Fonctions linéaires : corrigé des exercices de maths en 3ème.

Le corrigé des exercices de maths en 3ème sur les fonctions linéaires.

Calculer des images et des antécédents. Travailler sur la courbe d’une fonction linéaire et exploitation de tableau de valeurs.

Exercice 1 :
Soit la fonction linéaire f : x

1,2x.

a. Calculer f(5) ; f(- 1,2) ; f(0) ; f(100).

f(5)=1,2×5=6 ; f(-1,2)=- 1,44 ; f(0)= 0 ; f(100 ) = 120

b. Calculer les nombres x dont les images sont 2 400 ; – 45.

$x=\frac{2400}{1,2}=200$

$x=\frac{-45}{1,2}=-37,5$

Exercice 2 :
Soit g la fonction linéaire telle que g 😡 – 0,4x.

a. Quel est le coefficient de la fonction g ?

a = – 0,4

b. Calculer les images de 10 ; – 5 et 1.

g(10) = – 4 ; g(-5)=2 ; g(1) = -0,4

Exercice 3 :
On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.

f est-elle une fonction linéaire ?Pourquoi ?

Comparons $\frac{23}{18}$ et $\frac{14}{12}$ :

$23\times 12=276\,\,14\times 18=252$

Les fractions ne sont pas égales donc ce n’est pas une fonction linéaire .

Exercice 4 :

Exprimer la fonction linéaire f sous la forme $x\mapsto \,\,\,ax$ ( le nombre a est à déterminer), puis calculer f(0) ; f(1) et f( – 2).

1. Lorsque l’image de 10 est – 3.

Nous avons $a=-\frac{3}{10}=-0,3$ donc f est telle que .

2. Lorsque f (- 100)= – 46.
Nous avons $a=\frac{-46}{-100}=0,46$ donc f est telle que .

3. Lorsque le coefficient de f est 2,5.
Nous avons f qui est définie par .

Exercice 5 :

Dans un repère, il suffit de connaître les coordonnées d’un seul point ( dont l’abscisse est non nul) appartenant à la courbe d’une fonction linéaire pour la tracer.

a. Pour $f:x\,\mapsto \,\,\,2,5x$ .

Nous avons f(2)=2,5×2 = 5 donc la courbe passe par le point A(2;5).

b. Tracer la droite d d’équation y = 1,2x, nous noterons cette fonction h.
Nous avons h(5)=1,2×5=6 donc la courbe passe par le point B ( 5 ; 6).

c. Tracer la droite d’ représentant la fonction linéaire g de coefficient a = – 2.

Nous avons g(1)= – 2 donc la courbe passe par C(1;- 2).

Voici les courbes de ces trois fonctions linéaires :

Exercice 10 :
Voici les courbes de ces cinq fonctions linéaires.

y=2,5x est (d1)

y= – 3x est (d5)

$y=-\frac{1}{3}x$ ets (d3)

$y=\frac{1}{3}x$ est (d2)

$y=-\frac{5}{4}x$ est (d4)

Exercice 14 :

f est une fonction linéaire . Déterminer l’expression de f(x)

$f(\frac{12}{5})=\frac{8}{5}$

f est du type .

$f(\frac{12}{5})=a\times \frac{12}{5}=\frac{8}{5}$

$a=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{8}{5}\times \frac{5}{12}=\frac{8:4}{12:4} =\frac{2}{3}$

Conclusion : ${\color{DarkRed} f(x)=\frac{2}{3}x}$

Exercice 15 :

a) Soit : x le prix initial d’un article et : y son prix final après une augmentation ou une baisse. Quel est le pourcentage d’augmentation ou de baisse dans chacun des cas suivants ? (1): y = 1.4x

$1,4=1+0,4=1+\frac{40}{100}$

C’est une augmentation de 40 % .

(2): y = 0.5x

$0,5=1-0,5=1-\frac{50}{100}$

C’est une réduction de 50 % .

(3): y = 0.9x

$0,9=1-0,1=1-\frac{10}{100}$

C’est une réduction de 10 % .

(4): y = 1.05x

$1,05=1+0,05=1+\frac{5}{100}$

C’est une augmentation de 5 % .

Exercice 16 :

1. Un objet A coûte 65 euros. Son prix augmente de 5%.

Combien coûte-t-il après cette augmentation?

Le coefficient multiplicateur est $k=1+\frac{5}{100}=1,05$ .

$65\times 1,05=68,25$

Le prix final est de 68,25 euros .

2.Un objet B coûte 88 euros après une augmentation de 10%.

Quel était son prix avant cette augmentation?

Le coefficient multiplicateur est $k=1+\frac{10}{100}=1,1$ .

$\frac{88}{1,1}=80$

Le prix avant augmentation est de 80 euros .

3.Un objet C coûte 45 euros. Après une augmentation son prix est de 50,40 euros.

Quel est le pourcentage de cette augmentation?

Le coefficient multiplicateur est $k=\frac{50,40}{45}=1,12=1+0,12=1+\frac{12}{100}$

L’augmentation était de 12 % .

Exercice 17 :

Un gérant de magasin de vêtements décide de baisser ses prix de 15 % .

a) Quelle est la fonction linéaire modélisant cette baisse ?

La fonction linéaire modélisant une baisse de 15 % est f(x)=0,85x .

b) Quelle est le nouveau prix d’un pantalon qui coûtait 70 e avant cette baisse ?

f(70)=0,85×70=59,5 €

c) Quel est l’ancien prix d’un pull qui coûte 50,12 € après cette baisse ?

On cherche x tel que f(x)=50,12

d’où 0,85x=50,12

$x=\frac{50,12}{0,85}$

soit

Conclusion : l’ancien prix du pull était de 56 € .

Exercice 18 :

On considère la fonction linéaire f de coefficient – 5.

Nous avons donc f(x)= – 5x

Calculer l’image par f des nombres suivants :

a) 0

f(0)=0 (f est une fonction linéaire).

b) 3

$f(3)=-5\times 3=-15$

c) – 2

$f(-2)=-5\times (-2)=10$

d) $\frac{3}{7}$

$f(\frac{3}{7})=-5\times (\frac{3}{7})=-\frac{15}{7}$

e) $-\sqrt{3}$

$f(-\sqrt{3})=-5\times (-\sqrt{3})=5\sqrt{3}$

Exercice 19 :

Pour chaque fonction, préciser si elle est linéaire et, dans ce cas, son coefficient.

a) $f:x \mapsto 3,5x$

Elle est linéaire de coeffcient a= 3,5 .

b) $g:x \mapsto 2+x$

elle n’est pas linéaire, c’est une fonction affine.

c) $h:x \mapsto 7x^2$

elle n’est pas linéaire, c’est une fonction carrée.

d) $i:x \mapsto -x$

elle est linéaire de coefficent a= – 1 .

e) $j:x \mapsto 5$

elle n’est pas linéaire , c’est une fonction constante .

f) $k:x \mapsto \frac{5x}{3}$

elle est linéaire de coefficient $a=\frac{5}{3}$ .

Exercice 20 :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul.

$x=0\,\,ou\,\,x-4=0$

$x=0\,\,ou\,\,x=4$

Conclusion : Les nombres 0 et 4 ont la même image par V1 et V2 .

Exercice 21 :

Soit f la fonction linéaire définie par : $f: x \mapsto -2x$ .

1. Calculer f(3), f( – 2), f(7).

$f(3)=-2\times 3=-6$

$f(-2)=-2\times (-2)=4$

$f(7)=-2\times 7=-14$

2. Quelles sont les images par f de – 1, 6, $\frac{3}{2}$ ?

$f(-1)=-2\times (-1)=2$

$f(6)=-2\times 6=-12$

$f(\frac{3}{2})=-2\times \frac{3}{2}=-3$

3. Trouver le nombre qui a pour image 7.

$x=-\frac{7}{2}$

${\color{DarkRed} x=-3,5}$