Contrôle de maths 2de : vecteurs, translations et relation de Chasles

Exercice 1 : Translation sur un quadrillage (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

On considère les points \(A\) et \(B\) et le triangle \(CDE\) placés sur le quadrillage ci-dessous. Recopie la figure sur ton quadrillage.

1. Construis le triangle \(C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}\), image du triangle \(CDE\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\). (2 points)
2. Cite trois vecteurs de la figure égaux au vecteur \(\vec{AB}\). (1 point)
3. Quelle est la nature du quadrilatère \(CDD^{\prime}C^{\prime}\) ? Justifie. (1 point)

Exercice 2 : Vecteurs dans un parallélogramme (4 points)

\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\).

1. Cite un vecteur égal à \(\vec{AB}\), puis un vecteur égal à \(\vec{AO}\). (1 point)
2. Quelle est l’image du point \(D\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\) ? Quelle est l’image du point \(O\) par la translation de vecteur \(\vec{CO}\) ? (1 point)
3. Écris chaque somme sous la forme d’un seul vecteur : \(\vec{AB} + \vec{AD}\) ; \(\vec{OA} + \vec{OC}\) ; \(\vec{AB} + \vec{BO}\). (1 point)
4. On note \(E\) l’image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{DC}\). Montre que \(C\) est le milieu de \([DE]\), puis que \(ABEC\) est un parallélogramme. (1 point)

Exercice 3 : Simplifier avec la relation de Chasles (4 points)

\(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(M\), \(N\) et \(P\) sont des points quelconques du plan. Écris chaque expression sous la forme d’un seul vecteur, en détaillant les étapes.

1. \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) (0,5 point)
2. \(\vec{v} = \vec{MA} + \vec{AN} + \vec{NP}\) (0,5 point)
3. \(\vec{w} = \vec{AB} – \vec{CB}\) (1 point)
4. \(\vec{s} = \vec{DE} + \vec{EF} – \vec{DF}\) (1 point)
5. \(\vec{t} = \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BC} + \vec{DA}\) (1 point)

Exercice 4 : Constructions et produit par un réel (5 points)

Recopie les points \(A\), \(B\) et \(C\) sur ton quadrillage, en respectant leurs positions (la figure est à l’échelle du quadrillage).

1. Place le point \(D\) tel que \(\vec{AD} = 2\vec{AB}\). Que peux-tu dire des points \(A\), \(B\) et \(D\) ? (1 point)
2. Place le point \(G\) tel que \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AC}\). (1,5 point)
3. Place le point \(H\) tel que \(\vec{BH} = \vec{AC} – 2\vec{AB}\). Explique ta construction. (1,5 point)
4. À l’aide de la relation de Chasles, démontre que \(\vec{BG} = \vec{AC}\). Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère \(ABGC\) ? (1 point)

Exercice 5 : Médiane et somme de vecteurs (3 points)

\(ABC\) est un triangle et \(I\) est le milieu du segment \([BC]\).

1. En utilisant la relation de Chasles, démontre que \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}\). (1,5 point)
2. On définit le point \(M\) par \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}\). Démontre que \(I\) est le milieu de \([AM]\), puis donne la nature du quadrilatère \(ABMC\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : vecteurs, translations et relation de Chasles

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les vecteurs et la translation » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés vecteurs et translation.

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