Calcul littéral : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF.
Mis à jour le 28 mai 2025
Exercice 1 – Développer avec les identités remarquables.
Développer en utilisant les identités remarquables :
Exercice 2 – Développer une expression littérale.
On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)
1. Développer et réduire A .
2. Calculer la valeur exacte de A si ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .
Exercice 3 – Développer les expressions littérales.
Développer et réduire les expressions suivantes :
Exercice 4 – Développer puis réduire.
Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :
Exercice 5 – Calcul numérique.
Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :
1. 101²
2. 103²
3. 98²
4. 101×99
Exercice 6 – Développer les expressions littérales.
Développer les expressions littérales suivantes et les réduire.
Exercice 7 – Développement à l’aide d’identités remarquables.
Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:
a) (x-1)²
b) (x+4)²
c) (2x+1)²
d) (7x-1)(7x+1)
e) (4x-1)(3x+7)
f) (-x+1)(3x-2)
g) (1/2+x)²
h) (x-4)²+(x+2)(x+3)
i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²
Exercice 8 – Développer, réduire et identités remarquables.
Développer et réduire les expressions suivantes :
Exercice 9 – Identités remarquables.
Développer à l’aide des identités remarquables
et réduire les expressions :
Exercice 10 – Factoriser les expressions littérales.
Factoriser ces expression algébriques.
Exercice 11 – Factoriser les expressions.
Factoriser ces expression littérales.
Exercice 12 – Calcul littéral et brevet des collèges.
On considère l’expression :
1. Factoriser D.
2. Développer et réduire D.
3. Calculer D pour x = 1 .
Exercice 13 – Développer, réduire et factoriser.
On considère l’expression :
1. Développer et réduire l’expression E.
2. Factoriser E.
3. Calculer E pour x = – 2.
Exercice 14 – Développer et réduire.
Soit l’expression suivante :
1. Développer et réduire l’expression B.
2. Calculer l’expression B pour :
a. a=1; b. a=0,75; c. a=0 .
Exercice 15 – Factoriser et identité remarquable.
Factoriser les expressions littérales suivantes :
K = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1)
L = (x – 3)² – (x – 3)(4x + 1)
M = (x + 1)(2x – 5) + (2x – 5)²
Exercice 16 – Factoriser les expressions littérales.
E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)
F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)
G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)
Exercice 17 – Factoriser les expressions.
A = 13(x + 2) + 5(x + 2)
B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)
C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)
D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)
Exercice 18 – Factorisations un peu plus complexes.
Factoriser les expressions suivantes :
Exercice 19 – Factorisation d’expressions littérales.
Développer les expressions suivantes :
puis factoriser-les.
Exercice 20.
1. Factoriser :
a. 9-12x+4x² .
b. (3-2x)²-4 .
2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 .
Exercice 21 – Utilisation du tableur.
On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .
a) Calculer E et F pour x = 4.
b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?
c) Avec un tableur :
On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de x inscrites en colonne A.
Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?
(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)
Exercice 22 – Développer, factoriser et résoudre.
On considère l’expression .
1) Développer et réduire D.
2) Factoriser D.
3) Résoudre l’équation .
4) Calculer la valeur exacte de D quand .
Exercice 23 – Factoriser et développer.
1. Factoriser ces expressions :
A=36-25x²
B=100+60x+9x²
C=b²-10b²+25
E=(2-x)²+(2-x)(9-x)
2. Développer les expressions littérales suivantes :
A=(2x-5)²
B=(5x-3)(5x+3)
C=(-3x+5)²
D=(-6x+9)²
Exercice 24 – Calcul littéral : développer et factoriser.
A = (2x – 3)(2x + 3) – (3x + 1)(2x – 3)
1. Développer puis réduire A.
2. Factoriser A.
3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0
Exercice 25 – Problème classique.
On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².
1.Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :
D = (2x – 3)(7x + 1)
2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.
Exercice 26 – Développer, réduire et factoriser.
Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .
a) Développer et réduire E .
b) Factoriser E .
c) Calculer E pour .
Exercice 27 – Compléter les identités remarquables.
Compléter en utilisant les identités remarquables .
A= (3x+…)²=…+…+25
B= (2x-…)²=…-24x+…
C=(… … …)² = …-16y+16
D= 49a²+…+25 = (… … …)²
E = 4x²-…= (…-…)(…+1)
Exercice 28 – Identités remarquables.
Développer à l’aide des identités remarquables puis réduire.
A = (x + 5) ²
B = (3x – 7) ²
C = (x + 4) (x – 4)
D = (9b + 7) ²
E = (7x + 1) (7x – 1)
Exercice 29.
Factoriser à l’aide des identités remarquables.
A = x² + 6x + 9
B = 9x² – 12x + 4
C = y² – 9
D = 16a² – 81
E = 49a² +70a +25
F = 144 – 121a²
G = (2x + 5)² – 9
H = (2x + 1)² – (3x + 5)²
Exercice 30.
Utiliser l’identité remarquable pour calculer mentalement les expressions suivantes.
A = 102² B = 99×101 C = 99²
Exercice 31.
Sur ces figures, les longueurs sont exprimées en mètre.
1. Exprimer l’aire A en fonction de x .
Factoriser l’expression obtenue.
2. Exprimer l’aire B en fonction de x .
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?
Exercice 32.
On donne E = (2x+3)² – 16.
1. Montrer que E peut s’écrire 4x² + 12x – 7.
2. Calculer E pour : x = 2 ; x = 1.
3. Factoriser E.
Développer l’expression obtenue.
Quel est le résultat?
Exercice 33.
1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .
.
2. On considère l’expression :
a. Développer et réduire C .
b. Factoriser l’expression C .
c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .
Exercice 34.
1.a. Développer et réduire l’expression : D = (2x+5)(3x-1) .
b. Développer et réduire l’expression : E=(x-1)²+x²+(x+1)² .
Application : déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x-1), x et (x+1) dont la somme des carrés est 4 802 .
2.a. Factoriser l’expression : F=(x+3)²-(2x+1)(x+3) .
b. Factoriser l’expression : G=4x²-100 .
Application : déterminer un nombre positif dont le carré du double est égal à 100 .
Exercice 35.
On pose E=(4x-3)²+6x(4-x)-(x²+9).
a. Montrer que E est égal au carré de 3x .
b. Trouver les valeurs de x pour lesquelles E=144 .
c. Calculer la valeur de E pour
Exercice 36 – Programme de calcul .
On donne un programme de calcul :
- Choisir un nombre.
- Lui ajouter 4.
- Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
- Ajouter 4 à ce produit.
- Ecrire le résultat .
1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme
avec le nombre – 2 alors on obtient 0.
2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
3. On note x le nombre choisi
Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.
Donner le résultat sous forme développé.
Exercice 37 – Utilisation du tableur pour le calcul littéral.
Baptiste développe et réduit A.
Il obtient .
Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat.
1.Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ?
2.Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ?
3.Observer cette feuille de calcul. Que penser alors de la réponse de Baptiste ?Expliquer.
4.Développer et réduire l’expression initiale de A.
Exercice 38 – Problème ouvert de géométrie et compétences.
Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.
On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.
Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?
Exercice 39 – Problème ouvert sur l’aire d’un carré.
Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.
Détaillez votre méthode.
Exercice 40 – Problème d’une piscine.
Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .
Il a carrelé le bord de cette piscine .
Les longueurs sont exprimées en mètre .
1) Exprimer en fonction de l’aire
de la surface de la piscine .
2) Exprimer en fonction de l’aire
de la surface carrelée .
3) Développer et réduire l’expression obtenue pour .
4) Calculer les aires et
pour
.
Exercice 41 – Trois entiers consécutifs.
a) Choisir 3 nombres entiers consécutifs (qui se suivent).
Calculer le carré du nombre du milieu, puis soustraire à ce carré le produit des deux autres nombres.
b) Recommencer avec 3 autres nombres entiers consécutifs. Que constate-t-on ?
c) Démontrer cette conjecture.
Exercice 42 – Géométrie et calcul littéral.
1) Résoudre l’inéquation : et représenter les solutions sur une droite graduée.
2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,
ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.
a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :
b. Développer et réduire A.
c. Factoriser A.
d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0
e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .
Exercice 43 – Programme de calcul.
On donne le programme de calcul suivant :
- Choisir un nombre.
- Ajouter 1.
- Calculer le carré du résultat obtenu.
- Soustraire le carré du nombre de départ.
- Soustraire 1.
1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.
c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.
2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?
Démontrer cette conjecture.
Exercice 44 – Expression littérale qui ne s’annule pas.
Riyane affirme :
« Pour tout nombre entier N l’expression de est toujours différente de zéro ».
Exercice 45 – Aire d’une couronne.
Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à
Exercice 46 – Aire et identités remarquables.
1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .
2. Que remarque-t-on ?
Exercice 47 :
Développer puis réduire chaque expression.
Exercice 48 :
Développer et réduire l’expression suivante :
Exercice 49 :
Dans chaque cas, une seule réponse est exacte.
Recopier la bonne réponse.
a. Si l’on développe et réduit l’expression (x + 2)(3x-1),
on obtient :
ou
ou
b. La forme développée de est:
ou
ou
.
c. Une expression factorisée de est:
ou
ou
.
d. Une expression factorisée de est :
ou
ou
.
Exercice 50 :
a. Donner le résultat fourni par le programme de calcul si l’on choisit comme
nombre de départ :
-2 ; 5 puis 10.
b. Montrer que le résultat obtenu est toujours le carré d’un nombre entier.
Exercice 51 :
L’unité de longueur est le centimètre.
x désigne un nombre (x > 1).
a. Pour quelle valeur de x le périmètre du quadrilatère QUAD est-il 32 cm ?
b. Quelle est alors la nature quadrilatère QUAD ?
Exercice 52 :
AENT est un carré dont le périmètre est 56 cm.
PAE est un triangle isocèle en P.
a. Calculer AE.
b. Pour quelle longueur de [AP] le périmètre du pentagone PENTA est-il égal à 60 cm ? Justifier.
Exercice 53 :
Développer les expressions littérales suivantes :
Exercice 54 :
x désigne un nombre supérieur ou égal à 2.
ABCD est un carré et ABEF est un rectangle.
1. Exprimer en fonction de x;
a. la longueur AD ;
b. l’aire du carré ABCD ;
c. l’aire du rectangle ABEF ;
d. l’aire ‘ du rectangle ECDF.
2. a. Exprimer les aires et
et leur somme sous forme développée et réduite.
b. Vérifier que cette somme est égale à .
Exercice 55 :
Voici deux programmes de calcul.
a. Appliquer chaque programme aux nombres :
3 ; 10 et – 5 puis à un autre nombre choisi au hasard
Que constate-t-on ? Émettre une conjecture.
b. On note n le nombre choisi au départ.
Exprimer en fonction de n le résultat obtenu avec chaque programme.
Démontrer la conjecture émise à la question a.
Exercice 56 :
x désigne un nombre positif.
Voici un rectangle dont les côtés ont des longueurs variables.
a. Léa a construit le programme ci-dessous avec le logiciel Scratch.
Que représentent les variables l et L ?
b. Quel est le rôle du programme de Léa ?
c. Léa affirme :«.»
A-t-elle raison ? Expliquer.
d. Réaliser ce programme. Le tester en donnant à x la valeur 3, puis la valeur 10.
Exercice 57 :
Associer chaque expression de gauche à sa forme factorisée de droite.
Exercice 58 :
4) Calculer C pour .
Exercice 59 :
Développer à l’aide du modèle indiqué.
Carré d’une somme | Carré d’une différence
|
Exercice 60 :
On sait qu’en multipliant la somme de deux nombres par leur différence, on obtient :
Développer:
I=(x+8)(x-8) et J=(t-5)(t+5).
Exercice 61 :
Factoriser chaque expression avec une identité remarquable.
Exercice 62 :
Reconnaître une différence de deux carrés dans chaque expression, puis factoriser.
Exercice 63 :
Réduire chaque expression à l’aide d’une identité remarquable.
Exercice 64 :
Développer et réduire chaque expression.
Exercice 65 :
x désigne un nombre relatif.
En utilisant des identités remarquables, recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Exercice 66 :
Recopier et compléter à l’aide d’une identité remarquable.
a.
b.
c.
d.
Exercice 67 :
Exercice 68 :
- Rappeler les trois identités remarquables.
- On veut développer
:
- Laquelle va-t-on utiliser ? Préciser alors la valeur de a et de b.
- Quel est le développement de
?
Exercice 69 :
Compléter et terminer les développements :
a. ;
b.
Exercice 70 :
Même exercice que le précédent.
a.
b.
Exercice 71 :
Développer :
Exercice 72 :
Développer :
Exercice 73 :
Développer puis réduire :
Exercice 74 :
Indiquer la forme factorisée de ces identités remarquables développées :
Exercice 75 :
Factoriser les expressions suivantes :
Exercice 76 :
1) Développer puis réduire .
2) On pose .
3) Sans utiliser la calculatrice et en se servant de la question 1, trouver la valeur de D.
Exercice 77 :
On donne .
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser E.
3) Développer l’expression obtenue à la question 2.
Quel est le résultat
Exercice 78 :
On donne .
1) Montrer que E peut s ‘écrire .
2) Calculer E pour : ;
.
3) Factoriser E. Développer l’expression obtenue.
Quel est le résultat?
Exercice 79 :
- Réduire les expressions suivantes :
A = 3x – 8 + 4x + 5 | B = 3x² + 5x – 6 – 2x² –4x – 3 | C = 5x² – 7 – 9x² +x – 3x + 9 |
D = 4x² – (5x + x² – 6x) + 7x | E = 3x – (4 + 2x) + (x² + 7) | F = 3x² – (4x – 1) – (x² +5x) |
- Substituer à x sa valeur pour calculer chaque expression littérale :
A = 7x – 3
Pour x = 5 |
B = x² + x – 9
Pour x = -2 |
C = -4x² – 2x + 2
Pour x = -3 |
D = 2x – 7 + 3x + 1
Pour x = 4 |
E = (x – 3)²
Pour x = -4 |
F = (2x – 3)(6 – x²)
Pour x = 2 |
Exercice 80 :
- En utilisant l’identité « k(a + b) = ka + kb », développer les expressions suivantes :
A = 7(x + 4) | B = 4(3 – 2x) | C = -3(x + 7) |
D = -5(3x – 2) | E = -2x(5 + 4x) | F = 3x²(1 – 2x) |
- En utilisant l’identité « (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd », développer les expressions suivantes :
A = (x + 2)(x + 3) | B = (x – 7)(3x – 2) | C = (1 + 2x)(3 – x) |
D = (-7x + 6)(5 – x²) | E = (3x + 4)(-x + 1) | F = (3x² – 4)(2x + 5) |
- Écrire le carré sous forme d’un produit puis développer les expressions suivantes :
A = (x + 2)² | B = (1 + x)² | C = (2x + 1)² |
D = (3 + 2x)² | E = (3x + 2)² | F = (x² + 5)² |
- Écrire le carré sous forme d’un produit puis développer les expressions suivantes :
A = (x – 2)² | B = (x – 7)² | C = (2x + 5)² |
D = (-4x + 3)² | E = (3x – 2)² | F = (x² – 3)² |
- En utilisant l’identité « (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd », développer les expressions suivantes :
A = (x + 2)(x – 3) | B = (x – 7)(x + 7) | C = (2x – 5)(2x + 5) |
D = (3 – 4x)(3 + 4x) | E = (x² – 3x)(x² + 3x) | F = (2x² + 4)(2x² – 4) |
Exercice 81 :
En utilisant l’identité « ka + kb = k(a + b) », factoriser les expressions suivantes :
A = 3x + 3y | B = 5x + 15 | C = 3 + 3a | |
D = (2x + 1)(x + 4) + (2x + 1)(3x +2) | E = (x +7)² – (3x – 5)(x + 7) |
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