Première — chapitre 6 sur 10
Produit scalaire
Quatre expressions du produit scalaire, à choisir selon les données ; deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Pour $\vec u$ et $\vec v$ non nuls : $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$. Si l'un est nul, le produit scalaire vaut $0$.
- Projeté : si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH} = \pm AB\times AH$.
- Normes : $\vec u\cdot\vec v = \dfrac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)$.
- Coordonnées (repère orthonormé) : $\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'$ ; $\|\vec u\|^2 = x^2+y^2$.
Symétrie $\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$ ; bilinéarité $\vec u\cdot(\vec v+\vec w) = \vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$, $(k\vec u)\cdot\vec v = k(\vec u\cdot\vec v)$ ; $\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2$. Identités : $\|\vec u+\vec v\|^2 = \|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$.
$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v = 0$. En coordonnées : $xx'+yy' = 0$.
Dans un triangle $ABC$ : $$BC^2 = AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat A.$$ (Pythagore généralisé.)
$\vec u(3\,;-1)$, $\vec v(2\,;6)$ : $\vec u\cdot\vec v = 6-6 = 0$, les vecteurs sont orthogonaux.
