Exercices maths 3ème

Calcul littéral : exercices en 3ème de maths corrigés en PDF

Des exercices sur le calcul littéral en 3ème  et les identités remarquables , vous pouvez également vous entraîner en consultant une année d’exercices sur le calcul littéral au format PDF en troisième.

Développer avec les identités remarquables
Développer en utilisant les identités remarquable :

a=(3x+5)^2\\b=(5+x)^2\\c=(8x+2)^2\\d=(x+1)^2\\e=(2-3x)^2\\f=(3x+1)(3x-1)

Corrigé de cet exercice

Utilisation du tableur

On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .
a) Calculer E et F pour x = 4.
b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?
c) Avec un tableur :
On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E  pour les valeurs de x inscrites en colonne A.
Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?
(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)
Tableur et calcul littéral

Corrigé de cet exercice

Développer,factoriser et résoudre
On considère l’expression D=(2x-7)^2-36x^2.

1) Développer et réduire D.

2) Factoriser D.

3) Résoudre l’équation (8x-7)(-7-4x)=0 .

4) Calculer la valeur exacte de D quand x=\sqrt{2} .

Corrigé de cet exercice

Développer puis réduire
Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :

A = 2x(x + 3) \\B = -7y^2(-5- 2y^2) \\C = (x + 5)(x + 1) \\D = (2x - 5) (x + 4) \\E = 3x^2+2x+3-(4x^2+5x+9) \\F = (x + 4)(x - 6) + (-1 + x)(x - 7) \\G = -3(a^2 + 2) -(a -3)(2a + 7) \\H = 4 -(2x + 1)^2

Corrigé de cet exercice

Développer les expressions littérales
Développer et réduire les expressions suivantes :

A=5(x+2)\\B=7(x-3)+2x-1\\C=-4(2x-1)+(x+3)\\D=(x-5)(2x+1)\\E=(2x-1)(-3x+7)+4x^2-1\\F=8x+3-4(x-2)(x+2)+3x^2

Corrigé de cet exercice

Exercices sur le calcul littéral série 2 en 3ème et les identités remarquables. Des contenus variés corrigés en troisième et à télécharger et imprimer au format PDF.

Développement à l’aide d’identités remarquables
Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:

a) (x-1)²= ?

b) (x+4)²= ?

c) (2x+1)²= ?

d) (7x-1)(7x+1)= ?

e) (4x-1)(3x+7)= ?

f) (-x+1)(3x-2)= ?

g) (1/2+x)²= ?

h) (x-4)²+(x+2)(x+3)= ?

i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²= ?

Corrigé de cet exercice

Factoriser et développer
1. Factoriser ces expressions :

A=36-25x²

B=100+60x+9x²

C=b²-10b²+25

E=(2-x)²+(2-x)(9-x)

2. Développer les expressions littérales suivantes :

A=(2x-5)²

B=(5x-3)(5x+3)

C=(-3x+5)²

D=(-6x+9)²

Corrigé de cet exercice

Développer, réduire et factoriser
Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .

a) Develloper et reduire E .

b) Factoriser E .

c) Calculer E pour x=\frac{1}{2} .

Corrigé de cet exercice

Compléter les identités remarquables
Compléter en utilisant les identités remarquables .

A= (3x+…)²=…+…+25

B= (2x-…)²=…-24x+…

C=(… … …)² = …-16y+16

D= 49a²+…+25 = (… … …)²

E = 4x²-…= (…-…)(…+1)

Corrigé de cet exercice

Développer une expression littérale
On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)

1) Développer et réduire A .

2) Calculer la valeur exacte de A si x=-5\sqrt{6} ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .

Corrigé de cet exercice

La série 3 des exercices sur le calcul littéral pour le niveau troisème.Développer ou factoriser une expression algébrique, tous ces exercices sont corrigés.

Identités remarquables

Exercice 1 :

Développer à l’aide des identités remarquables puis réduire.

A = (x + 5) ²

B = (3x – 7) ²

C = (x + 4) (x – 4)

D = (9b + 7) ²

E = (7x + 1) (7x – 1)

Exercice 2 :

Factoriser à l’aide des identités remarquables.

A = x² + 6x + 9

B = 9x² – 12x + 4

C = y² – 9

D = 16a² – 81

E = 49a² +70a +25

F = 144 – 121a²

G = (2x + 5)² – 9

H = (2x + 1)² – (3x + 5)²

Exercice 3 :

Utiliser l’identité remarquable pour calculer mentalement les expressions suivantes.

A = 102² B = 99×101 C = 99²

Exercice 4 :

Sur ces figures, les longueurs sont exprimées en mètre.

1. Exprimer l’aire A en fonction de x .

Factoriser l’expression obtenue.

2. Exprimer l’aire B en fonction de x .

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?

Exercice 5:

On donne E = (2x+3)² – 16.

1. Montrer que E peut s ‘écrire 4x² + 12x – 7.

2. Calculer E pour : x = 2 ; x = 1.

3. Factoriser E.

Développer l’expression obtenue.

Quel est le résultat?

Corrigé de cet exercice

La série 4 des exercices sur le calcul littéral et les identités remarquables pour le niveau troisième.Développer puis factoriser une expression et également des programmes de calcul ou l’utilisation du tableur.

Exercice 1 :

On considere l’expression :

 E=(3x+2)^2-(5-2x)(3x+2) .

1. Développer et réduire l’expression E .

2. Factoriser E .

3. Calculer la valeur de E pour x = – 2 .

Résoudre l’équation (3x+2)(5x-3)=0 .

Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?

Exercice 2 :

1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .

 A=9\times \frac{3}{2}-10\,\,,\,\,B=(\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{3})\times (\frac{-5}{2}) .

2. On considère l’expression : C=(2x-5)^2-(2x-5)(3x-7) .

a. Développer et réduire C .

b. Factoriser l’expression C .

c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .

Exercice 3 :

1.a. Développer et réduire l’expression : D = (2x+5)(3x-1) .

b. Développer et réduire l’expression : E=(x-1)²+x²+(x+1)² .

Application : déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x-1), x et (x+1) dont la somme des carrés est 4 802 .

2.a. Factoriser l’expression : F=(x+3)²-(2x+1)(x+3) .

b. Factoriser l’expression : G=4x²-100 .

Application : déterminer un nombre positif dont le carré du double est égal à 100 .

Exercice 4 :

1. Factoriser :

a. 9-12x+4x² .

b. (3-2x)²-4 .

2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 .

Exercice 5 :

On pose E=(4x-3)²+6x(4-x)-(x²+9).

a. Montrer que E est égal au carré de 3x .

b. Trouver les valeurs de x pour lesquelles E=144 .

c. Calculer la valeur de E pour  x=\frac{\sqrt{3}}{3} .

Corrigé de cet exercice

La série 5 sur les identités remarquables et le calcul littéral en 3ème, on retrouvera également les notions de simple distributivité et double distributivité en troisième avec un document à télécharger et à imprimer librement en PDF.
Programme de calcul
On donne un programme de calcul :

1. Choisir un nombre.

2. Lui ajouter 4.

3.Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

4. Ajouter 4 à ce produit.

5. Ecrire le résultat .

1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme

avec le nombre – 2 alors on obtient 0.

2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.

3. On note x le nombre choisi

Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.

Donner le résultat sous forme développé.

Corrigé de cet exercice

Utilisation du tableur pour le calcul littéral
A=(2x+1)^2-3(7-5x)

Baptiste développe et réduit A.

Il obtient  A=4x^2-11x-20.

Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat.

1.Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ?
2.Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ?
3.Observer cette feuille de calcul. Que penser alors de la réponse de Baptiste ?Expliquer.
4.Développer et réduire l’expression initiale de A.

Calcul littéral et utilisation du tableur
Factoriser les expressions
A =(3x + 2)(5x-2) + (3x + 2)(x - 8) \\B =49x^2 + 56x + 16 \\C =4x^2 - 8x + 4 - (2x - 2)(-3x + 9)

Corrigé de cet exercice

Probleme ouvert de géometrie et compétences
Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.

On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.

problème ouvert de géométrie   Triangle et calcul littéral

Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?

Corrigé de cet exercice

Problème ouvert sur l’aire d’un carré
Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.

Détaillez votre méthode.

Carré

Corrigé de cet exercice

Problème d’une piscine
Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .

Il a carrelé le bord de cette piscine .

Les longueurs sont exprimées en mètre .

1) Exprimer en fonction de x l’aire A_1 de la surface de la piscine .

2) Exprimer en fonction de x l’aire A_2 de la surface carrelée .

3) Développer et réduire l’expression obtenue pour A_2 .

4) Calculer les aires A_1 et A_2 pour x=2\,m .

Piscine et calcul littéral

Corrigé de cet exercice

La série 6 des exercices et problèmes de maths sur le calcul littéral en 3ème. Développer, factoriser des expressions littérales en utilisant les propriétés de la simple et double distributivité et les identités remarquables en troisième.

Trois entiers consécutifs

a) Choisir 3 nombres entiers consécutifs (qui se suivent).
Calculer le carré du nombre du milieu, puis soustraire à ce carré le produit des deux autres nombres.
b) Recommencer avec 3 autres nombres entiers consécutifs. Que constate-t-on ?
c) Démontrer cette conjecture.

Corrigé de cet exercice

Géométrie et calcul littéral

1) Résoudre l’inéquation : 2x - 3 \geq\, x + 1 et représenter les solutions sur une droite graduée.
2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,
 ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.
a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :
A = (2x-3)^2 - (2x - 3)(x + 1)
b. Développer et réduire A.
c. Factoriser A.
d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0
e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .
rectangle

Factoriser et identité remarquable
Factoriser les expressions littérales suivantes :

K = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1)

L = (x – 3)² – (x – 3)(4x + 1)
M = (x + 1)(2x – 5) + (2x – 5)²

Corrigé de cet exercice

Factoriser les expressions littérales
E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)

F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)
G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)

Corrigé de cet exercice

Factoriser les expressions
A = 13(x + 2) + 5(x + 2)

B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)
C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)
D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)

Corrigé de cet exercice

Programme de calcul

On donne le programme de calcul suivant :
– Choisir un nombre.
– Ajouter 1.
– Calculer le carré du résultat obtenu.
– Soustraire le carré du nombre de départ.
– Soustraire 1.
1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.
c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.
2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?
Démontrer cette conjecture.

Corrigé de cet exercice

La série 7 des exercices sur le calcul littéral en 3ème en utilisant la simple et double distributivité ainsi que les identités remarquables.

Expression littérale qui ne s’annule pas
Riyanne affirme :

« Pour tout nombre entier N l’expression de n^2-4n+144 est toujours différente de zero ».

bulle

Corrigé de cet exercice

Factorisations un peu plus complexes
Factoriser les expressions suivantes :

A=(2x+4)(x+1)+(x+2)(9x+7)

B=5(1-x)+2x(x-1)

C=(x+4)^2-(5+2x)^2

D=3x^2+12x+12

E=\frac{x^2}{4}-\frac{25}{9}

Corrigé de cet exercice

Aire d’une couronne
Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à

A=\pi(R-r)(R+r)

couronne

Corrigé de cet exercice

Développer les expressions littérales
A = (x + 5)(x + 2)\\ B = (x + 1)(x - 3)\\ C = (2x + 3)(x + 4)\\ D = (2x + 1)(3x + 4)\\ E = (3x + 5)(3x -5)\\ F = (5 - 2x)(3 + 4x)

Corrigé de cet exercice

Factoriser les expressions littérales
A = 4x(x + 3) + 2(x + 3) \\B = (3x + 2) + (x + 4)(3x + 2) \\C = (3x-5)(x+1)+(x+1)(7x + 3) \\D = 3x(2 + x) + 4(2 + x) \\E = (2x-1)(x- 1) - 2(x - 1)\\ F = (5x + 2)(2x - 1)-(5x + 2)(5 - x)

Corrigé de cet exercice

Développer et factoriser une expression
Développer l’ expression suivante :

1) E= (3x+2)² – (5-2x)(3x+2)

2) Factoriser E

3)Calculer la valeur de E pour x= – 2 .

Corrigé de cet exercice

Exercices sur le calcul littéral en 3ème et les identités remarquables.Ces exercices corrigés en troisième sont à télécharger en PDF ou à imprimer librement.

Factoriser les expressions littérales
m = (3x - 5)(2x + 1)-(3x - 5)(x + 4) \\n = (5x -2)(2x + 3) + (2x + 3)(7x + 2) \\p = (3x - 2)^2- (3x - 2)(5 - 2x) \\q = (8- 2x)^2 + (3 - x)(8 - 2x) \\r = (5 - x)(3x + 2) - (5 - x)^2 \\s = (2x - 3)^2 - (5x + 4)^2 \\t = (3x-1)^2 - (8x + 2)^2

Corrigé de cet exercice

Calcul littéral et brevet des collèges
On considère l’expression :

D=(x-2)^2-2(x-2)

1. Factoriser D.

2. Développer et réduire D.

3. Calculer D pour x = 1 .

Corrigé de cet exercice

Développer,réduire et factoriser
On considère l’expression :

E=(3x+2)^2-(5-2x)(3x+2)

1. Développer et réduire l’expression E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = – 2.

Corrigé de cet exercice

Calcul numérique
Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :

1.  101²

2. 103²

3. 98²

4. 101×99

Corrigé de cet exercice

Développer et réduire
Soit l’expression suivante :

B=(4a-3)(4a+3)-(3a-5)^2

1. Développer et réduire l’expression B.

2. Calculer l’expression B pour :

a. a=1; b. a=0,75; c. a=0 .

Corrigé de cet exercice

Identités remarquables
Développer à l’aide des identités remarquables

et réduire les expressions :

A=(y+3)^2

B=(1+t)^2

C=(7-y)^2

D=(3x-10)^2

E=(7-2y)(7+2y)

F=(7a+4)^2

Corrigé de cet exercice

Aire et identites remarquables
1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .

Géométrie et calcul littéral

2. Que remarque-t-on ?

Corrigé de cet exercice

La série 9 des exercices de maths sur le calcul littéral et les identités remarquables.Ces fiches d’exercices sont totalement corrigées et à télécharger en PDF.

Calcul littéral avec les identités remarquables
Développer et réduire les expressions suivantes :

A=12x^2+(4x+5)^2

B=7x-(6x+2)^2

C=-16x^2-(4x+1)(4x-1)

D=(6x-4)^2+(2x-6)^2

Corrigé de cet exercice

Calcul littéral : développer et factoriser
A = (2x – 3)(2x + 3) – (3x + 1)(2x – 3)

1.         Développer puis réduire A.

2.         Factoriser A.

3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0

Corrigé de cet exercice

Problème classique
On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².

1. Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :

D = (2x – 3)(7x + 1)

2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.

Corrigé de cet exercice

Développer, réduire et identités remarquables
Développer et réduire les expressions suivantes :

A=12x^2+(4x+5)^2

B=7x-(6x+2)^2

C=-16x^2-(4x-1)(4x+1)

D=(6x-4)^2+(2x-6)^2

Corrigé de cet exercice

Factorisation d’expressions littérales
Développer les expressions suivantes :

I=25x^2-9+(5x-3)(7x+8)

J=9-48x+64x^2-(6+2x)(3-8x)

K=100x^2-25-(20x+10)(2x-4)

L=(2x-3)(4x+2)+(4x+2)(7x-8)

puis factoriser-les.

Corrigé de cet exercice


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