Corrigé du brevet de maths 2021 en Nouvelle-Calédonie à télécharger en PDF

Corrigé du sujet (corrigé Calédonie 2021)

Exercice 1 :

Affirmation 1. Prendre 50 %, c’est prendre la moitié : \(10\,350 : 2 = 5\,175\). Par ailleurs, on est loin de 10 300. L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2. 42 et 18 sont tous deux divisibles par 6 : \[\dfrac{42}{18} = \dfrac{6 \times 7}{6 \times 3} = \dfrac{7}{3}.\] Comme 7 et 3 sont premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1), la fraction \(\dfrac{7}{3}\) ne peut plus être simplifiée. L’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. On remplace \(x\) par 3 dans chaque membre : à gauche \(2 \times 3 – 4 = 2\), à droite \(-3 + 5 = 2\). Puis les deux membres sont égaux, donc 3 est solution. (En résolvant : \(2x + x = 5 + 4\), soit \(3x = 9\) et \(x = 3\), c’est même la seule solution.) L’affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Attention, la formule utilise le rayon : \(R = 21{,}6 : 2 = 10{,}8\) cm. \[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 10{,}8^3 \approx 5\,276{,}7\ \text{cm}^3.\] À l’unité près, le volume vaut \(5\,277\ \text{cm}^3\), et non 42 213 cm³ (ce nombre correspond à peu près à ce qu’on obtient en utilisant par erreur le diamètre à la place du rayon). L’affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Dans le triangle DBN rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{DNB}}\), le côté [DB] est le côté opposé et [BN] le côté adjacent. Ensuite, on utilise la tangente : \[\tan \widehat{\text{DNB}} = \dfrac{\text{DB}}{\text{BN}} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}.\] La calculatrice donne \(\widehat{\text{DNB}} = \arctan(\dfrac{1}{3}) \approx 18{,}4^{\circ}\), soit 18° à l’unité près. L’affirmation 5 est vraie.

Affirmation 6. Le dernier chiffre est imposé (6). Puis pour le premier chiffre il y a 3 possibilités (1, 2 ou 3) et, comme un chiffre peut se répéter, 3 possibilités aussi pour le deuxième. Cela donne \(3 \times 3 = 9\) codes : 116, 126, 136, 216, 226, 236, 316, 326 et 336. L’affirmation 6 est fausse (il y a 9 codes et non 6).

Exercice 2 (corrigé Calédonie 2021)

1. La moyenne est la somme des neuf relevés divisée par 9 : \[\dfrac{147 + 199 + 40 + 67 + 47 + 54 + 104 + 45 + 63}{9} = \dfrac{766}{9} \approx 85{,}1.\] La moyenne des précipitations est d’environ 85 mm.

2. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : \(199 – 40 = 159\). L’étendue est de 159 mm.

3. On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 40 ; 45 ; 47 ; 54 ; 63 ; 67 ; 104 ; 147 ; 199. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5^e, qui laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. La médiane est 63 mm.

4. Les mois dépassant 100 mm sont avril (147), mai (199) et octobre (104) : 3 mois sur 9. \[\dfrac{3}{9} \times 100 = \dfrac{100}{3} \approx 33{,}3.\] Environ 33 % des mois ont eu plus de 100 mm de pluie.

Exercice 3 :

1. Le triangle BAI est rectangle en A, son hypoténuse est [BI]. D’après le théorème de Pythagore : \[\text{BI}^2 = \text{BA}^2 + \text{AI}^2 = 210^2 + 155^2 = 44\,100 + 24\,025 = 68\,125.\] Donc \(\text{BI} = \sqrt{68\,125} \approx 261{,}008\). BI mesure environ 261 cm.

2. Une vitre de 210 cm sur 155 cm se partage, par une diagonale, en deux triangles rectangles identiques au triangle BAI : chaque diagonale mesure donc environ 261 cm. De plus, pour les deux diagonales, il faut \(2 \times 261 = 522\) cm, soit environ 5,22 m d’adhésif par vitre.

3. Pour les 15 vitres, il faut \(15 \times 5{,}22 = 78{,}3\) m d’adhésif. Or Joanne dispose de \(7 \times 10 = 70\) m. Comme \(78{,}3 \gt 70\), elle n’a pas assez d’adhésif : il lui manque environ 8,3 m, donc un rouleau supplémentaire.

Exercice 4 (corrigé Calédonie 2021)

1. a. 330 se termine par 0, il est donc divisible par 2 (et par 10) : \(330 = 2 \times 165\). Ensuite, il possède d’autres diviseurs que 1 et lui-même, 330 n’est donc pas premier.

b. Par ailleurs, on divise successivement par les nombres premiers : \(330 = 2 \times 165\), \(165 = 3 \times 55\), \(55 = 5 \times 11\), et 11 est premier. \(330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11\).

c. \(330 : 165 = 2\), résultat entier : \(330 = 2 \times 165\). 165 divise 330.

d. \(165 = 3 \times 5 \times 11\). Si 165 divisait 500, les nombres premiers 3 et 11 figureraient dans la décomposition de 500. Or \(500 = 2^2 \times 5^3\) ne contient que les facteurs 2 et 5. Puis on peut aussi le voir directement : \(500 = 3 \times 165 + 5\), le reste n’est pas nul. 165 ne divise pas 500.

2. Les 330 biscuits aux noix se partagent exactement entre les 165 boîtes, puisque \(330 = 165 \times 2\). Chaque boîte contient 2 biscuits aux noix.

3. a. Ensuite, on effectue la division euclidienne de 500 par 165 : \(500 = 165 \times 3 + 5\), avec \(5 \lt 165\). Chaque boîte contient 3 biscuits au chocolat.

b. Puis le reste de cette division est 5. Il reste 5 biscuits au chocolat.

4. Sans réduction, 12 boîtes coûtent \(12 \times 3\,650 = 43\,800\) francs. Comme on achète au moins 10 boîtes, on a droit à 5 % de réduction : \(43\,800 \times \dfrac{5}{100} = 2\,190\) francs. De plus, le montant à payer est donc \(43\,800 – 2\,190 = 41\,610\) francs (ce qui revient à calculer \(43\,800 \times 0{,}95\)). On paie 41 610 francs pour 12 boîtes.

Exercice 5 :

1. La famille banane compte \(5 + 3 + 3 + 2 + 1 = 14\) cartes. Ensuite, les quatre familles ayant la même répartition, le jeu compte \(4 \times 14 = 56\) cartes. Le jeu a bien 56 cartes.

2. Les cartes sont tirées au hasard avec la même chance : la probabilité est le nombre de cartes prune divisé par le nombre total de cartes. \[p(P) = \dfrac{14}{56} = \dfrac{1}{4}.\] La probabilité de \(P\) est \(\dfrac{1}{4}\), soit 0,25.

3. a. L’évènement contraire de \(P\), noté \(\overline{P}\), est « Jack n’obtient pas une carte de la famille prune », c’est-à-dire « Jack obtient une carte banane, citron ou fraise ».

b. Par ailleurs, la somme des probabilités d’un évènement et de son contraire vaut 1 : \[p(\overline{P}) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.\] La probabilité de l’évènement contraire est \(\dfrac{3}{4}\), soit 0,75.

4. Dans chaque famille, 2 cartes portent quatre fruits : cela fait \(4 \times 2 = 8\) cartes sur 56. \[\dfrac{8}{56} = \dfrac{1}{7}.\] La probabilité d’obtenir une carte avec quatre fruits est \(\dfrac{1}{7}\).

Exercice 6 (corrigé Calédonie 2021)

Partie 1

1. La courbe est une portion de droite qui passe par l’origine du repère : la distance de réaction est une fonction linéaire de la vitesse. Oui, il s’agit d’une situation de proportionnalité.

2. Par lecture graphique : pour une vitesse de 0 km/h, la distance de réaction est 0 m (la droite passe par l’origine) ; la distance de 15 m est atteinte pour 54 km/h ; pour 90 km/h, on lit 25 m. Puis le tableau complété est :

On peut vérifier la cohérence par proportionnalité : \(\dfrac{15}{54} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\).

Partie 2

1. La formule \(d = \dfrac{v^2}{203{,}2}\) demande de multiplier la vitesse par elle-même puis de diviser par 203,2 ; la vitesse se trouve dans la cellule B1. Il faut saisir = B1*B1/203.2 (la première formule calcule \(2v\) au lieu de \(v^2\), la troisième ajoute B1 au lieu de multiplier).

2. Avec \(v = 90\) : \[d = \dfrac{90^2}{203{,}2} = \dfrac{8\,100}{203{,}2} \approx 39{,}9.\] La distance de freinage à 90 km/h est bien d’environ 40 m.

Partie 3

À 90 km/h, la distance de réaction est de 25 m (partie 1) et la distance de freinage d’environ 39,9 m (partie 2). Ensuite, la distance d’arrêt vaut donc \(25 + 39{,}9 \approx 64{,}9\) m. Un véhicule roulant à 90 km/h s’arrête sur environ 65 m.

Exercice 7 :

On doit peindre l’intérieur de la piscine, soit cinq rectangles : le fond et les quatre parois.

• le fond : \(8 \times 4 = 32\ \text{m}^2\) ;
• les deux grandes parois : \(2 \times 8 \times 1{,}70 = 27{,}2\ \text{m}^2\) ;
• les deux petites parois : \(2 \times 4 \times 1{,}70 = 13{,}6\ \text{m}^2\).

La surface à peindre est donc \(32 + 27{,}2 + 13{,}6 = 72{,}8\ \text{m}^2\). Avec deux couches, cela revient à couvrir \(2 \times 72{,}8 = 145{,}6\ \text{m}^2\).

Un pot couvre 35 m² : \(\dfrac{145{,}6}{35} = 4{,}16\). Quatre pots ne couvrent que \(4 \times 35 = 140\ \text{m}^2\), ce qui est insuffisant ; il faut donc acheter 5 pots. Puis le budget est \(5 \times 12\,000 = 60\,000\) F. Il faut prévoir 60 000 F pour la peinture.

Exercice 8 :

1. Les points H, A et O sont alignés dans cet ordre, donc \(\text{OH} = \text{HA} + \text{AO} = 260 + 151 = 411\) m. OH = 411 m.

2. Les points O, A, H d’une part et O, B, P d’autre part sont alignés, et les droites (AB) et (HP) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OHP : \[\dfrac{\text{OA}}{\text{OH}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OP}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{HP}}.\] Avec les données : \(\dfrac{151}{411} = \dfrac{\text{AB}}{56}\), d’où \[\text{AB} = \dfrac{56 \times 151}{411} = \dfrac{8\,456}{411} \approx 20{,}57.\] La balise mesure environ 20,6 m.

3. L’angle plat mesure 180°, et il est partagé en l’angle \(\widehat{a}\) et l’angle de 72°. Donc \(\widehat{a} = 180^{\circ} – 72^{\circ} = 108^{\circ}\). L’angle \(\widehat{a}\) mesure 108°. C’est l’angle dont le lutin doit tourner pour former, entre deux segments, un angle de 72° : c’est pourquoi 108 apparaît dans le script 1.

4. On suit le motif de A vers B : 38 pas, puis un angle droit (on tourne de 90° vers la droite), 28 pas, l’angle de 72° (on tourne de 108° vers la gauche), à nouveau 28 pas, un angle droit (90° vers la droite) et enfin 38 pas jusqu’à B. De plus, le script 1 complété est :

définir motif
avancer de 38 pas
tourner ↻ de 90 degrés
avancer de 28 pas
tourner ↺ de 108 degrés
avancer de 28 pas
tourner ↻ de 90 degrés
avancer de 38 pas

5. En B, le motif suivant commence en formant un angle de 36° avec le dernier segment : comme à la question 3, le lutin doit tourner de \(180^{\circ} – 36^{\circ} = 144^{\circ}\) vers la gauche.

Exercice 8 : (suite)

Pour le nombre de répétitions, on fait le bilan des rotations d’un motif, en comptant positivement vers la gauche : \(-90 + 108 – 90 + 144 = 72\) degrés. Ensuite, pour que le contour se referme, le lutin doit avoir fait un tour complet, soit 360°, et \(360 : 72 = 5\). Par ailleurs, le motif doit donc être répété 5 fois. Puis le script final complété est :

Quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
répéter 5 fois
    motif
    tourner ↺ de 144 degrés

Il faut répéter 5 fois et tourner de 144 degrés. On a vérifié en simulant le tracé que le lutin revient exactement à son point de départ, dans sa direction initiale, au bout de 5 motifs. Avec 6 répétitions, le sixième motif repasserait sur le premier : le dessin serait le même, mais une répétition serait inutile. Ensuite, le contour dessiné dans l’énoncé n’est qu’une illustration et ne correspond pas exactement aux mesures du motif.

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Corrigé Calédonie 2021 : nos conseils pour progresser

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, corrigé Calédonie 2021 demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2021 aux centres étrangers.