∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Première
  1. Second degré
  2. Suites numériques
  3. Dérivation
  4. Fonction exponentielle
  5. Trigonométrie
  6. Produit scalaire
  7. Géométrie repérée : droites et cercles
  8. Probabilités conditionnelles et indépendance
  9. Variables aléatoires
  10. Étude de fonctions : valeur absolue, composées et modélisation

Première — chapitre 6 sur 10

Produit scalaire

Quatre expressions du produit scalaire, à choisir selon les données ; deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Déplace $B$ ou $C$ : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH}$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$.
Définition — produit scalaire

Pour $\vec u$ et $\vec v$ non nuls : $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$. Si l'un est nul, le produit scalaire vaut $0$.

Propriété — autres expressions
  • Projeté : si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH} = \pm AB\times AH$.
  • Normes : $\vec u\cdot\vec v = \dfrac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)$.
  • Coordonnées (repère orthonormé) : $\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'$ ; $\|\vec u\|^2 = x^2+y^2$.
Propriétés

Symétrie $\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$ ; bilinéarité $\vec u\cdot(\vec v+\vec w) = \vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$, $(k\vec u)\cdot\vec v = k(\vec u\cdot\vec v)$ ; $\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2$. Identités : $\|\vec u+\vec v\|^2 = \|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$.

Théorème — orthogonalité

$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v = 0$. En coordonnées : $xx'+yy' = 0$.

Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ : $$BC^2 = AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat A.$$ (Pythagore généralisé.)

Exemple

$\vec u(3\,;-1)$, $\vec v(2\,;6)$ : $\vec u\cdot\vec v = 6-6 = 0$, les vecteurs sont orthogonaux.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment calculer un produit scalaire ?

Avec les coordonnées $\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'$, avec les normes et l'angle $\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$, ou par projection orthogonale.

À quoi sert le produit scalaire ?

À prouver l'orthogonalité ($\vec u\cdot\vec v = 0$), à calculer un angle, une longueur (formule d'Al-Kashi) et à trouver des équations de droites ou de cercles.

Qu'est-ce que la formule d'Al-Kashi ?

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\hat A$ : une généralisation de Pythagore à tous les triangles.

Comment calculer un angle avec le produit scalaire ?

$\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}$, puis $\theta = \arccos(\ldots)$.
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