deux triangles sont rectangles et ont un côté de l’angle droit de même longueur : ON = OP = 6 cm. Mais l’autre côté de l’angle droit ne mesure pas la même chose : MN ≈ 3,7 cm alors que PQ = 2,5 cm. Des triangles égaux ont leurs côtés deux à deux de même longueur ; ici, aucun côté du triangle OPQ ne peut correspondre à MN (les côtés de OPQ mesurent 6 cm, 2,5 cm et 6,5 cm). Les triangles ONM et OPQ ne sont donc pas égaux.

4. Dans l’agrandissement qui transforme ORS en OPQ, l’hypoténuse [OS] du triangle ORS (rectangle en R) correspond à l’hypoténuse [OQ] du triangle OPQ (rectangle en P). Le coefficient d’agrandissement est donc :

\[k = \dfrac{\text{OQ}}{\text{OS}} = \dfrac{6{,}5}{3{,}25} = 2.\]

L’aire du triangle rectangle OPQ vaut \(\dfrac{\text{OP} \times \text{PQ}}{2} = \dfrac{6 \times 2{,}5}{2} = 7{,}5\) cm².

Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2 = 4\). L’aire de ORS est donc quatre fois plus petite que celle de OPQ :

\[\mathcal{A}_{\text{ORS}} = \dfrac{7{,}5}{4} = 1{,}875.\]

L’aire du triangle ORS est 1,875 cm².

Exercice 4 :

1. Les points D, E et \(y\) sont alignés (E est sur la demi-droite [D\(y\)) entre D et \(y\)), donc les angles \(\widehat{\text{DEF}}\) et \(\widehat{\text{FE}y}\) sont supplémentaires : leur somme vaut 180°. Comme \(\widehat{\text{DEF}}\) est un angle du pentagone régulier, il mesure 108°, d’où :

\[\widehat{\text{FE}y} = 180^{\circ} – 108^{\circ} = 72^{\circ}.\]

L’angle \(\widehat{\text{FE}y}\) mesure bien 72 degrés.

2. a. Un pentagone a 5 côtés : on répète 5 fois « avancer puis tourner ». Au bout d’un côté, le lutin regarde dans le prolongement de ce côté (comme la demi-droite [E\(y\)) de la question 1) ; pour partir le long du côté suivant, il doit tourner de l’angle extérieur, soit 72°. Vérification : \(5 \times 72^{\circ} = 360^{\circ}\), le lutin fait un tour complet et revient à son orientation de départ.

définir pentagone
stylo en position d'écriture
répéter 5 fois
    avancer de (longueur) pas
    tourner ↺ de 72 degrés
fin répéter
relever le stylo

On écrit donc 5 dans la case « répéter » et 72 dans la case « tourner ».

b. Après le bloc « pentagone », le lutin est revenu en (0 ; 0), orienté vers la droite, puisqu’il a fait un tour complet.

Camille avance de 120 pas vers la droite puis retrace le même pentagone : le second est l’image du premier par une translation de 120 pas vers la droite. Les deux pentagones sont côte à côte et orientés pareil : c’est la copie d’écran 3.
Lou tourne de 60° vers la gauche sur place, au point (0 ; 0), avant de retracer : le second pentagone est l’image du premier par la rotation de centre le point (0 ; 0) et d’angle 60°. Les deux figures partagent un sommet et se chevauchent : c’est la copie d’écran 1.
Zoé fait demi-tour (180°) sur place : le second pentagone est l’image du premier par la symétrie centrale de centre (0 ; 0). Il est « tête en bas » et touche le premier par un seul sommet : c’est la copie d’écran 2.

Nom de l’élève	Numéro de la copie d’écran	Nom de la transformation
Camille	3	translation
Lou	1	rotation
Zoé	2	symétrie centrale

c. Le programme de Sofia commence comme ceux de ses camarades (lancement, effacement, placement en (0 ; 0), orientation, longueur de 60 puis premier pentagone en 6^e position). Pour obtenir l’image par une homothétie de centre (0 ; 0) et de rapport 1,5, il suffit ensuite de multiplier la longueur des côtés par 1,5 et de retracer un pentagone depuis le même point de départ.

Instruction	Ordre d’apparition
effacer tout	2^e
s’orienter à 90	4^e
pentagone	6^e
quand drapeau vert est cliqué	1^re
mettre longueur à 60	5^e
aller à x : 0 y : 0	3^e
pentagone	8^e
mettre longueur à longueur * 1.5	7^e

Le programme complet de Sofia est donc :

quand drapeau vert est cliqué
effacer tout
aller à x : 0 y : 0
s'orienter à 90
mettre longueur à 60
pentagone
mettre longueur à (longueur * 1.5)
pentagone

(Les instructions « aller à x : 0 y : 0 » et « s’orienter à 90 » peuvent être échangées sans changer le dessin ; l’ordre ci-dessus reprend celui des programmes de Camille, Lou et Zoé.)

Exercice 5 :

1. Le volume d’un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est \(\mathcal{V} = \pi r^2 h\). Ici :

\[\mathcal{V} = \pi \times 3{,}6^2 \times 1{,}5 = 19{,}44\pi \approx 61{,}07\ \text{m}^3.\]

Arrondi au dixième, le volume du bassin est bien 61,1 m³.

2. En une heure, la pompe évacue 14,1 m³ ; en 2 heures, elle évacue \(2 \times 14{,}1 = 28{,}2\) m³. Il reste donc \(61{,}1 – 28{,}2 = 32{,}9\) m³.

Au bout de 2 heures, il reste 32,9 m³ d’eau à vider.

3. a. Une heure dure 60 minutes, donc la pompe évacue par minute :

\[\dfrac{14{,}1}{60} = 0{,}235\ \text{m}^3.\]

En \(t\) minutes, elle évacue donc \(0{,}235t\) m³. En partant d’un bassin plein de 61,1 m³, il reste à vider \(61{,}1 – 0{,}235t\) m³, qui est exactement \(V(t)\). \(V(t)\) donne bien le volume restant à vider après \(t\) minutes de pompage.

b. On cherche \(t\) tel que \(V(t) = 30\) :

\[61{,}1 – 0{,}235t = 30 \iff 0{,}235t = 61{,}1 – 30 = 31{,}1 \iff t = \dfrac{31{,}1}{0{,}235} \approx 132{,}3.\]

Il faut environ 132 minutes (soit 2 h 12 min) pour qu’il ne reste plus que 30 m³ à vider.

4. a. On place 40 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses : on lit environ 90. L’antécédent de 40 par \(V\) est environ 90 : au bout de 90 minutes de pompage, il reste environ 40 m³ d’eau dans le bassin. (Le calcul \(\dfrac{61{,}1 – 40}{0{,}235} \approx 89{,}8\) confirme la lecture.)

b. Le bassin est vide lorsque \(V(t) = 0\) : on lit l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses, soit environ 260. La pompe vide complètement le bassin en environ 260 minutes, soit 4 h 20 min. (En effet \(\dfrac{61{,}1}{0{,}235} = 260\).)

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