Exercice 1 – Développer avec les identités remarquables.
Développer en utilisant les identités remarquables :
Exercice 2 – Développer une expression littérale.
On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)
1. Développer et réduire A .
2. Calculer la valeur exacte de A si ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .
Exercice 3 – Développer les expressions littérales.
Développer et réduire les expressions suivantes :
Exercice 4 – Développer puis réduire.
Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :
Exercice 5 – Calcul numérique.
Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :
1. 101²
2. 103²
3. 98²
4. 101×99
Exercice 6 – Développer les expressions littérales.
Développer les expressions littérales suivantes et les réduire.
Exercice 7 – Développement à l’aide d’identités remarquables.
Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:
a) (x-1)²
b) (x+4)²
c) (2x+1)²
d) (7x-1)(7x+1)
e) (4x-1)(3x+7)
f) (-x+1)(3x-2)
g) (1/2+x)²
h) (x-4)²+(x+2)(x+3)
i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²
Exercice 8 – Développer, réduire et identités remarquables.
Développer et réduire les expressions suivantes :
Exercice 9 – Identités remarquables.
Développer à l’aide des identités remarquables
et réduire les expressions :
Exercice 10 – Factoriser les expressions littérales.
Factoriser ces expression algébriques.
Exercice 11 – Factoriser les expressions.
Factoriser ces expression littérales.
Exercice 12 – Calcul littéral et brevet des collèges.
On considère l’expression :
1. Factoriser D.
2. Développer et réduire D.
3. Calculer D pour x = 1 .
Exercice 13 – Développer, réduire et factoriser.
On considère l’expression :
1. Développer et réduire l’expression E.
2. Factoriser E.
3. Calculer E pour x = – 2.
Exercice 14 – Développer et réduire.
Soit l’expression suivante :
1. Développer et réduire l’expression B.
2. Calculer l’expression B pour :
a. a=1; b. a=0,75; c. a=0 .
Exercice 15 – Factoriser et identité remarquable.
Factoriser les expressions littérales suivantes :
K = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1)
L = (x – 3)² – (x – 3)(4x + 1)
M = (x + 1)(2x – 5) + (2x – 5)²
Exercice 16 – Factoriser les expressions littérales.
E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)
F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)
G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)
Exercice 17 – Factoriser les expressions.
A = 13(x + 2) + 5(x + 2)
B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)
C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)
D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)
Exercice 18 – Factorisations un peu plus complexes.
Factoriser les expressions suivantes :
Exercice 19 – Factorisation d’expressions littérales.
Développer les expressions suivantes :
puis factoriser-les.
Exercice 20.
1. Factoriser :
a. 9-12x+4x² .
b. (3-2x)²-4 .
2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 .
Exercice 21 – Utilisation du tableur.
On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .
a) Calculer E et F pour x = 4.
b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?
c) Avec un tableur :
On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de x inscrites en colonne A.
Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?
(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)
Exercice 22 – Développer, factoriser et résoudre.
On considère l’expression .
1) Développer et réduire D.
2) Factoriser D.
3) Résoudre l’équation .
4) Calculer la valeur exacte de D quand .
Exercice 23 – Factoriser et développer.
1. Factoriser ces expressions :
A=36-25x²
B=100+60x+9x²
C=b²-10b²+25
E=(2-x)²+(2-x)(9-x)
2. Développer les expressions littérales suivantes :
A=(2x-5)²
B=(5x-3)(5x+3)
C=(-3x+5)²
D=(-6x+9)²
Exercice 24 – Calcul littéral : développer et factoriser.
A = (2x – 3)(2x + 3) – (3x + 1)(2x – 3)
1. Développer puis réduire A.
2. Factoriser A.
3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0
Exercice 25 – Problème classique.
On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².
1.Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :
D = (2x – 3)(7x + 1)
2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.
Exercice 26 – Développer, réduire et factoriser.
Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .
a) Développer et réduire E .
b) Factoriser E .
c) Calculer E pour .
Exercice 27 – Compléter les identités remarquables.
Compléter en utilisant les identités remarquables .
A= (3x+…)²=…+…+25
B= (2x-…)²=…-24x+…
C=(… … …)² = …-16y+16
D= 49a²+…+25 = (… … …)²
E = 4x²-…= (…-…)(…+1)
Exercice 28 – Identités remarquables.
Développer à l’aide des identités remarquables puis réduire.
A = (x + 5) ²
B = (3x – 7) ²
C = (x + 4) (x – 4)
D = (9b + 7) ²
E = (7x + 1) (7x – 1)
Exercice 29.
Factoriser à l’aide des identités remarquables.
A = x² + 6x + 9
B = 9x² – 12x + 4
C = y² – 9
D = 16a² – 81
E = 49a² +70a +25
F = 144 – 121a²
G = (2x + 5)² – 9
H = (2x + 1)² – (3x + 5)²
Exercice 30.
Utiliser l’identité remarquable pour calculer mentalement les expressions suivantes.
A = 102² B = 99×101 C = 99²
Exercice 31.
Sur ces figures, les longueurs sont exprimées en mètre.
1. Exprimer l’aire A en fonction de x .
Factoriser l’expression obtenue.
2. Exprimer l’aire B en fonction de x .
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?
Exercice 32.
On donne E = (2x+3)² – 16.
1. Montrer que E peut s’écrire 4x² + 12x – 7.
2. Calculer E pour : x = 2 ; x = 1.
3. Factoriser E.
Développer l’expression obtenue.
Quel est le résultat?
Exercice 33.
1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .
.
2. On considère l’expression :
a. Développer et réduire C .
b. Factoriser l’expression C .
c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .
Exercice 34.
1.a. Développer et réduire l’expression : D = (2x+5)(3x-1) .
b. Développer et réduire l’expression : E=(x-1)²+x²+(x+1)² .
Application : déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x-1), x et (x+1) dont la somme des carrés est 4 802 .
2.a. Factoriser l’expression : F=(x+3)²-(2x+1)(x+3) .
b. Factoriser l’expression : G=4x²-100 .
Application : déterminer un nombre positif dont le carré du double est égal à 100 .
Exercice 35.
On pose E=(4x-3)²+6x(4-x)-(x²+9).
a. Montrer que E est égal au carré de 3x .
b. Trouver les valeurs de x pour lesquelles E=144 .
c. Calculer la valeur de E pour
Exercice 36 – Programme de calcul .
On donne un programme de calcul :
- Choisir un nombre.
- Lui ajouter 4.
- Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
- Ajouter 4 à ce produit.
- Ecrire le résultat .
1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme
avec le nombre – 2 alors on obtient 0.
2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
3. On note x le nombre choisi
Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.
Donner le résultat sous forme développé.
Exercice 37 – Utilisation du tableur pour le calcul littéral.
Baptiste développe et réduit A.
Il obtient .
Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat.
1.Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ?
2.Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ?
3.Observer cette feuille de calcul. Que penser alors de la réponse de Baptiste ?Expliquer.
4.Développer et réduire l’expression initiale de A.
Exercice 38 – Problème ouvert de géométrie et compétences.
Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.
On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.
Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?
Exercice 39 – Problème ouvert sur l’aire d’un carré.
Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.
Détaillez votre méthode.
Exercice 40 – Problème d’une piscine.
Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .
Il a carrelé le bord de cette piscine .
Les longueurs sont exprimées en mètre .
1) Exprimer en fonction de l’aire de la surface de la piscine .
2) Exprimer en fonction de l’aire de la surface carrelée .
3) Développer et réduire l’expression obtenue pour .
4) Calculer les aires et pour .
Exercice 41 – Trois entiers consécutifs.
a) Choisir 3 nombres entiers consécutifs (qui se suivent).
Calculer le carré du nombre du milieu, puis soustraire à ce carré le produit des deux autres nombres.
b) Recommencer avec 3 autres nombres entiers consécutifs. Que constate-t-on ?
c) Démontrer cette conjecture.
Exercice 42 – Géométrie et calcul littéral.
1) Résoudre l’inéquation : et représenter les solutions sur une droite graduée.
2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,
ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.
a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :
b. Développer et réduire A.
c. Factoriser A.
d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0
e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .
Exercice 43 – Programme de calcul.
On donne le programme de calcul suivant :
- Choisir un nombre.
- Ajouter 1.
- Calculer le carré du résultat obtenu.
- Soustraire le carré du nombre de départ.
- Soustraire 1.
1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.
c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.
2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?
Démontrer cette conjecture.
Exercice 44 – Expression littérale qui ne s’annule pas.
Riyane affirme :
« Pour tout nombre entier N l’expression de est toujours différente de zéro ».
Exercice 45 – Aire d’une couronne.
Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à
Exercice 46 – Aire et identités remarquables.
1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .
2. Que remarque-t-on ?
