Produit scalaire et orthogonalité
Un nombre, pas un vecteur — et il vaut zéro si c'est orthogonal.Niveau 1re · Géométrie
Attention au piège : l'opération produit un nombre, pas un vecteur. C'est la confusion la plus répandue avec le déterminant, qui rend lui aussi un nombre mais répond à la question opposée — le déterminant repère les directions parallèles, le produit scalaire les directions perpendiculaires.
Cette annulation en cas de perpendicularité en fait l'outil idéal pour démontrer un angle droit sans recourir à la figure. L'entraînement travaille les deux expressions disponibles, le calcul d'une longueur, le test de perpendicularité, et consacre une famille au choix entre les deux outils.
Les compétences mises en jeu
- Évaluer un produit scalaire à partir des coordonnées
- Mesurer la longueur d'un vecteur
- Détecter une perpendicularité par le calcul
- Exploiter la version avec cosinus
Comment s'y prendre
- Par les coordonnéesOn additionne les deux produits de coordonnées correspondantes.
- LongueurRacine carrée de la somme des carrés des coordonnées.
- Critère d'orthogonalitéLe produit scalaire s'annule exactement dans ce cas.
- Version géométriqueProduit des longueurs multiplié par le cosinus de l'angle.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Employer la formule du déterminant à la place de celle du produit scalaire.
- Rendre un vecteur alors que le résultat attendu est un nombre.
- Donner le carré de la longueur sans appliquer la racine.
Trois conseils pour progresser vite
Redites à chaque question que le résultat est un nombre : c'est là que se niche la confusion avec le déterminant.
La famille « Produit scalaire ou déterminant ? » clarifie les deux outils : elle est très rentable.
Un résultat négatif annonce un angle obtus : ce contrôle rend souvent service.