Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Réponse C
Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants ; pour les diviser, on soustrait les exposants :
\[\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2} = \dfrac{5^{7+3}}{5^2} = \dfrac{5^{10}}{5^2} = 5^{10-2} = 5^8\]
La bonne réponse est C : \(5^8\).
2. Réponse A
On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers : \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) et \(882 = 2 \times 3^2 \times 7^2\).
Le plus grand diviseur commun est \(2 \times 3^2 \times 7 = 126\), et on simplifie par 126 :
\[\dfrac{630}{882} = \dfrac{126 \times 5}{126 \times 7} = \dfrac{5}{7}\]
Comme 5 et 7 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible. Les fractions \(\dfrac{35}{49}\) et \(\dfrac{315}{441}\) sont bien égales à \(\dfrac{630}{882}\), mais elles se simplifient encore (par 7 et par 63). La bonne réponse est A : \(\dfrac{5}{7}\).
3. Réponse C
On utilise la double distributivité :
\[A = x \times 3x + x \times 7 – 2 \times 3x – 2 \times 7 = 3x^2 + 7x – 6x – 14 = 3x^2 + x – 14\]
La bonne réponse est C : \(3x^2 + x – 14\).
4. Réponse B
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[2x + 1 = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2} \qquad \text{ou} \qquad -x + 3 = 0 \iff x = 3\]
La bonne réponse est B : \(-\dfrac{1}{2}\) et 3.
5. Réponse C
Les boules sont indiscernables au toucher : chacune des 9 boules a la même chance d’être tirée. Ne pas tirer de boule noire, c’est tirer une boule blanche ou rouge, et il y en a \(4 + 2 = 6\). La probabilité cherchée est donc \(\dfrac{6}{9}\) (qui vaut aussi \(\dfrac{2}{3}\)).
La bonne réponse est C : \(\dfrac{6}{9}\).
Exercice 2 :
1.
Avec le tarif « Affaire », chaque kilomètre coûte 0,50 €. Pour 280 km :
\[280 \times 0{,}50 = 140\]
Yanis va payer 140 €.
2.
On calcule le prix des trois offres pour 450 km :
- tarif « Affaire » : \(450 \times 0{,}50 = 225\) € ;
- tarif « Voyage court » : 20 centimes font 0,20 €, donc \(120 + 450 \times 0{,}20 = 120 + 90 = 210\) € ;
- tarif « Voyage long » : 230 €, quelle que soit la distance.
Le prix le plus bas est 210 € : pour 450 km, l’offre « Voyage court » est la plus avantageuse.
3. a.
- \(l(x) = 230\) ne dépend pas de \(x\) : c’est le forfait fixe, tarif « Voyage long » ;
- \(m(x) = 0{,}5x\) : 0,50 € par kilomètre sans forfait, tarif « Affaire » ;
- \(n(x) = 0{,}2x + 120\) : forfait de 120 € plus 0,20 € par kilomètre, tarif « Voyage court ».
3. b.
Les deux tarifs sont égaux lorsque \(n(x) = m(x)\). On résout cette équation :
\[0{,}2x + 120 = 0{,}5x\]
\[120 = 0{,}5x – 0{,}2x\]
\[120 = 0{,}3x\]
\[x = \dfrac{120}{0{,}3} = 400\]
Vérification : \(m(400) = 0{,}5 \times 400 = 200\) et \(n(400) = 0{,}2 \times 400 + 120 = 80 + 120 = 200\).
Les tarifs « Voyage court » et « Affaire » sont égaux pour 400 km (on paie alors 200 € dans les deux cas).
4. a.
Les trois fonctions sont affines (ou constante), leurs représentations sont donc des droites ; deux points suffisent pour tracer chacune d’elles.
- \(l\) : droite horizontale d’ordonnée 230 (elle passe par \((0\,;\,230)\) et \((600\,;\,230)\)) ;
- \(m\) : fonction linéaire, droite passant par l’origine \((0\,;\,0)\) et par \((400\,;\,200)\) ;
- \(n\) : droite passant par \((0\,;\,120)\) et par \((400\,;\,200)\), puis \((600\,;\,240)\).
On retrouve sur le graphique que les droites de \(m\) et de \(n\) se coupent au point \((400\,;\,200)\), comme trouvé à la question 3. b.
4. b.
Le tarif « Voyage long » est le plus avantageux lorsque la droite de \(l\) est en dessous des deux autres droites.
- La droite de \(m\) passe au-dessus de 230 à partir de 460 km (point d’intersection avec la droite de \(l\)).
- La droite de \(n\) coupe la droite de \(l\) au point d’abscisse 550 : on trace depuis ce point un trait vertical en pointillés jusqu’à l’axe des abscisses et on lit 550.
Au-delà de 550 km, la droite de \(l\) est sous les deux autres. Par le calcul, on le confirme : \(0{,}2x + 120 = 230\) donne \(0{,}2x = 110\), soit \(x = 550\).
Le tarif « Voyage long » devient le plus avantageux dès que Yanis parcourt plus de 550 km (à 550 km exactement, « Voyage court » et « Voyage long » coûtent tous les deux 230 €).
Exercice 3 :
Partie A
1.
Le triangle SLP est équilatéral. Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, et leur somme vaut 180°. Chaque angle mesure donc \(180 : 3 = 60\)°.
Ainsi \(\widehat{\text{PSL}} = 60\)°.
2.
La droite (PL) est un axe de symétrie du losange SLAP, dont les quatre côtés sont égaux (elle échange S et A, et laisse P et L fixes). Le cerf-volant 2, situé dans le coin S, a pour image celui situé dans le coin A.
L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe (PL) est le cerf-volant 5.
3.
Le cerf-volant 1 a son sommet principal en P, le cerf-volant 6 a le sien en L, et J est le milieu de [PL] : le cerf-volant 6 est le « retournement » du cerf-volant 1 autour du point J.
Le cerf-volant 1 devient le cerf-volant 6 par la symétrie centrale de centre J (autrement dit la rotation de centre J et d’angle 180°).
Partie B
1.
Le programme de Nicolas fait avancer le lutin de 300 pas, tourner de 120°, avancer de 300 pas, tourner de 120°, puis avancer de 300 pas. Tourner de 120° à chaque sommet correspond à un angle intérieur de \(180 – 120 = 60\)° : on obtient trois côtés égaux et trois angles de 60°, c’est-à-dire un triangle équilatéral de côté 300 pas.
Avec l’échelle 1 cm pour 100 pas, on trace donc un triangle équilatéral de 3 cm de côté : on trace un segment de 3 cm, puis à chacune de ses extrémités un angle de 60° au rapporteur (ou des arcs de cercle de rayon 3 cm au compas) pour obtenir le troisième sommet.
2.
Le cerf-volant à construire a deux grands côtés égaux, deux petits côtés égaux, deux angles droits et, d’après le pavage de la partie A, un angle de 60° entre les deux grands côtés et donc un angle de \(360 – 90 – 90 – 60 = 120\)° entre les deux petits côtés.
- Le programme de Nicolas trace un triangle, pas un quadrilatère : il ne convient pas.
- Le programme de Tyago trace un petit côté (173 pas), tourne de 60°, puis trace un côté de 300 pas. Or, dans le cerf-volant, l’angle de 120° se trouve entre les deux petits côtés : après avoir tourné de 60°, il faudrait avancer à nouveau de 173 pas. Sa figure ne se referme pas : il ne convient pas.
- Le programme d’Essya trace le grand côté du bas (300 pas), tourne de 90° (angle droit), trace un petit côté (173 pas), tourne de 60° (angle intérieur de \(180 – 60 = 120\)°), trace le deuxième petit côté (173 pas), tourne de 90° (deuxième angle droit) et trace le deuxième grand côté (300 pas). Le lutin a tourné en tout de \(90 + 60 + 90 = 240\)° ; il reste un angle extérieur de \(360 – 240 = 120\)°, soit un angle intérieur de 60° pour refermer la figure au point de départ.
Le script correct est donc celui d’Essya.
Remarque : les longueurs 300 et 173 sont cohérentes, car dans le cerf-volant, le triangle formé par un grand côté, un petit côté et la diagonale issue du sommet de 60° a un angle de 30°, et \(300 \times \tan 30° \approx 173\).
Exercice 4 :
1.
Le total est la somme des cellules B2 à B13. On a pu saisir en B14 la formule =SOMME(B2:B13) (ou, plus longuement, =B2+B3+…+B13).
2.
La moyenne mensuelle s’obtient en divisant le total annuel par le nombre de mois :
\[\dfrac{2\,801\,172}{12} = 233\,431\]
Il y a eu en moyenne 233 431 passages par mois en 2020.
3.
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Le maximum est 389 250 (juillet) et le minimum 62 930 (avril) :
\[389\,250 – 62\,930 = 326\,320\]
L’étendue de la série est 326 320 passages.
4.
Le pourcentage d’augmentation se calcule en divisant l’augmentation par la valeur de départ (mai 2020) :
\[\dfrac{305\,214 – 179\,699}{179\,699} \times 100 = \dfrac{125\,515}{179\,699} \times 100 \approx 69{,}85\]
Le nombre de passages a augmenté d’environ 70 % entre mai 2020 et mai 2021.
5.
Le cycliste parcourt 3 000 m, soit 3 km, en 10 minutes. Une heure compte 60 minutes, soit 6 fois 10 minutes : à la même allure, il parcourrait en une heure \(6 \times 3 = 18\) km.
On peut aussi écrire \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{3\ \text{km}}{\frac{10}{60}\ \text{h}} = 3 \times 6 = 18\ \text{km/h}\).
La vitesse moyenne du cycliste est de 18 km/h.
Exercice 5 :
1.
Le segment [BC] se compose de trois morceaux : 12,20 m entre B et le bord de la piscine, la longueur de la piscine, qui vaut 6 m d’après le document 3, et 1,80 m entre l’autre bord et C :
\[\text{BC} = 12{,}20 + 6 + 1{,}80 = 20\]
On a bien BC = 20 m.
2.
L’angle entre le câble et l’horizontale est l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\). Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît le côté opposé à cet angle (AB = 5,50 m) et le côté adjacent (BC = 20 m) ; on utilise donc la tangente :
\[\tan \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{5{,}5}{20} = 0{,}275\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{ACB}} \approx 15{,}4\)°.
Comme \(15{,}4 \lt 30\), la tyrolienne est conforme à la réglementation.
3.
Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 5{,}5^2 + 20^2 = 30{,}25 + 400 = 430{,}25\]
\[\text{AC} = \sqrt{430{,}25} \approx 20{,}74\]
Il faut environ 21 m de câble (arrondi à l’unité).
4.
Les pieds de Lya touchent l’eau lorsqu’elle est suspendue en E, à 1,50 m au-dessus du point D (DE = 1,50 m, document 4).
Les droites (AB) et (ED) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (BC) ; or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (AB) et (ED) sont parallèles.
Les points C, D, B d’une part et C, E, A d’autre part sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CDE et CBA :
\[\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}}\]
On utilise la première et la dernière égalité : \(\dfrac{\text{CD}}{20} = \dfrac{1{,}5}{5{,}5}\).
\[\text{CD} = \dfrac{20 \times 1{,}5}{5{,}5} = \dfrac{30}{5{,}5} = \dfrac{60}{11} \approx 5{,}4545\]
Les pieds de Lya toucheront l’eau à environ 5,45 m du peuplier.
On peut contrôler que ce point est bien au-dessus de la piscine : celle-ci s’étend de 1,80 m à 7,80 m du point C, et \(1{,}80 \lt 5{,}45 \lt 7{,}80\).
5.
La piscine est un parallélépipède rectangle de 6 m de longueur, 6 m de largeur et 1,60 m de profondeur (la hauteur) :
\[V = 6 \times 6 \times 1{,}6 = 36 \times 1{,}6 = 57{,}6\]
Le volume de la piscine est de 57,6 m³.
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