Produit scalaire : le produit scalaire dans le plan : cours de maths

Sommaire

Produit scalaire : cette propriété dans le plan : cours de maths en 1ère en PDF.

Le ce résultat dans le plan dans un cours de maths en 1ère où nous étudierons la définition et les différentes propriétés cette notion. Puis dans cette leçon en première, nous verrons la relation entre ce point et la notion d’orthogonalité. Puis, nous terminerons par des applications avec le cosinus d’un angle, le théorème d’Al-Kashi et le théorème de la médiane.

L’essentiel : Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel $\frac12(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2)$, égal à $\|\vec{u}\|\times \|\vec{v}\|\times \cos\theta$ et à $xx’+yy’$ en repère orthonormé. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux, ce qui permet de prouver qu’un angle est droit.

I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

$\vec{u}=\vec{OA} – produit scalaire$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

De même, • Si $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ sont de même sens : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB – produit scalaire$ .

Ensuite, si $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{u} – produit scalaire$ sont de sens contraires : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB – produit scalaire$ .

De même, si $\vec{u}=\vec{0} – produit scalaire$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0 – produit scalaire$ .

De même, • $\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||$ est le carré scalaire du vecteur $\vec{u} – produit scalaire$

2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ deux vecteurs non nuls tels que

$\vec{u}=\vec{OA} – produit scalaire$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

Alors :

$\fbox{\vec{u}.\vec{v}=OA\,#039;\times OB=OA\times OB\,#039;} – produit scalaire$ .

A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v}$ dans un repère orthonormé quelconque.

$\fbox{\vec{u}.\vec{v}\,=\,x.x'+y.y'} – produit scalaire$ .

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :

Également, soit $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0} – produit scalaire$ ;

Par ailleurs, soit (OA) $\perp$ (OB), avec $\vec{u}=\vec{OA} – produit scalaire$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ non nuls.

2. Propriété :

Propriété :

$\fbox{\vec{u}\perp\vec{v}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vec{u}.\vec{v}=0}$ .

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés :

Soient $\vec{u}\,,\,\vec{v},\,\vec{w} – produit scalaire$ trois vecteurs et k un nombre réel.

De même, • $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (symétrie).

De même, • $(k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v}) – produit scalaire$ (linéarité)

Puis, $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ (linéarité)

De plus, $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w} – produit scalaire$ (linéarité)

Ensuite, $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identité remarquable)

De même, $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 – produit scalaire$ (identité remarquable)

Également, $(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$ (identité remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. Produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v}$ non nuls.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v}) – produit scalaire$

2. Théorème d’Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.

De plus, on a :

$a^2\,=\,b^2+c^2-2bc\times cos(\widehat{A})$
$b^2\,=\,a^2+c^2-2ac\times cos(\widehat{B}) – produit scalaire$
$c^2\,=\,a^2+b^2-2ab\times cos(\widehat{C}$

3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .

Ensuite, pour tout point M, :

$\fbox{ MA^2\,+MB^2\,=\,2MI^2\,+\,\frac{AB^2}{2}}$

Produit scalaire : nos conseils pour progresser

D’abord, lis la leçon une première fois sans prendre de notes. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur ce résultat vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Cette notion sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

5/5 - (28047 votes)

Couverture du livre Mathovore « Cours de mathématiques 1re »

Le livre MathovoreCours de mathématiques 1reVous avez aimé cette leçon ? Retrouvez-la avec toutes les autres de l’année de 1re, rangées dans l’ordre du programme.Ouvrir le livre de cours

Couverture du livre Mathovore « Annales de l’épreuve anticipée de maths 1re »

Le livre MathovoreAnnales de l’épreuve anticipée de maths 1rePréparez l’épreuve anticipée de maths de 1re : automatismes et exercices officiels, rangés par thème et tous corrigés.Ouvrir les annales de 1re

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF» au format PDF.