Calcul littéral : exercices en 3ème de maths corrigés en PDF

Mise à jour le 21 octobre 2020

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Des exercices sur le calcul littéral en 3ème et les identités remarquables , vous pouvez également vous entraîner en consultant une année d’exercices sur le calcul littéral au format PDF en troisième.

Exercice 1 – Développer avec les identités remarquables
Développer en utilisant les identités remarquable :

$a=(3x+5)^2\\b=(5+x)^2\\c=(8x+2)^2\\d=(x+1)^2\\e=(2-3x)^2\\f=(3x+1)(3x-1)$

Exercice 2 – Utilisation du tableur

On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .

a) Calculer E et F pour x = 4.

b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?

c) Avec un tableur :

On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de x inscrites en colonne A.

Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?

(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)

Exercice 3 – Développer,factoriser et résoudre
On considère l’expression .

1) Développer et réduire D.

2) Factoriser D.

3) Résoudre l’équation .

4) Calculer la valeur exacte de D quand $x=\sqrt{2}$ .

Exercice 4 – Développer puis réduire
Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :

$A = 2x(x + 3) \\B = -7y^2(-5- 2y^2) \\C = (x + 5)(x + 1) \\D = (2x - 5) (x + 4) \\E = 3x^2+2x+3-(4x^2+5x+9) \\F = (x + 4)(x - 6) + (-1 + x)(x - 7) \\G = -3(a^2 + 2) -(a -3)(2a + 7) \\H = 4 -(2x + 1)^2$

Exercice 5 – Développer les expressions littérales
Développer et réduire les expressions suivantes :

$A=5(x+2)\\B=7(x-3)+2x-1\\C=-4(2x-1)+(x+3)\\D=(x-5)(2x+1)\\E=(2x-1)(-3x+7)+4x^2-1\\F=8x+3-4(x-2)(x+2)+3x^2$

Exercice 6 – Développement à l’aide d’identités remarquables
Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:

a) (x-1)²= ?

b) (x+4)²= ?

c) (2x+1)²= ?

d) (7x-1)(7x+1)= ?

e) (4x-1)(3x+7)= ?

f) (-x+1)(3x-2)= ?

g) (1/2+x)²= ?

h) (x-4)²+(x+2)(x+3)= ?

i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²= ?

Exercice 7 – Factoriser et développer
1. Factoriser ces expressions :

A=36-25x²

B=100+60x+9x²

C=b²-10b²+25

E=(2-x)²+(2-x)(9-x)

2. Développer les expressions littérales suivantes :

A=(2x-5)²

B=(5x-3)(5x+3)

C=(-3x+5)²

D=(-6x+9)²

Exercice 8 – Développer, réduire et factoriser
Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .

a) Develloper et reduire E .

b) Factoriser E .

c) Calculer E pour $x=\frac{1}{2}$ .

Exercice 9 – Compléter les identités remarquables
Compléter en utilisant les identités remarquables .

A= (3x+…)²=…+…+25

B= (2x-…)²=…-24x+…

C=(… … …)² = …-16y+16

D= 49a²+…+25 = (… … …)²

E = 4x²-…= (…-…)(…+1)

Exercice 10 – Développer une expression littérale
On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)

1) Développer et réduire A .

2) Calculer la valeur exacte de A si $x=-5\sqrt{6}$ ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .

Exercice 11 – Identités remarquables

Développer à l’aide des identités remarquables puis réduire.

A = (x + 5) ²

B = (3x – 7) ²

C = (x + 4) (x – 4)

D = (9b + 7) ²

E = (7x + 1) (7x – 1)

Exercice 12

Factoriser à l’aide des identités remarquables.

A = x² + 6x + 9

B = 9x² – 12x + 4

C = y² – 9

D = 16a² – 81

E = 49a² +70a +25

F = 144 – 121a²

G = (2x + 5)² – 9

H = (2x + 1)² – (3x + 5)²

Exercice 13

Utiliser l’identité remarquable pour calculer mentalement les expressions suivantes.

A = 102² B = 99×101 C = 99²

Exercice 14

Sur ces figures, les longueurs sont exprimées en mètre.

1. Exprimer l’aire A en fonction de x .

Factoriser l’expression obtenue.

2. Exprimer l’aire B en fonction de x .

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?

Exercice 15

On donne E = (2x+3)² – 16.

1. Montrer que E peut s’écrire 4x² + 12x – 7.

2. Calculer E pour : x = 2 ; x = 1.

3. Factoriser E.

Développer l’expression obtenue.

Quel est le résultat?

Exercice 16

On considere l’expression :

1. Développer et réduire l’expression E .

2. Factoriser E .

3. Calculer la valeur de E pour x = – 2 .

Résoudre l’équation (3x+2)(5x-3)=0 .

Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?

Exercice 17

1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .

$A=9\times \frac{3}{2}-10\,\,,\,\,B=(\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{3})\times (\frac{-5}{2})$ .

2. On considère l’expression :

a. Développer et réduire C .

b. Factoriser l’expression C .

c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .

Exercice 18

1.a. Développer et réduire l’expression : D = (2x+5)(3x-1) .

b. Développer et réduire l’expression : E=(x-1)²+x²+(x+1)² .

Application : déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x-1), x et (x+1) dont la somme des carrés est 4 802 .

2.a. Factoriser l’expression : F=(x+3)²-(2x+1)(x+3) .

b. Factoriser l’expression : G=4x²-100 .

Application : déterminer un nombre positif dont le carré du double est égal à 100 .

Exercice 19

1. Factoriser :

a. 9-12x+4x² .

b. (3-2x)²-4 .

2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 .

Exercice 20

On pose E=(4x-3)²+6x(4-x)-(x²+9).

a. Montrer que E est égal au carré de 3x .

b. Trouver les valeurs de x pour lesquelles E=144 .

c. Calculer la valeur de E pour $x=\frac{\sqrt{3}}{3} .$

Exercice 21 – Programme de calcul
On donne un programme de calcul :

1. Choisir un nombre.

2. Lui ajouter 4.

3.Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

4. Ajouter 4 à ce produit.

5. Ecrire le résultat .

1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme

avec le nombre – 2 alors on obtient 0.

2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.

3. On note x le nombre choisi

Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.

Donner le résultat sous forme développé.

Exercice 22 – Utilisation du tableur pour le calcul littéral

Baptiste développe et réduit A.

Il obtient .

Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat.

1.Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ?
2.Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ?
3.Observer cette feuille de calcul. Que penser alors de la réponse de Baptiste ?Expliquer.
4.Développer et réduire l’expression initiale de A.

Exercice 23 – Factoriser les expressions
$A =(3x + 2)(5x-2) + (3x + 2)(x - 8) \\B =49x^2 + 56x + 16 \\C =4x^2 - 8x + 4 - (2x - 2)(-3x + 9)$

Exercice 24 – Problème ouvert de géométrie et compétences
Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.

On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.

Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?

Exercice 25 – Problème ouvert sur l’aire d’un carré
Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.

Détaillez votre méthode.

Exercice 26 – Problème d’une piscine
Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .

Il a carrelé le bord de cette piscine .

Les longueurs sont exprimées en mètre .

1) Exprimer en fonction de l’aire A_1 de la surface de la piscine .

2) Exprimer en fonction de l’aire A_2 de la surface carrelée .

3) Développer et réduire l’expression obtenue pour A_2 .

4) Calculer les aires A_1 et A_2 pour $x=2\,m$ .

Exercice 27 – Trois entiers consécutifs

a) Choisir 3 nombres entiers consécutifs (qui se suivent).

Calculer le carré du nombre du milieu, puis soustraire à ce carré le produit des deux autres nombres.

b) Recommencer avec 3 autres nombres entiers consécutifs. Que constate-t-on ?

c) Démontrer cette conjecture.

Exercice 28 – Géométrie et calcul littéral

1) Résoudre l’inéquation : $2x - 3 \geq\, x + 1$ et représenter les solutions sur une droite graduée.

2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,

ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.

a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :

b. Développer et réduire A.

c. Factoriser A.

d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0

e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .

Exercice 29 – Factoriser et identité remarquable
Factoriser les expressions littérales suivantes :

K = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1)

L = (x – 3)² – (x – 3)(4x + 1)

M = (x + 1)(2x – 5) + (2x – 5)²

Exercice 1 – Factoriser les expressions littérales
E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)

F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)

G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)

Exercice 1 – Factoriser les expressions
A = 13(x + 2) + 5(x + 2)

B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)

C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)

D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)

Exercice 30 – Programme de calcul

On donne le programme de calcul suivant :

– Choisir un nombre.

– Ajouter 1.

– Calculer le carré du résultat obtenu.

– Soustraire le carré du nombre de départ.

– Soustraire 1.

1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.

b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.

c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.

2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?

Démontrer cette conjecture.

Exercice 31 – Expression littérale qui ne s’annule pas
Riyanne affirme :

« Pour tout nombre entier N l’expression de est toujours différente de zero ».

Exercice 32 – Factorisations un peu plus complexes
Factoriser les expressions suivantes :

$E=\frac{x^2}{4}-\frac{25}{9}$

Exercice 33 – Aire d’une couronne
Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à

$A=\pi(R-r)(R+r)$

Exercice 34 – Développer les expressions littérales
$A = (x + 5)(x + 2)\\ B = (x + 1)(x - 3)\\ C = (2x + 3)(x + 4)\\ D = (2x + 1)(3x + 4)\\ E = (3x + 5)(3x -5)\\ F = (5 - 2x)(3 + 4x)$

Exercice 35 – Factoriser les expressions littérales
$A = 4x(x + 3) + 2(x + 3) \\B = (3x + 2) + (x + 4)(3x + 2) \\C = (3x-5)(x+1)+(x+1)(7x + 3) \\D = 3x(2 + x) + 4(2 + x) \\E = (2x-1)(x- 1) - 2(x - 1)\\ F = (5x + 2)(2x - 1)-(5x + 2)(5 - x)$

Exercice 36 – Développer et factoriser une expression
Développer l’ expression suivante :

1) E= (3x+2)² – (5-2x)(3x+2)

2) Factoriser E

3)Calculer la valeur de E pour x= – 2 .

Exercice 37 – Factoriser les expressions littérales
$m = (3x - 5)(2x + 1)-(3x - 5)(x + 4) \\n = (5x -2)(2x + 3) + (2x + 3)(7x + 2) \\p = (3x - 2)^2- (3x - 2)(5 - 2x) \\q = (8- 2x)^2 + (3 - x)(8 - 2x) \\r = (5 - x)(3x + 2) - (5 - x)^2 \\s = (2x - 3)^2 - (5x + 4)^2 \\t = (3x-1)^2 - (8x + 2)^2$

Exercice 38 – Calcul littéral et brevet des collèges
On considère l’expression :

1. Factoriser D.

2. Développer et réduire D.

3. Calculer D pour x = 1 .

Exercice 39 – Développer,réduire et factoriser
On considère l’expression :

1. Développer et réduire l’expression E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = – 2.

Exercice 40 – Calcul numérique
Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :

1. 101²

2. 103²

3. 98²

4. 101×99

Exercice 41 – Développer et réduire
Soit l’expression suivante :

1. Développer et réduire l’expression B.

2. Calculer l’expression B pour :

a. a=1; b. a=0,75; c. a=0 .

Exercice 42 – Identités remarquables
Développer à l’aide des identités remarquables

et réduire les expressions :

Exercice 43 – Aire et identités remarquables
1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .

2. Que remarque-t-on ?

Exercice 44 – Calcul littéral avec les identités remarquables
Développer et réduire les expressions suivantes :

Exercice 45 – Calcul littéral : développer et factoriser
A = (2x – 3)(2x + 3) – (3x + 1)(2x – 3)

1. Développer puis réduire A.

2. Factoriser A.

3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0

Exercice 46 – Problème classique
On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².

1. Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :

D = (2x – 3)(7x + 1)

2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.

Exercice 47 – Développer, réduire et identités remarquables
Développer et réduire les expressions suivantes :

Exercice 48 – Factorisation d’expressions littérales
Développer les expressions suivantes :

puis factoriser-les.

Corrigé de ces exercices sur le calcul littéral

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