Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : factorisation, tableaux de signes et preuves.
Voici la correction rédigée de l’évaluation sur le signe des expressions. Chaque tableau de signes est dessiné en entier : racine de chaque facteur, signe de chaque ligne, règle des signes pour la dernière ligne et double barre sous la valeur interdite d’un quotient.
Les démonstrations sont écrites comme on les attend en seconde : on choisit une lettre pour l’entier, on calcule, puis on conclut. Pour le problème des allées, la factorisation fournie est vérifiée avant d’étudier le signe. Le barème détaillé t’aide à noter ta copie et les erreurs fréquentes signalent les pièges de sens d’inégalité.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : factorisation, tableaux de signes et preuves.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes | 3 points |
| Exercice 2 : Signe d’une expression affine | 3 points |
| Exercice 3 : Produits et quotients | 5 points |
| Exercice 4 : Démonstrations algébriques | 4 points |
| Exercice 5 : Les allées du jardin | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes (3 points)
- \(2x = 6\), donc \(x = 3\).
- \(-3x + 12 > 0\) équivaut à \(-3x > -12\), soit \(x < 4\) (on divise par \(-3\), négatif : le sens change). \(]-\infty\,;4[\).
- \(4x^2 – 9 = (2x)^2 – 3^2\). \(4x^2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)\).
- \((0 – 1)(0 + 2) = -1 \times 2 = -2\). Le produit est négatif.
- Le dénominateur s’annule pour \(x = 5\). La valeur interdite est 5.
- \(x^2 + 4x = x(x + 4)\).
Barème : 0,5 point par réponse exacte.
Exercice 2 : Signe d’une expression affine (3 points)
- \(2x – 5 = 0\) pour \(x = \frac{5}{2}\). Le coefficient directeur \(2\) est positif, donc \(f(x)\) est négatif avant \(\frac{5}{2}\) et positif après.
\(x\) \(-\infty\) \(\frac{5}{2}\) \(+\infty\) \(2x – 5\) \(-\) 0 \(+\) - \(-4x + 6 = 0\) pour \(x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). Le coefficient directeur \(-4\) est négatif, donc \(g(x)\) est positif avant \(\frac{3}{2}\) et négatif après.
\(x\) \(-\infty\) \(\frac{3}{2}\) \(+\infty\) \(-4x + 6\) \(+\) 0 \(-\) - D’après le tableau, \(-4x + 6 \leq\, 0\) pour \(x \geq\, \frac{3}{2}\). \(S = [\frac{3}{2}\,;+\infty[\).
Barème : a) et b) 0,25 point pour la racine, 0,25 point pour le signe du coefficient, 0,5 point pour le tableau ; c) 0,5 point pour la lecture, 0,5 point pour l’intervalle avec le bon crochet en \(\frac{3}{2}\).
Exercice 3 : Produits et quotients (5 points)
- On réutilise les tableaux de l’exercice 2 et la règle des signes d’un produit.
\(x\) \(-\infty\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{5}{2}\) \(+\infty\) \(2x – 5\) \(-\) | \(-\) 0 \(+\) \(-4x + 6\) \(+\) 0 \(-\) | \(-\) \(P(x)\) \(-\) 0 \(+\) 0 \(-\) \(P(x) > 0\) lorsque \(x\) est strictement entre les deux racines. \(S = ]\frac{3}{2}\,;\frac{5}{2}[\).
- Le dénominateur \(1 – x\) s’annule pour \(x = 1\) : la valeur interdite est 1. Le numérateur \(x + 3\) s’annule pour \(x = -3\) et son coefficient est positif ; \(1 – x\) a un coefficient \(-1\) négatif, il est donc positif avant 1 et négatif après.
\(x\) \(-\infty\) \(-3\) \(1\) \(+\infty\) \(x + 3\) \(-\) 0 \(+\) | \(+\) \(1 – x\) \(+\) | \(+\) 0 \(-\) \(Q(x)\) \(-\) 0 \(+\) || \(-\) \(Q(x) \geq\, 0\) pour \(-3 \leq\, x < 1\) : \(-3\) est inclus car \(Q(-3) = 0\), et 1 est exclu car c’est la valeur interdite. \(S = [-3\,;1[\).
- \(R(x) = (x – 2)^2 – 3^2 = [(x – 2) – 3][(x – 2) + 3]\), donc \(R(x) = (x – 5)(x + 1)\).
\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(5\) \(+\infty\) \(x + 1\) \(-\) 0 \(+\) | \(+\) \(x – 5\) \(-\) | \(-\) 0 \(+\) \(R(x)\) \(+\) 0 \(-\) 0 \(+\) \(R(x) < 0\) pour \(x \in\, ]-1\,;5[\).
Barème : a) 1 point pour le tableau (0,25 point par ligne de facteur, 0,5 point pour la ligne du produit), 1 point pour l’ensemble des solutions ; b) 0,25 point pour la valeur interdite, 0,75 point pour le tableau avec la double barre, 0,5 point pour l’ensemble des solutions ; c) 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour l’ensemble des solutions.
Erreur fréquente : en b), écrire \(S = [-3\,;1]\) : une valeur interdite ne peut jamais être solution, le crochet en 1 est donc toujours ouvert.
Exercice 4 : Démonstrations algébriques (4 points)
- Trois entiers consécutifs s’écrivent \(n\), \(n + 1\) et \(n + 2\), où \(n\) est un entier. Leur somme vaut :
\(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\).
Comme \(n + 1\) est un entier, cette somme est de la forme \(3 \times \text{entier}\). La somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
- Pour tout réel \(x\) : \(x^2 + 1 – 2x = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2\).
Un carré est toujours positif ou nul, donc \((x – 1)^2 \geq\, 0\), c’est-à-dire \(x^2 + 1 – 2x \geq\, 0\).
Pour tout réel \(x\), \(x^2 + 1 \geq\, 2x\), avec égalité lorsque \((x – 1)^2 = 0\), c’est-à-dire pour \(x = 1\).
- Pour tout réel \(x\) : \((x + 3)^2 – x(x + 6) = x^2 + 6x + 9 – x^2 – 6x = 9\).
La différence vaut 9, qui est strictement positif, donc \((x + 3)^2 > x(x + 6)\) pour tout réel \(x\). Lina a raison.
Barème : a) 0,5 point pour l’écriture des trois entiers, 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour la différence factorisée, 0,5 point pour la conclusion, 0,5 point pour le cas d’égalité ; c) 0,5 point pour le calcul de la différence, 0,5 point pour la conclusion.
Erreur fréquente : vérifier la propriété sur quelques exemples (\(1 + 2 + 3 = 6\), \(4 + 5 + 6 = 15\)) : des exemples ne prouvent rien pour tous les entiers, il faut un calcul littéral.
Exercice 5 : Les allées du jardin (5 points)
- Si on fait glisser les morceaux de pelouse pour supprimer les allées, on obtient un rectangle dont la longueur est \(10 – x\) (on retire la largeur de l’allée verticale) et la largeur est \(6 – x\) (on retire la largeur de l’allée horizontale). L’aire de la pelouse est \(P(x) = (10 – x)(6 – x)\) m².
- \(P(x) = 60 – 10x – 6x + x^2\). \(P(x) = x^2 – 16x + 60\).
- \((x – 2)(x – 14) = x^2 – 14x – 2x + 28 = x^2 – 16x + 28\), et \(P(x) – 32 = x^2 – 16x + 60 – 32 = x^2 – 16x + 28\). Donc \(P(x) – 32 = (x – 2)(x – 14)\).
- Sur \(]0\,;6[\), \(x – 14 < 0\) car \(x < 6 < 14\). Le facteur \(x – 2\) s’annule en 2.
\(x\) \(0\) \(2\) \(6\) \(x – 2\) \(-\) 0 \(+\) \(x – 14\) \(-\) | \(-\) \((x – 2)(x – 14)\) \(+\) 0 \(-\) - On veut \(P(x) \geq\, 32\), c’est-à-dire \(P(x) – 32 \geq\, 0\), soit \((x – 2)(x – 14) \geq\, 0\). D’après le tableau, sur \(]0\,;6[\), cela équivaut à \(0 < x \leq\, 2\). Vérification : \(P(2) = 8 \times 4 = 32\).
Les allées peuvent mesurer au plus 2 m de large.
Barème : a) 0,5 point pour chaque dimension justifiée ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la comparaison avec \(P(x) – 32\) ; d) 0,5 point pour le signe de \(x – 14\), 0,5 point pour la ligne de \(x – 2\), 0,5 point pour la ligne du produit ; e) 0,5 point pour la traduction par une inéquation, 0,5 point pour la conclusion avec l’unité.
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Après le corrigé du contrôle : factorisation, tableaux de signes et preuves
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