Voici le corrigé complet du brevet blanc de maths 2022 n° 3, un sujet d’entraînement donné en janvier pour préparer le DNB. Ensuite, il reprend les six exercices de l’épreuve, notée sur 40 points, avec des réponses rédigées et justifiées. Puis le premier exercice est un vrai ou faux : développement, nombres premiers, contre-exemple, calcul d’expression et diagonale d’un rectangle. Ainsi, de plus, le deuxième travaille l’arithmétique : critère de divisibilité par 3, décomposition de 102 en facteurs premiers et découpage en étiquettes carrées. Ensuite, les exercices 3 et 4 sont consacrés à la géométrie : droites parallèles, théorème de Thalès et sa réciproque, réciproque de Pythagore et cosinus d’un angle, avec un calcul de durée de trajet. Par ailleurs, l’exercice 5 étudie un programme Scratch à condition, et le dernier compare l’aire de trois voiles triangulaires.
Corrigé du sujet (brevet blanc 3)
Exercice 1 :
Vrai ou faux justifié, 6 points
1. Ainsi, on demande si \((x-5)(x+1)\) est égal à \(x^2-4x-5\). Puis on développe :
\[E=(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5.\]
L’affirmation est vraie.
2. On affirme que le nombre \(2^n+1\) est toujours premier. Ensuite, il suffit d’un contre-exemple : pour \(n=5\),
\[2^5+1=32+1=33=3\times 11.\]
33 est divisible par 3 : il n’est pas premier. Puis L’affirmation est fausse.
3. De même, on affirme que la somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 10. Contre-exemple : 15 et 10 sont des multiples de 5, mais \(15+10=25\) n’est pas un multiple de 10 (il ne se termine pas par 0). De même, de plus, L’affirmation est fausse.
4. On affirme que l’expression \(F=3x^2-8x+7\) vaut 35 pour \(x=-2\). Ensuite, on remplace \(x\) par \(-2\) :
\[F=3\times (-2)^2-8\times (-2)+7=3\times 4+16+7=12+16+7=35.\]
L’affirmation est vraie.
5. On considère un rectangle ABCD avec \(AB=95\) et \(BC=160\), et l’on s’interroge sur la longueur annoncée de sa diagonale [AC]. Par ailleurs, le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2=AB^2+BC^2=95^2+160^2=9\,025+25\,600=34\,625,\]
\[AC=\sqrt{34\,625}\approx 186{,}1.\]
Également, la diagonale mesure environ 186,1 (dans l’unité des côtés), ce qui ne correspond pas à la valeur annoncée : l’affirmation est fausse.
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 2 (brevet blanc 3)
Arithmétique, 5 points
1. On justifie que 102 est divisible par 3. Puis la somme de ses chiffres est \(1+0+2=3\), qui est un multiple de 3. D’après le critère de divisibilité, 102 est divisible par 3 (\(102=3\times 34\)).
2. Décomposition de 102 en produit de facteurs premiers :
\[102=2\times 51=2\times 3\times 17.\]
Donc \(102=2\times 3\times 17\), et 2, 3 et 17 sont bien premiers.
3. On cherche des diviseurs de 102 qui ne sont pas premiers. Ensuite, en regroupant les facteurs premiers deux par deux :
\[102=6\times 17=2\times 51=34\times 3.\]
Ainsi 6, 34 et 51 sont des diviseurs de 102 qui ne sont pas premiers (\(6=2\times 3\), \(34=2\times 17\), \(51=3\times 17\)). Puis on pourrait aussi citer 1 et 102 lui-même.
Exercice 2 (brevet blanc 3) (suite)
4. On se demande si l’on peut découper la plaque de 102 sur 85 en étiquettes carrées de 34 de côté, sans perte. De plus, il faudrait que 34 divise à la fois 102 et 85. Également, or
\[85: 34=2{,}5,\]
Par ailleurs, qui n’est pas un nombre entier : 34 n’est pas un diviseur de 85. On ne peut donc pas utiliser des étiquettes de 34 de côté.
5. Le côté des étiquettes doit diviser 102 et 85. Comme \(85=5\times 17\) et \(102=2\times 3\times 17\), le plus grand diviseur commun est 17. Par ailleurs, Avec des carrés de 17 de côté :
\[102: 17=6 \quad\text{et}\quad 85: 17=5,\]
on obtient 6 étiquettes dans un sens et 5 dans l’autre, soit \(6\times 5=\) 30 étiquettes.
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 3 :
Droites parallèles, théorème de Thalès et vitesse, 7,5 points
Un trajet monte du point A (altitude 251 m) au point E (altitude 393 m). Ensuite, les points A, B, C sont alignés à l’horizontale, les points A, D, E sont alignés sur la pente, [DB] et [EC] sont verticaux, avec \(AD=51{,}25\) m et \(BD=11{,}25\) m.
1. Enfin, la hauteur EC est la différence d’altitude entre E et A :
\[EC=393-251=142\ \text{m}.\]
2. a) On montre que (DB) et (EC) sont parallèles. Par ailleurs, on sait que \((DB)\perp(AC)\) et \((EC)\perp(AC)\). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc \((DB)\parallel(EC)\).
Exercice 3 (suite)
2. b) On calcule la longueur DE. Puis les points A, D, E sont alignés, les points A, B, C sont alignés et \((DB)\parallel(EC)\) : d’après le théorème de Thalès,
\[\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{EC}.\]
On utilise l’égalité \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{EC}\) :
\[\frac{51{,}25}{AE}=\frac{11{,}25}{142}\quad\text{donc}\quad AE=\frac{51{,}25\times 142}{11{,}25}\approx 646{,}9\ \text{m}.\]
Ensuite \(DE=AE-AD\approx 646{,}9-51{,}25\approx 595{,}6\) m, soit \(DE\approx 596\) m.
3. Le trajet de D à E se fait à la vitesse de 8 km/h, c’est-à-dire 8 000 m en 3 600 s. Ensuite, on cherche la durée \(t\) nécessaire pour parcourir 596 m (proportionnalité) :
\[t=\frac{596\times 3\,600}{8\,000}=268{,}2\ \text{s}.\]
Or \(268{,}2\ \text{s}=4\ \text{min}\ 28{,}2\ \text{s}\), donc le trajet dure moins de 5 minutes. Puis en ajoutant cette durée à l’heure de départ fixée par l’énoncé, la personne arrive en E au plus tard à 10 h.
Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.
Exercice 4 (brevet blanc 3)
Réciproque de Thalès, Thalès, Pythagore et trigonométrie, 9 points
Les segments [IU] et [AO] se coupent en M, avec \(IA=45\) mm, \(IM=36\) mm, \(MA=27\) mm, \(MU=28\) mm et \(MO=21\) mm.
1. On montre que (OU) et (AI) sont parallèles. De plus, les points I, M, U d’une part et A, M, O d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ensuite, on compare :
\[\frac{MO}{MA}=\frac{21}{27}=\frac{7}{9}\quad\text{et}\quad\frac{MU}{MI}=\frac{28}{36}=\frac{7}{9}.\]
De plus, (Vérification par les produits en croix : \(21\times 36=756\) et \(27\times 28=756\).) Ainsi \(\dfrac{MO}{MA}=\dfrac{MU}{MI}\) : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((OU)\parallel(AI)\).
2. On calcule OU. Par ailleurs, on sait que \(M\in(OA)\), \(M\in(IU)\) et \((OU)\parallel(AI)\). D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{MO}{MA}=\frac{MU}{MI}=\frac{OU}{IA}\quad\text{donc}\quad\frac{21}{27}=\frac{OU}{45}\quad\text{et}\quad OU=\frac{21\times 45}{27}=35.\]
\(OU=35\) mm.
3. On montre que le triangle AMI est rectangle. Son plus long côté est [AI]. D’une part \(AI^2=45^2=2\,025\) ; d’autre part
\[MI^2+MA^2=36^2+27^2=1\,296+729=2\,025.\]
Comme \(AI^2=MI^2+MA^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M.
4. On calcule l’angle \(\widehat{AIM}\). Puis dans le triangle AMI rectangle en M, [IM] est le côté adjacent à l’angle et [AI] l’hypoténuse :
\[\cos\widehat{AIM}=\frac{IM}{AI}=\frac{36}{45}=0{,}8\quad\text{donc}\quad\widehat{AIM}=\arccos(0{,}8)\approx 36{,}9^\circ.\]
Arrondi au degré : \(\widehat{AIM}\approx 37^\circ\).
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 5 :
Programme Scratch avec condition, 6 points
Le programme demande un nombre \(N\). Si \(N\gt 15\), il affiche \(100-4\times N\) ; sinon, il affiche \(2\times (N+10)\).
1. Avec \(N=18\) : \(18\gt 15\), donc le programme calcule \(100-4\times 18=100-72=\) 28.
2. Avec \(N=14\) : \(14\lt 15\), donc il calcule \(2\times (14+10)=2\times 24=\) 48.
3. On cherche les nombres de départ qui donnent 32. Ensuite, on étudie les deux cas.
- Si \(N\gt 15\) : \(100-4N=32\), donc \(-4N=-68\) et \(N=17\). Comme \(17\gt 15\), cette solution convient.
- Si \(N\leq\, 15\) : \(2(N+10)=32\), donc \(N+10=16\) et \(N=6\). Comme \(6\leq\, 15\), cette solution convient aussi.
Il y a donc deux nombres possibles : \(N=17\) ou \(N=6\).
4. a) À la ligne 3, la condition compare la réponse à 15 :
si réponse > 15 alors
4. b) À la ligne 6 (branche « sinon »), le programme doit dire le double de la réponse augmentée de 10 ; on complète avec 2, réponse et 10 :
dire 2 * (réponse + 10)
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 6 :
Aires de trois voiles triangulaires, 6,5 points
On cherche laquelle des trois voiles, en forme de triangles ABC rectangles en A, a une aire supérieure à 6 m². Puis l’aire d’un triangle rectangle vaut \(\dfrac{AB\times AC}{2}\).
Voile A : les côtés de l’angle droit mesurent 3,4 m et 3 m.
\[\mathcal{A}_A=\frac{3{,}4\times 3}{2}=5{,}1\ \text{m}^2\lt 6\ \text{m}^2.\]
Voile B : \(AB=3{,}4\) m et l’hypoténuse \(BC=5{,}25\) m. D’après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A :
\[AC^2=BC^2-AB^2=5{,}25^2-3{,}4^2=27{,}5625-11{,}56=16{,}0025,\quad AC=\sqrt{16{,}0025}\approx 4\ \text{m}.\]
\[\mathcal{A}_B\approx\frac{3{,}4\times 4}{2}=6{,}8\ \text{m}^2\gt 6\ \text{m}^2.\]
Voile C : \(AB=3{,}4\) m et \(\widehat{ACB}=46^\circ\). De plus, dans ABC rectangle en A, [AB] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ACB}\) et [AC] le côté adjacent :
\[\tan 46^\circ=\frac{AB}{AC}\quad\text{donc}\quad AC=\frac{3{,}4}{\tan 46^\circ}\approx 3{,}28\ \text{m}.\]
\[\mathcal{A}_C\approx\frac{3{,}4\times 3{,}28}{2}\approx 5{,}58\ \text{m}^2\lt 6\ \text{m}^2.\]
(Si l’on arrondit d’abord AC à 3,3 m, on trouve environ 5,61 m², ce qui ne change pas la conclusion.)
Conclusion : la voile B est la seule dont l’aire dépasse 6 m² ; c’est la seule qui convient.
Bien travailler avec brevet blanc 3
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, brevet blanc 3 demande surtout de la régularité.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2022 en France (septembre).
