Calcul littéral : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF.

Le calcul littéral à travers des exercices de maths en 3ème corrigés et les identités remarquables. L’élève devra être capable de développer et factoriser des expressions algébriques et étudier des programmes de calculs.

Exercice 1 – Développer avec les identités remarquables.
Développer en utilisant les identités remarquables :

$a=(3x+5)^2\\b=(5+x)^2\\c=(8x+2)^2\\d=(x+1)^2\\e=(2-3x)^2\\f=(3x+1)(3x-1)$

Exercice 2 – Développer une expression littérale.
On donne A = (3x-5) (6-4x)-5(8-6x)

1. Développer et réduire A .

2. Calculer la valeur exacte de A si $x=-5\sqrt{6}$ ; donner ensuite la valeur arrondie au centième .

Exercice 3 – Développer les expressions littérales.
Développer et réduire les expressions suivantes :

$A=5(x+2)\\B=7(x-3)+2x-1\\C=-4(2x-1)+(x+3)\\D=(x-5)(2x+1)\\E=(2x-1)(-3x+7)+4x^2-1\\F=8x+3-4(x-2)(x+2)+3x^2$

Exercice 4 – Développer puis réduire.
Développer, puis réduire, si possible, chaque expression :

$A = 2x(x + 3) \\B = -7y^2(-5- 2y^2) \\C = (x + 5)(x + 1) \\D = (2x - 5) (x + 4) \\E = 3x^2+2x+3-(4x^2+5x+9) \\F = (x + 4)(x - 6) + (-1 + x)(x - 7) \\G = -3(a^2 + 2) -(a -3)(2a + 7) \\H = 4 -(2x + 1)^2$

Exercice 5 – Calcul numérique.
Calculer sans calculatrice et sans poser d’opérations :

1. 101²

2. 103²

3. 98²

4. 101×99

Exercice 6 – Développer les expressions littérales.
Développer les expressions littérales suivantes et les réduire.

$A = (x + 5)(x + 2)\\ B = (x + 1)(x - 3)\\ C = (2x + 3)(x + 4)\\ D = (2x + 1)(3x + 4)\\ E = (3x + 5)(3x -5)\\ F = (5 - 2x)(3 + 4x)$

Exercice 7 – Développement à l’aide d’identités remarquables.
Développer ces expressions littérales et détailler toutes les étapes:

a) (x-1)²

b) (x+4)²

c) (2x+1)²

d) (7x-1)(7x+1)

e) (4x-1)(3x+7)

f) (-x+1)(3x-2)

g) (1/2+x)²

h) (x-4)²+(x+2)(x+3)

i) (5x-3)(2x+1)-(x+1)²

Exercice 8 – Développer, réduire et identités remarquables.
Développer et réduire les expressions suivantes :

Exercice 9 – Identités remarquables.
Développer à l’aide des identités remarquables

et réduire les expressions :

Exercice 10 – Factoriser les expressions littérales.

Factoriser ces expression algébriques.

$m = (3x - 5)(2x + 1)-(3x - 5)(x + 4) \\n = (5x -2)(2x + 3) + (2x + 3)(7x + 2) \\p = (3x - 2)^2- (3x - 2)(5 - 2x) \\q = (8- 2x)^2 + (3 - x)(8 - 2x) \\r = (5 - x)(3x + 2) - (5 - x)^2 \\s = (2x - 3)^2 - (5x + 4)^2 \\t = (3x-1)^2 - (8x + 2)^2$

Exercice 11 – Factoriser les expressions.
Factoriser ces expression littérales.

$A =(3x + 2)(5x-2) + (3x + 2)(x - 8) \\B =49x^2 + 56x + 16 \\C =4x^2 - 8x + 4 - (2x - 2)(-3x + 9)$

Exercice 12 – Calcul littéral et brevet des collèges.
On considère l’expression :

1. Factoriser D.

2. Développer et réduire D.

3. Calculer D pour x = 1 .

Exercice 13 – Développer, réduire et factoriser.

On considère l’expression :

1. Développer et réduire l’expression E.

2. Factoriser E.

3. Calculer E pour x = – 2.

Exercice 14 – Développer et réduire.
Soit l’expression suivante :

1. Développer et réduire l’expression B.

2. Calculer l’expression B pour :

a. a=1; b. a=0,75; c. a=0 .

Exercice 15 – Factoriser et identité remarquable.

Factoriser les expressions littérales suivantes :

K = (x + 1)² + (x + 1)(3x + 1)
L = (x – 3)² – (x – 3)(4x + 1)
M = (x + 1)(2x – 5) + (2x – 5)²

Exercice 16 – Factoriser les expressions littérales.
E = (x – 3)(2x + 1) + 7(2x + 1)
F = (x + 1)(x + 2) – 5(x + 2)
G = (3 – x)(4x + 1) – 8(4x + 1)

Exercice 17 – Factoriser les expressions.

A = 13(x + 2) + 5(x + 2)
B = 3x(x + 2) – 5(x + 2)
C = 4(x + 3) + 9x(x + 3)
D = 7x(3x + 1) – 10x(3x + 1)

Exercice 18 – Factorisations un peu plus complexes.

Factoriser les expressions suivantes :

$E=\frac{x^2}{4}-\frac{25}{9}$

Exercice 19 – Factorisation d’expressions littérales.
Développer les expressions suivantes :

puis factoriser-les.

Exercice 20.

1. Factoriser :

a. 9-12x+4x² .

b. (3-2x)²-4 .

2. En déduire une factorisation de : E = (9-12x+4x²)-4 .

Voir Exercices 11 à 20...

Exercice 21 – Utilisation du tableur.

On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .

a) Calculer E et F pour x = 4.

b) Développer F. Les résultats obtenus à la question a) sont−ils surprenants ?

c) Avec un tableur :

On veut calculer en colonne B les valeurs prises par l’expression E pour les valeurs de x inscrites en colonne A.

Quelle formule faut-il rentrer dans la cellule B2 pour faire effectuer le calcul souhaité ?
(la formule devra pouvoir être étendue aux cellules situées en dessous)

Exercice 22 – Développer, factoriser et résoudre.

On considère l’expression .

1) Développer et réduire D.

2) Factoriser D.

3) Résoudre l’équation .

4) Calculer la valeur exacte de D quand $x=\sqrt{2}$ .

Exercice 23 – Factoriser et développer.
1. Factoriser ces expressions :

A=36-25x²

B=100+60x+9x²

C=b²-10b²+25

E=(2-x)²+(2-x)(9-x)

2. Développer les expressions littérales suivantes :

A=(2x-5)²

B=(5x-3)(5x+3)

C=(-3x+5)²

D=(-6x+9)²

Exercice 24 – Calcul littéral : développer et factoriser.

A = (2x – 3)(2x + 3) – (3x + 1)(2x – 3)

1. Développer puis réduire A.

2. Factoriser A.

3. Résoudre l’équation : (2x – 3)(-x + 2) = 0

Exercice 25 – Problème classique.
On donne : D = (2x – 3)(5x + 4) + (2x – 3)².

1.Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s’écrire :

D = (2x – 3)(7x + 1)

2. Résoudre l’équation : (2x – 3)(7x + 1) = 0.

Exercice 26 – Développer, réduire et factoriser.

Soit E=(3x+2)²-(3x+2)(x+7) .

a) Développer et réduire E .

b) Factoriser E .

c) Calculer E pour $x=\frac{1}{2}$ .

Exercice 27 – Compléter les identités remarquables.

Compléter en utilisant les identités remarquables .

A= (3x+…)²=…+…+25

B= (2x-…)²=…-24x+…

C=(… … …)² = …-16y+16

D= 49a²+…+25 = (… … …)²

E = 4x²-…= (…-…)(…+1)

Exercice 28 – Identités remarquables.

Développer à l’aide des identités remarquables puis réduire.

A = (x + 5) ²

B = (3x – 7) ²

C = (x + 4) (x – 4)

D = (9b + 7) ²

E = (7x + 1) (7x – 1)

Exercice 29.

Factoriser à l’aide des identités remarquables.

A = x² + 6x + 9

B = 9x² – 12x + 4

C = y² – 9

D = 16a² – 81

E = 49a² +70a +25

F = 144 – 121a²

G = (2x + 5)² – 9

H = (2x + 1)² – (3x + 5)²

Exercice 30.

Utiliser l’identité remarquable pour calculer mentalement les expressions suivantes.

A = 102² B = 99×101 C = 99²

Voir Exercices 21 à 30...

Exercice 31.

Sur ces figures, les longueurs sont exprimées en mètre.

1. Exprimer l’aire A en fonction de x .

Factoriser l’expression obtenue.

2. Exprimer l’aire B en fonction de x .

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux aires sont-elles égales ?

Exercice 32.

On donne E = (2x+3)² – 16.

1. Montrer que E peut s’écrire 4x² + 12x – 7.

2. Calculer E pour : x = 2 ; x = 1.

3. Factoriser E.

Développer l’expression obtenue.

Quel est le résultat?

Exercice 33.

1. Calculer A et B en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles .

$A=9\times \frac{3}{2}-10\,\,,\,\,B=(\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{3})\times (\frac{-5}{2})$ .

2. On considère l’expression :

a. Développer et réduire C .

b. Factoriser l’expression C .

c. résoudre l’équation : (2x-5)(2-x)=0 .

Exercice 34.

1.a. Développer et réduire l’expression : D = (2x+5)(3x-1) .

b. Développer et réduire l’expression : E=(x-1)²+x²+(x+1)² .

Application : déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x-1), x et (x+1) dont la somme des carrés est 4 802 .

2.a. Factoriser l’expression : F=(x+3)²-(2x+1)(x+3) .

b. Factoriser l’expression : G=4x²-100 .

Application : déterminer un nombre positif dont le carré du double est égal à 100 .

Exercice 35.

On pose E=(4x-3)²+6x(4-x)-(x²+9).

a. Montrer que E est égal au carré de 3x .

b. Trouver les valeurs de x pour lesquelles E=144 .

c. Calculer la valeur de E pour $x=\frac{\sqrt{3}}{3} .$

Exercice 36 – Programme de calcul .

On donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.
Lui ajouter 4.
Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
Ajouter 4 à ce produit.
Ecrire le résultat .

1. Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme

avec le nombre – 2 alors on obtient 0.

2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.

3. On note x le nombre choisi

Quelle est l’expression littérale obtenue en effectuant ce programme.

Donner le résultat sous forme développé.

Exercice 37 – Utilisation du tableur pour le calcul littéral.

Baptiste développe et réduit A.

Il obtient .

Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat.

1.Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ?
2.Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ?
3.Observer cette feuille de calcul. Que penser alors de la réponse de Baptiste ?Expliquer.
4.Développer et réduire l’expression initiale de A.

Exercice 38 – Problème ouvert de géométrie et compétences.
Le problème est le suivant. On a un triangle équilatéral ABC, un point M, d’humeur bucolique qui se promène dans le triangle.

On appelle D, E et F les pieds des perpendiculaires en M au trois côtés du triangle.

Question : Où doit-on placer M pour que la somme MD+ME+MF soit minimale ?

Exercice 39 – Problème ouvert sur l’aire d’un carré.
Construire un carré ayant pour aire le double du carré ci-dessus.

Détaillez votre méthode.

Exercice 40 – Problème d’une piscine.

Jacques a fait construire une piscine rectangulaire .

Il a carrelé le bord de cette piscine .

Les longueurs sont exprimées en mètre .

1) Exprimer en fonction de l’aire A_1 de la surface de la piscine .

2) Exprimer en fonction de l’aire A_2 de la surface carrelée .

3) Développer et réduire l’expression obtenue pour A_2 .

4) Calculer les aires A_1 et A_2 pour $x=2\,m$ .

Voir Exercices 31 à 40...

Exercice 41 – Trois entiers consécutifs.

a) Choisir 3 nombres entiers consécutifs (qui se suivent).
Calculer le carré du nombre du milieu, puis soustraire à ce carré le produit des deux autres nombres.

b) Recommencer avec 3 autres nombres entiers consécutifs. Que constate-t-on ?

c) Démontrer cette conjecture.
Exercice 42 – Géométrie et calcul littéral.
1) Résoudre l’inéquation : $2x - 3 \geq\, x + 1$ et représenter les solutions sur une droite graduée.

2) x désignant un nombre supérieur ou égal à 4,
ABCD est un carré dont le côté mesure 2x – 3.

a. Montrer que l’aire du rectangle BCEF s’exprime par la formule :

b. Développer et réduire A.

c. Factoriser A.

d. Résoudre l’équation : (2x – 3)(x – 4) = 0

e. Pour quelles valeurs de x, l’aire du rectangle BCEF est-elle nulle ? Justifier .

Exercice 43 – Programme de calcul.
On donne le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre.
Ajouter 1.
Calculer le carré du résultat obtenu.
Soustraire le carré du nombre de départ.
Soustraire 1.

1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu’on obtient 20.
b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est −3 et montrer qu’on obtient −6.
c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.

2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul ?

Démontrer cette conjecture.

Exercice 44 – Expression littérale qui ne s’annule pas.
Riyane affirme :

« Pour tout nombre entier N l’expression de est toujours différente de zéro ».

Exercice 45 – Aire d’une couronne.
Démontrer que l’aire de la couronne de centre O représentée ci-dessous est égale à

$A=\pi(R-r)(R+r)$

Exercice 46 – Aire et identités remarquables.
1. Calculer les aires colorées des deux figures ci-dessous en fonction de x .

2. Que remarque-t-on ?

Voir Exercices 41 à 46...

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