Bac de maths 2026 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Sujet 2
Centres étrangers — 11 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (4 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O} ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\).

On considère :

• les points de l’espace \(\text{A}(1 ; 0 ; 3)\), \(\text{B}(2 ; 1 ; -1)\), \(\text{C}(1 ; 1 ; 1)\) et \(\text{H}(0 ; 2 ; 1)\) ;
• le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}\).

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l’espace.

2. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

4. Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).

5. Déterminer la mesure en degré de l’angle \(\widehat{\text{BAH}}\).

6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.

7. Déterminer les coordonnées du point \(\text{S}(x_{\text{S}} ; y_{\text{S}} ; z_{\text{S}})\) de la droite \((d)\) tel que :

• la distance entre le point S et le plan (ABC) est 6 ;
• son abscisse \(x_{\text{S}}\) est positive.

Exercice 2 (4 points)

Parmi les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France, on compte :

• 21 % de personnes de 15 à 29 ans ;
• 46 % de personnes de 30 à 59 ans ;
• 33 % de personnes d’au moins 60 ans.

On s’intéresse à l’utilisation d’un réseau social par les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France. On a ainsi pu observer que :

• 70 % des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
• 46 % des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
• 15 % des personnes d’au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note :

• \(J\) l’événement : « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans » ;
• \(M\) l’événement : « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans » ;
• \(S\) l’événement : « la personne interrogée a au moins 60 ans » ;
• \(R\) l’événement : « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

On note \(\overline{R}\) l’événement contraire de l’événement \(R\).

Dans tout l’exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

Partie A

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité.

2. Déterminer \(P(M \cap R)\).

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. On interroge au hasard une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France.

a. Calculer la probabilité qu’elle ait déjà publié sur ce réseau social.

b. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social.

Déterminer la probabilité qu’elle ait au moins 60 ans.

Partie B

Au cours d’un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, 100 personnes âgées d’au moins 15 ans vivant en France et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau social.

La population du pays est suffisamment grande pour qu’on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces 100 personnes interrogées.

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu’une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est 0,41.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

Donner ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.

3. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie C

On effectue le sondage décrit dans la partie B dans 150 villes françaises en respectant les mêmes conditions.

On note \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_{150}\) les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les 100 personnes interrogées dans chacune des 150 villes.

On considère \(Y\) la variable aléatoire définie par :

\[Y=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_{150}}{150}\]

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire \(Y\) soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à 98 %.

Exercice 3 (6 points)

Partie A

On note \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) par

\[f(x)=\ln(3x^2+2x).\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\).

2. On note \(g\) la fonction définie sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) par :

\[g(x)=f(x)-x\]

On admet que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\) et que \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty\).

a. Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\).

b. Donner la valeur de \(\alpha\) arrondie au centième.

c. En déduire le tableau de signes de la fonction \(g\) sur l’intervalle \([2 ; +\infty[\).

Partie B

Dans cette partie, les réponses pourront s’appuyer sur les résultats de la partie A.

On définit une suite \((a_n)\) par son premier terme \(a_0 \gt 0\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[a_{n+1}=\ln(3{a_n}^2+2a_n)\]

On étudie le cas où \(2 \leq\, a_0 \leq\, \alpha\), où \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(g(x)=0\).

1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(2 \leq\, a_n \leq\, \alpha\).

2. Démontrer que la suite \((a_n)\) est croissante.

3. Démontrer que la suite \((a_n)\) converge.

4. Démontrer que la limite de la suite \((a_n)\) est \(\alpha\).

Partie C

Dans cette partie, on prend \(a_0=2\).

La suite \((a_n)\) est ainsi définie par \(a_0=2\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[a_{n+1}=\ln(3{a_n}^2+2a_n)\]

On note \((b_n)\) la suite définie par \(b_0=10\) et pour tout entier naturel \(n\),

\[b_{n+1}=\ln(3{b_n}^2+2b_n)\]

On admet que la suite \((b_n)\) est strictement décroissante et qu’elle converge vers \(\alpha\).

1. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(a_n \leq\, b_n\).

2. On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.

from math import *
def algo(p):
    a = 2
    b = 10
    n = 0
    while b - a > 10**(-p):
        a = log(3*a**2 + 2*a)
        b = log(3*b**2 + 2*b)
        n = n + 1
    return (n,a)

On rappelle qu’en langage Python :

• la commande log(c) renvoie la valeur de \(\ln(c)\) ;
• la commande a**2 renvoie la valeur de \(a^2\).

a. Donner les valeurs renvoyées par l’instruction algo(2).

On arrondira si besoin les valeurs au millième.

b. Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l’exercice.

Exercice 4 (6 points)

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\).

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) : une fonction \(f\), sa dérivée \(f^{\prime}\) et sa dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

Associer chacune des fonctions \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) à sa courbe représentative. Aucune justification n’est attendue.

Partie B

On considère l’équation différentielle \((E)\) définie par \(y^{\prime}+y=(2x-3)\text{e}^{-x}\) où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\).

1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[g(x)=(x^2-3x)\text{e}^{-x}\]

Démontrer que la fonction \(g\) est une solution particulière de l’équation différentielle \((E)\).

2. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y^{\prime}+y=0\).

3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E)\).

4. Déterminer la solution \(f\) de l’équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0)=2\).

Partie C

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=\text{e}^{-x}(x^2-3x+2)\]

et on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Étudier le signe de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

3. On note I l’intégrale définie par :

\[I=\int_0^1 f(x)\,\text{d}x\]

a. À l’aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que \(I=1-\dfrac{1}{\text{e}}\).

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie D

On considère un réel \(a\).

On note \((T_a)\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(a\).

1. Démontrer que le point d’intersection de la tangente \((T_a)\) et de l’axe des ordonnées a pour ordonnée

\[(a^3-4a^2+2a+2)\text{e}^{-a}\]

2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe \(\mathcal{C}_f\) passant par l’origine du repère.

Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. On calcule \(\vec{\text{AB}}(2-1 ; 1-0 ; -1-3)\), soit \(\vec{\text{AB}}(1 ; 1 ; -4)\), et \(\vec{\text{AC}}(0 ; 1 ; -2)\). La première coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AB}}\) vaut 1 : si l’on avait \(\vec{\text{AC}}=k\,\vec{\text{AB}}\), on aurait \(k=0\), donc \(\vec{\text{AC}}=\vec{0}\), ce qui est faux. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B, C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

2. Le repère est orthonormé, on utilise l’expression analytique du produit scalaire :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=4\times 1+4\times 1+2\times (-4)=0 \qquad \vec{n}\cdot\vec{\text{AC}}=4\times 0+4\times 1+2\times (-2)=0.\]

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal au plan (ABC).

3. Le plan (ABC) admet une équation de la forme \(4x+4y+2z+d=0\). Comme A(1 ; 0 ; 3) lui appartient : \(4+0+6+d=0\), donc \(d=-10\). On obtient \(4x+4y+2z-10=0\) et, en divisant par 2, (ABC) : \(2x+2y+z-5=0\).

4. Avec H(0 ; 2 ; 1) : \(2\times 0+2\times 2+1-5=0\). Les coordonnées de H vérifient l’équation, donc H appartient au plan (ABC).

5. On a \(\vec{\text{AB}}(1 ; 1 ; -4)\) et \(\vec{\text{AH}}(-1 ; 2 ; -2)\). D’une part :

\[\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AH}}=1\times (-1)+1\times 2+(-4)\times (-2)=9.\]

D’autre part, \(\text{AB}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) et \(\text{AH}=\sqrt{1+4+4}=3\). Comme \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AH}}=\text{AB}\times \text{AH}\times \cos(\widehat{\text{BAH}})\) :

\[\cos(\widehat{\text{BAH}})=\dfrac{9}{3\sqrt{2}\times 3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

L’angle géométrique est compris entre 0° et 180°, donc \(\widehat{\text{BAH}}=45^\circ\).

6. Une droite orthogonale au plan (ABC) est dirigée par un vecteur normal à ce plan. On peut prendre \(\vec{n}(4 ; 4 ; 2)\), ou le vecteur colinéaire plus simple \(\dfrac{1}{2}\vec{n}(2 ; 2 ; 1)\). La droite \((d)\) passe par H(0 ; 2 ; 1), d’où la représentation paramétrique :

\[(d) : \{\begin{array}{l} x=4t \\ y=2+4t \\ z=1+2t \end{array}. \quad t\in\mathbb{R}\]

7. H est à la fois sur le plan (ABC) et sur la droite \((d)\), perpendiculaire à ce plan : H est donc le projeté orthogonal sur (ABC) de tout point de \((d)\). Pour un point S de \((d)\), la distance de S au plan est donc SH.

Un point S de \((d)\) s’écrit \(\text{S}(4t ; 2+4t ; 1+2t)\), donc \(\vec{\text{HS}}(4t ; 4t ; 2t)\) et :

\[\text{SH}=\sqrt{16t^2+16t^2+4t^2}=\sqrt{36t^2}=6|t|.\]

La condition \(\text{SH}=6\) donne \(|t|=1\), soit \(t=1\) ou \(t=-1\). L’abscisse \(x_{\text{S}}=4t\) doit être positive, donc \(t=1\). Ainsi \(\text{S}(4 ; 6 ; 3)\).

Exercice 2 :

Partie A

1. Les proportions de tranches d’âge donnent les premières branches ; les pourcentages de publication donnent les probabilités conditionnelles de \(R\), et celles de \(\overline{R}\) s’obtiennent par complément à 1 (par exemple \(1-0{,}7=0{,}3\)).

2. En suivant la branche M puis R :

\[P(M\cap R)=P(M)\times P_M(R)=0{,}46\times 0{,}46=0{,}2116.\]

La probabilité que la personne interrogée ait entre 30 et 59 ans et ait déjà publié sur ce réseau social est 0,2116, soit environ 0,212.

3. a. \(J\), \(M\) et \(S\) forment une partition de l’univers (chaque personne est dans exactement une tranche d’âge). D’après la formule des probabilités totales :

\[P(R)=0{,}21\times 0{,}7+0{,}46\times 0{,}46+0{,}33\times 0{,}15=0{,}147+0{,}2116+0{,}0495=0{,}4081.\]

La probabilité que la personne ait déjà publié est 0,4081, soit environ 0,408.

b. On cherche \(P_R(S)\) :

\[P_R(S)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}33\times 0{,}15}{0{,}4081}=\dfrac{0{,}0495}{0{,}4081}\approx 0{,}121.\]

Sachant qu’elle a déjà publié, la probabilité que la personne ait au moins 60 ans est environ 0,121.

Partie B

1. On répète 100 fois, de manière identique et indépendante, l’épreuve de Bernoulli « la personne a déjà publié » de probabilité de succès 0,41, et \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=100\) et \(p=0{,}41\).

2. « Au moins la moitié » correspond à \(X\geq\, 50\). À la calculatrice :

\[P(X\geq\, 50)=1-P(X\leq\, 49)\approx 0{,}043.\]

La probabilité cherchée vaut environ 0,043.

3. Pour une loi binomiale, \(\mathrm{E}(X)=np=100\times 0{,}41=41\). Interprétation : sur un grand nombre de sondages de 100 personnes, on compte en moyenne 41 personnes ayant déjà publié sur ce réseau social.

Partie C

Les variables \(X_1, \ldots, X_{150}\) sont indépendantes et suivent toutes la loi \(\mathcal{B}(100 ; 0{,}41)\), d’espérance 41 et de variance \(100\times 0{,}41\times 0{,}59=24{,}19\). \(Y\) est la moyenne de cet échantillon de taille 150, donc :

\[\mathrm{E}(Y)=41 \qquad \mathrm{V}(Y)=\dfrac{24{,}19}{150}.\]

(Linéarité de l’espérance ; pour la variance, indépendance des \(X_i\) et \(\mathrm{V}(\frac{1}{150}Z)=\frac{1}{150^2}\mathrm{V}(Z)\).)

« \(37 \lt Y \lt 45\) » équivaut à « \(|Y-41| \lt 4\) », qui est l’évènement contraire de « \(|Y-41|\geq\, 4\) ». D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

\[P(|Y-41|\geq\, 4)\leq\,\dfrac{\mathrm{V}(Y)}{4^2}=\dfrac{24{,}19}{150\times 16}=\dfrac{24{,}19}{2400}\approx 0{,}0101.\]

Donc :

\[P(37 \lt Y \lt 45)=1-P(|Y-41|\geq\, 4)\geq\, 1-\dfrac{24{,}19}{2400}\approx 0{,}9899.\]

Comme \(\dfrac{24{,}19}{2400} \lt \dfrac{48}{2400}=0{,}02\), on a \(1-\dfrac{24{,}19}{2400} \gt 0{,}98\), donc \(P(37 \lt Y \lt 45) \gt 0{,}98\) : la probabilité est strictement supérieure à 98 %.

Exercice 3 :

Partie A

1. \(f=\ln(u)\) avec \(u(x)=3x^2+2x\), strictement positive sur \([2 ; +\infty[\) et \(u^{\prime}(x)=6x+2\). Donc :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)}=\dfrac{6x+2}{3x^2+2x}.\]

Pour \(x\geq\, 2\), le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([2 ; +\infty[\).

2. a. La fonction \(g\) est continue sur \([2 ; +\infty[\) (car \(f\) est dérivable) et strictement décroissante. On a \(g(2)=\ln(16)-2\approx 0{,}77 \gt 0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([2 ; +\infty[\). On remarque que \(g(\alpha)=0\) signifie \(f(\alpha)=\alpha\).

b. Par balayage à la calculatrice : \(g(4{,}04)\approx 0{,}004 \gt 0\) et \(g(4{,}05)\approx -0{,}002 \lt 0\), puis \(g(4{,}045)\approx 0{,}001 \gt 0\). Donc \(4{,}045 \lt \alpha \lt 4{,}05\) et \(\alpha\approx 4{,}05\).

c. Comme \(g\) est strictement décroissante et s’annule en \(\alpha\) :

Partie B

1. Remarquons d’abord que \(a_{n+1}=f(a_n)\). Démontrons par récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(2\leq\, a_n\leq\,\alpha\) ».

Initialisation : c’est l’hypothèse \(2\leq\, a_0\leq\,\alpha\).

Hérédité : supposons \(2\leq\, a_n\leq\,\alpha\) pour un entier \(n\). La fonction \(f\) est croissante sur \([2 ; +\infty[\), donc \(f(2)\leq\, f(a_n)\leq\, f(\alpha)\), c’est-à-dire \(\ln(16)\leq\, a_{n+1}\leq\,\alpha\) puisque \(f(\alpha)=\alpha\). Or \(\ln(16)\approx 2{,}77\geq\, 2\), donc \(2\leq\, a_{n+1}\leq\,\alpha\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(2\leq\, a_n\leq\,\alpha\).

2. Pour tout \(n\), \(a_{n+1}-a_n=f(a_n)-a_n=g(a_n)\). Comme \(a_n\in[2 ; \alpha]\) et que \(g\) est positive sur cet intervalle (tableau de signes de la partie A), \(a_{n+1}-a_n\geq\, 0\) : la suite \((a_n)\) est croissante.

3. La suite \((a_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\) : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\), qui vérifie \(2\leq\,\ell\leq\,\alpha\) (passage à la limite dans les inégalités).

4. On a \(a_{n+1}=f(a_n)\), la suite converge vers \(\ell\in[2 ; \alpha]\) et \(f\) est continue en \(\ell\). En passant à la limite dans la relation de récurrence, \(\ell=f(\ell)\), donc \(g(\ell)=0\). Comme \(\alpha\) est l’unique solution de \(g(x)=0\) sur \([2 ; +\infty[\), \(\ell=\alpha\).

Partie C

1. Avec \(a_0=2\), on a bien \(2\leq\, a_0\leq\,\alpha\), donc la partie B s’applique : \(a_n\leq\,\alpha\) pour tout \(n\). Par ailleurs, \((b_n)\) est décroissante et converge vers \(\alpha\) ; une suite décroissante est toujours supérieure ou égale à sa limite (sinon, un terme \(b_N \lt \alpha\) entraînerait \(b_n\leq\, b_N \lt \alpha\) pour tout \(n\geq\, N\), et la limite serait au plus \(b_N\)). Donc \(\alpha\leq\, b_n\). Finalement, \(a_n\leq\,\alpha\leq\, b_n\) pour tout entier naturel \(n\).

2. a. La fonction calcule simultanément les termes des deux suites tant que l’écart \(b_n-a_n\) dépasse \(10^{-p}\), avec \(n\) le rang atteint. Pour \(p=2\), les termes successifs (arrondis) sont :

Au rang 8, l’écart vaut encore environ 0,013, supérieur à 0,01 ; au rang 9, il vaut environ 0,006 et la boucle s’arrête. L’instruction algo(2) renvoie donc \((9 ; 4{,}044)\) (valeurs arrondies au millième).

b. Pour tout \(n\), \(a_n\leq\,\alpha\leq\, b_n\) : l’intervalle \([a_n ; b_n]\) contient \(\alpha\). Le programme s’arrête au premier rang, ici 9, où la longueur de cet intervalle est inférieure ou égale à \(10^{-2}\). Ainsi \(a_9\approx 4{,}044\) est une valeur approchée par défaut de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près, obtenue au rang 9 : \(4{,}043 \lt \alpha \lt 4{,}050\), ce qui confirme \(\alpha\approx 4{,}05\).

Exercice 4 :

Partie A

\(\mathcal{C}_1\) représente \(f\), \(\mathcal{C}_3\) représente \(f^{\prime}\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(f^{\prime\prime}\).

Pour s’en convaincre (justification non demandée) : \(\mathcal{C}_1\) décroît jusqu’à environ 1,4 puis croît jusqu’à environ 3,6 et décroît ensuite, exactement là où \(\mathcal{C}_3\) est négative, positive puis négative. De même, \(\mathcal{C}_3\) croît jusqu’en 2 puis décroît jusqu’en 5, là où \(\mathcal{C}_2\) est positive puis négative. \(\mathcal{C}_2\) est donc la dérivée de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_3\), qui est elle-même la dérivée de celle représentée par \(\mathcal{C}_1\).

Partie B

1. \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables. Avec \(u(x)=x^2-3x\) et \(v(x)=\text{e}^{-x}\), \(u^{\prime}(x)=2x-3\) et \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\), d’où :

\[g^{\prime}(x)=(2x-3)\text{e}^{-x}-(x^2-3x)\text{e}^{-x}.\]

En ajoutant \(g(x)=(x^2-3x)\text{e}^{-x}\), le second terme disparaît :

\[g^{\prime}(x)+g(x)=(2x-3)\text{e}^{-x}.\]

\(g\) est donc une solution particulière de \((E)\).

2. L’équation \(y^{\prime}+y=0\) s’écrit \(y^{\prime}=-y\), de la forme \(y^{\prime}=ay\) avec \(a=-1\). Ses solutions sont les fonctions \(x\mapsto C\text{e}^{-x}\), avec \(C\in\mathbb{R}\).

3. Les solutions de \((E)\) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière les solutions de l’équation homogène associée. Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x\mapsto C\text{e}^{-x}+(x^2-3x)\text{e}^{-x}=(x^2-3x+C)\text{e}^{-x}\), avec \(C\in\mathbb{R}\).

4. On cherche \(C\) tel que \(f(0)=2\) : \((0-0+C)\text{e}^0=C=2\). Donc \(f(x)=(x^2-3x+2)\text{e}^{-x}\), c’est la fonction étudiée ensuite.

Partie C

1. Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), de racines 1 et 2 et de coefficient dominant positif. Il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles :

2. a. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\) et le trinôme tend vers \(+\infty\) (terme dominant \(x^2\)). Par produit, \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\).

b. En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(0\times \infty\) ». On développe : \(f(x)=\dfrac{x^2}{\text{e}^x}-3\dfrac{x}{\text{e}^x}+\dfrac{2}{\text{e}^x}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{x^2}{\text{e}^x}\) et \(\dfrac{x}{\text{e}^x}\) tendent vers 0, et \(\dfrac{2}{\text{e}^x}\) aussi. Par somme, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\).

3. a. Première intégration par parties avec \(u(x)=x^2-3x+2\), \(u^{\prime}(x)=2x-3\), \(v^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}\), \(v(x)=-\text{e}^{-x}\) (fonctions dérivables à dérivées continues sur \([0 ; 1]\)) :

\[I=[-(x^2-3x+2)\text{e}^{-x}]_0^1+\int_0^1(2x-3)\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]

Le crochet vaut \(-0\times \text{e}^{-1}+2\times \text{e}^0=2\), donc \(I=2+J\) avec \(J=\displaystyle\int_0^1(2x-3)\text{e}^{-x}\,\text{d}x\).

Seconde intégration par parties avec \(u(x)=2x-3\), \(u^{\prime}(x)=2\), \(v^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}\), \(v(x)=-\text{e}^{-x}\) :

\[J=[-(2x-3)\text{e}^{-x}]_0^1+\int_0^1 2\text{e}^{-x}\,\text{d}x=(\text{e}^{-1}-3)+[-2\text{e}^{-x}]_0^1=\text{e}^{-1}-3-2\text{e}^{-1}+2=-1-\dfrac{1}{\text{e}}.\]

D’où \(I=2-1-\dfrac{1}{\text{e}}\), c’est-à-dire \(I=1-\dfrac{1}{\text{e}}\).

b. D’après la question 1, \(f\) est positive sur \([0 ; 1]\) (et continue). \(I\approx 0{,}632\) est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\).

Partie D

1. La tangente \((T_a)\) a pour équation \(y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\). Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’abscisse 0, d’ordonnée \(f(a)-af^{\prime}(a)\).

Comme \(f\) est solution de \((E)\), \(f^{\prime}(a)=(2a-3)\text{e}^{-a}-f(a)=(2a-3-a^2+3a-2)\text{e}^{-a}=(-a^2+5a-5)\text{e}^{-a}\) (on retrouve le même résultat en dérivant le produit). Alors :

\[f(a)-af^{\prime}(a)=(a^2-3a+2+a^3-5a^2+5a)\text{e}^{-a}=(a^3-4a^2+2a+2)\text{e}^{-a}.\]

C’est bien l’ordonnée annoncée.

2. Démarche : une tangente \((T_a)\) n’est jamais verticale, donc elle passe par l’origine si et seulement si son ordonnée à l’origine est nulle, c’est-à-dire \((a^3-4a^2+2a+2)\text{e}^{-a}=0\). Comme \(\text{e}^{-a} \gt 0\), cela revient à \(h(a)=0\) avec \(h(x)=x^3-4x^2+2x+2\). Il s’agit donc de compter les solutions réelles de \(h(x)=0\), puis de vérifier que ces solutions donnent des tangentes différentes.

On calcule quelques valeurs de \(h\) :

La fonction polynôme \(h\) est continue et change de signe sur chacun des intervalles \([-1 ; 0]\), \([0 ; 2]\) et \([2 ; 4]\) : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule au moins une fois dans chacun de ces trois intervalles disjoints, donc au moins trois fois. Or un polynôme de degré 3 a au plus trois racines. L’équation \(h(x)=0\) a donc exactement trois solutions (environ \(-0{,}481\), \(1{,}311\) et \(3{,}170\)).

On peut aussi passer par l’étude des variations : \(h^{\prime}(x)=3x^2-8x+2\) s’annule en \(x_1=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\) et \(x_2=\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}\), avec \(h(x_1)=\dfrac{20\sqrt{10}-2}{27} \gt 0\) et \(h(x_2)=\dfrac{-20\sqrt{10}-2}{27} \lt 0\) ; avec les limites \(-\infty\) et \(+\infty\), le théorème de la bijection donne une racine sur chacun des trois intervalles de monotonie.

Une tangente qui passe par l’origine a pour équation \(y=f^{\prime}(a)x\). Pour les trois valeurs trouvées, les coefficients directeurs \(f^{\prime}(a)=(-a^2+5a-5)\text{e}^{-a}\) valent environ \(-12{,}4\), \(-0{,}044\) et \(0{,}034\) : ils sont distincts, donc les trois droites aussi.

Conclusion : il existe exactement trois tangentes à \(\mathcal{C}_f\) passant par l’origine du repère.

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